Theorem pimgtmnff 46645

Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded above, with lower bound -∞, is the whole domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimgtmnff.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimgtmnff.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
pimgtmnff.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pimgtmnff	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} = 𝐴)

Proof of Theorem pimgtmnff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimgtmnff.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2	1	ssrab2f 45021	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} ⊆ 𝐴
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} ⊆ 𝐴)
4		pimgtmnff.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
6		pimgtmnff.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		mnflt 13188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -∞ < 𝐵)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ < 𝐵)
9	5, 8	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ -∞ < 𝐵))
10		rabid 3465	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ -∞ < 𝐵))
11	9, 10	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵})
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵}))
13	4, 12	ralrimi 3263	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵})
14		nfrab1 3464	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵}
15	1, 14	dfss3f 4000	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵})
16	13, 15	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵})
17	3, 16	eqssd 4026	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2893  ∀wral 3067  {crab 3443   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ℝcr 11185  -∞cmnf 11324   < clt 11326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331

This theorem is referenced by:  pimgtmnf  46646