Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimrecltneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimrecltneg 41726
Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with negative upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimrecltneg.x 𝑥𝜑
pimrecltneg.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltneg.n ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltneg.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
pimrecltneg.l (𝜑𝐶 < 0)
Assertion
Ref Expression
pimrecltneg (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})

Proof of Theorem pimrecltneg
StepHypRef Expression
1 pimrecltneg.x . . 3 𝑥𝜑
2 rabidim1 3327 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥𝐴)
32adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥𝐴)
4 1red 10356 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5 pimrecltneg.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 pimrecltneg.l . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 < 0)
75, 6ltned 10491 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ≠ 0)
84, 5, 7redivcld 11178 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
98rexrd 10405 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
109adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
11 0xr 10402 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ*)
13 pimrecltneg.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
142, 13sylan2 588 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 rabidim2 40099 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
1615adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
174adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 1 ∈ ℝ)
18 pimrecltneg.n . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
193, 18syldan 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ≠ 0)
2014, 19rereccld 11177 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
215adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℝ)
22 0red 10359 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ)
236adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 < 0)
2420, 21, 22, 16, 23lttrd 10516 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 0)
2514, 19reclt0 40408 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝐵 < 0 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
2624, 25mpbird 249 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 < 0)
2717, 14, 26, 21, 23ltdiv23neg 40411 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → ((1 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (1 / 𝐶) < 𝐵))
2816, 27mpbid 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
2910, 12, 14, 28, 26eliood 40518 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
303, 29jca 509 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
31 rabid 3325 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
3230, 31sylibr 226 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})
3332ex 403 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
3431simplbi 493 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥𝐴)
3534adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥𝐴)
369adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
3711a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 0 ∈ ℝ*)
3831simprbi 492 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
3938adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
4036, 37, 39ioogtlbd 40571 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
414adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 1 ∈ ℝ)
425adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 ∈ ℝ)
436adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 < 0)
4435, 13syldan 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
4536, 37, 39iooltubd 40565 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 < 0)
4641, 42, 43, 44, 45ltdiv23neg 40411 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → ((1 / 𝐶) < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < 𝐶))
4740, 46mpbid 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
4835, 47jca 509 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
49 rabid 3325 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
5048, 49sylibr 226 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
5150ex 403 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
5233, 51impbid 204 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
531, 52alrimi 2258 . 2 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
54 nfrab1 3332 . . 3 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
55 nfrab1 3332 . . 3 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}
5654, 55dfcleqf 40071 . 2 ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
5753, 56sylibr 226 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wal 1656   = wceq 1658  wnf 1884  wcel 2166  wne 2998  {crab 3120   class class class wbr 4872  (class class class)co 6904  cr 10250  0cc0 10251  1c1 10252  *cxr 10389   < clt 10390   / cdiv 11008  (,)cioo 12462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-po 5262  df-so 5263  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-rp 12112  df-ioo 12466
This theorem is referenced by:  smfrec  41789
  Copyright terms: Public domain W3C validator