Theorem pimgtmnff 46819

Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded above, with lower bound -∞, is the whole domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimgtmnff.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimgtmnff.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
pimgtmnff.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pimgtmnff	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} = 𝐴)

Proof of Theorem pimgtmnff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimgtmnff.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2	1	ssrab2f 45213	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} ⊆ 𝐴
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} ⊆ 𝐴)
4		pimgtmnff.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
6		pimgtmnff.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		mnflt 13022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -∞ < 𝐵)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ < 𝐵)
9	5, 8	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ -∞ < 𝐵))
10		rabid 3416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ -∞ < 𝐵))
11	9, 10	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵})
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵}))
13	4, 12	ralrimi 3230	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵})
14		nfrab1 3415	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵}
15	1, 14	dfss3f 3921	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵})
16	13, 15	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵})
17	3, 16	eqssd 3947	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ -∞ < 𝐵} = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2879  ∀wral 3047  {crab 3395   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089  ℝcr 11005  -∞cmnf 11144   < clt 11146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151

This theorem is referenced by:  pimgtmnf  46820