Theorem pimgtmnff 46343

Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded above, with lower bound -∞, is the whole domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimgtmnff.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimgtmnff.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
pimgtmnff.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pimgtmnff	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} = 𝐴)

Proof of Theorem pimgtmnff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimgtmnff.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2	1	ssrab2f 44718	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} ⊆ 𝐴
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} ⊆ 𝐴)
4		pimgtmnff.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
5		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
6		pimgtmnff.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		mnflt 13157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -∞ < 𝐵)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ < 𝐵)
9	5, 8	jca 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ -∞ < 𝐵))
10		rabid 3440	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ -∞ < 𝐵))
11	9, 10	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵})
12	11	ex 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵}))
13	4, 12	ralrimi 3245	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵})
14		nfrab1 3439	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵}
15	1, 14	dfss3f 3971	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵})
16	13, 15	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵})
17	3, 16	eqssd 3997	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099  Ⅎwnfc 2876  ∀wral 3051  {crab 3419   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5153  ℝcr 11157  -∞cmnf 11296   < clt 11298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-xp 5688  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303

This theorem is referenced by:  pimgtmnf  46344