Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimgtmnff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimgtmnff 44895
Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded above, with lower bound -∞, is the whole domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
pimgtmnff.1 𝑥𝜑
pimgtmnff.2 𝑥𝐴
pimgtmnff.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
pimgtmnff (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} = 𝐴)

Proof of Theorem pimgtmnff
StepHypRef Expression
1 pimgtmnff.2 . . . 4 𝑥𝐴
21ssrab2f 43269 . . 3 {𝑥𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} ⊆ 𝐴
32a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} ⊆ 𝐴)
4 pimgtmnff.1 . . . 4 𝑥𝜑
5 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
6 pimgtmnff.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 mnflt 13036 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → -∞ < 𝐵)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ < 𝐵)
95, 8jca 512 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥𝐴 ∧ -∞ < 𝐵))
10 rabid 3425 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} ↔ (𝑥𝐴 ∧ -∞ < 𝐵))
119, 10sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ -∞ < 𝐵})
1211ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ -∞ < 𝐵}))
134, 12ralrimi 3238 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ -∞ < 𝐵})
14 nfrab1 3424 . . . 4 𝑥{𝑥𝐴 ∣ -∞ < 𝐵}
151, 14dfss3f 3933 . . 3 (𝐴 ⊆ {𝑥𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ -∞ < 𝐵})
1613, 15sylibr 233 . 2 (𝜑𝐴 ⊆ {𝑥𝐴 ∣ -∞ < 𝐵})
173, 16eqssd 3959 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wnfc 2885  wral 3062  {crab 3405  wss 3908   class class class wbr 5103  cr 11046  -∞cmnf 11183   < clt 11185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-xp 5637  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190
This theorem is referenced by:  pimgtmnf  44896
  Copyright terms: Public domain W3C validator