Theorem pimrecltneg 46680

Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with negative upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimrecltneg.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimrecltneg.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltneg.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltneg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
pimrecltneg.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)

Assertion

Ref	Expression
pimrecltneg	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})

Proof of Theorem pimrecltneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimrecltneg.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rabidim1 3456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		1red 11260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5		pimrecltneg.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		pimrecltneg.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)
7	5, 6	ltned 11395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
8	4, 5, 7	redivcld 12093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
11		0xr 11306	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ*)
13		pimrecltneg.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	2, 13	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
15		rabidim2 45042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
17	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 1 ∈ ℝ)
18		pimrecltneg.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
19	3, 18	syldan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ≠ 0)
20	14, 19	rereccld 12092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
21	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℝ)
22		0red 11262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ)
23	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 < 0)
24	20, 21, 22, 16, 23	lttrd 11420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 0)
25	14, 19	reclt0 45341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝐵 < 0 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
26	24, 25	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 < 0)
27	17, 14, 26, 21, 23	ltdiv23neg 45344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → ((1 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (1 / 𝐶) < 𝐵))
28	16, 27	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
29	10, 12, 14, 28, 26	eliood 45451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
30	3, 29	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
31		rabid 3455	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
32	30, 31	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})
33	32	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
34	31	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥 ∈ 𝐴)
35	34	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
36	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
37	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 0 ∈ ℝ*)
38	31	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
40	36, 37, 39	ioogtlbd 45503	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
41	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 1 ∈ ℝ)
42	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 ∈ ℝ)
43	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 < 0)
44	35, 13	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
45	36, 37, 39	iooltubd 45497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 < 0)
46	41, 42, 43, 44, 45	ltdiv23neg 45344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → ((1 / 𝐶) < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < 𝐶))
47	40, 46	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
48	35, 47	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
49		rabid 3455	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
50	48, 49	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
51	50	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
52	33, 51	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
53	1, 52	alrimi 2211	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
54		nfrab1 3454	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
55		nfrab1 3454	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}
56	54, 55	cleqf 2932	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
57	53, 56	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {crab 3433   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   / cdiv 11918  (,)cioo 13384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-rp 13033  df-ioo 13388

This theorem is referenced by:  smfrec  46745