Theorem pimgtmnf 44146

Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded above, with lower bound -∞, is the whole domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimgtmnf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimgtmnf.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pimgtmnf	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem pimgtmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimgtmnf.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
3		pimgtmnf.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	fvmpt2d 6870	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
5	4	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
6	5	breq2d 5082	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)))
7	1, 6	rabbida 3398	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)})
8		nfmpt1 5178	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
10	1, 3, 9	fmptdf 6973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)
11	8, 10	pimgtmnf2 44138	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} = 𝐴)
12	7, 11	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  {crab 3067   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  ℝcr 10801  -∞cmnf 10938   < clt 10940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945

This theorem is referenced by:  smfpimgtxr  44202