Theorem pimrecltneg 45925

Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with negative upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimrecltneg.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimrecltneg.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltneg.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltneg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
pimrecltneg.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)

Assertion

Ref	Expression
pimrecltneg	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})

Proof of Theorem pimrecltneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimrecltneg.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rabidim1 3445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		1red 11212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5		pimrecltneg.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		pimrecltneg.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)
7	5, 6	ltned 11347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
8	4, 5, 7	redivcld 12039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
11		0xr 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ*)
13		pimrecltneg.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	2, 13	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
15		rabidim2 44279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
17	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 1 ∈ ℝ)
18		pimrecltneg.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
19	3, 18	syldan 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ≠ 0)
20	14, 19	rereccld 12038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
21	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℝ)
22		0red 11214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ)
23	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 < 0)
24	20, 21, 22, 16, 23	lttrd 11372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 0)
25	14, 19	reclt0 44586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝐵 < 0 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
26	24, 25	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 < 0)
27	17, 14, 26, 21, 23	ltdiv23neg 44589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → ((1 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (1 / 𝐶) < 𝐵))
28	16, 27	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
29	10, 12, 14, 28, 26	eliood 44696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
30	3, 29	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
31		rabid 3444	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
32	30, 31	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})
33	32	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
34	31	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥 ∈ 𝐴)
35	34	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
36	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
37	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 0 ∈ ℝ*)
38	31	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
40	36, 37, 39	ioogtlbd 44748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
41	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 1 ∈ ℝ)
42	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 ∈ ℝ)
43	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 < 0)
44	35, 13	syldan 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
45	36, 37, 39	iooltubd 44742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 < 0)
46	41, 42, 43, 44, 45	ltdiv23neg 44589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → ((1 / 𝐶) < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < 𝐶))
47	40, 46	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
48	35, 47	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
49		rabid 3444	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
50	48, 49	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
51	50	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
52	33, 51	impbid 211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
53	1, 52	alrimi 2198	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
54		nfrab1 3443	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
55		nfrab1 3443	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}
56	54, 55	cleqf 2926	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
57	53, 56	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∀wal 1531   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  {crab 3424   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245   / cdiv 11868  (,)cioo 13321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-rp 12972  df-ioo 13325

This theorem is referenced by:  smfrec  45990