Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimrecltneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimrecltneg 46345
Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with negative upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimrecltneg.x 𝑥𝜑
pimrecltneg.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltneg.n ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltneg.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
pimrecltneg.l (𝜑𝐶 < 0)
Assertion
Ref Expression
pimrecltneg (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})

Proof of Theorem pimrecltneg
StepHypRef Expression
1 pimrecltneg.x . . 3 𝑥𝜑
2 rabidim1 3441 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥𝐴)
32adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥𝐴)
4 1red 11265 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5 pimrecltneg.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 pimrecltneg.l . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 < 0)
75, 6ltned 11400 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ≠ 0)
84, 5, 7redivcld 12093 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
98rexrd 11314 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
109adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
11 0xr 11311 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ*)
13 pimrecltneg.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
142, 13sylan2 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 rabidim2 44703 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
1615adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
174adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 1 ∈ ℝ)
18 pimrecltneg.n . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
193, 18syldan 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ≠ 0)
2014, 19rereccld 12092 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
215adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℝ)
22 0red 11267 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ)
236adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 < 0)
2420, 21, 22, 16, 23lttrd 11425 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 0)
2514, 19reclt0 45006 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝐵 < 0 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
2624, 25mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 < 0)
2717, 14, 26, 21, 23ltdiv23neg 45009 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → ((1 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (1 / 𝐶) < 𝐵))
2816, 27mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
2910, 12, 14, 28, 26eliood 45116 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
303, 29jca 510 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
31 rabid 3440 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
3230, 31sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})
3332ex 411 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
3431simplbi 496 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥𝐴)
3534adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥𝐴)
369adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
3711a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 0 ∈ ℝ*)
3831simprbi 495 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
3938adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
4036, 37, 39ioogtlbd 45168 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
414adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 1 ∈ ℝ)
425adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 ∈ ℝ)
436adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 < 0)
4435, 13syldan 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
4536, 37, 39iooltubd 45162 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 < 0)
4641, 42, 43, 44, 45ltdiv23neg 45009 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → ((1 / 𝐶) < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < 𝐶))
4740, 46mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
4835, 47jca 510 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
49 rabid 3440 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
5048, 49sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
5150ex 411 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
5233, 51impbid 211 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
531, 52alrimi 2202 . 2 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
54 nfrab1 3439 . . 3 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
55 nfrab1 3439 . . 3 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}
5654, 55cleqf 2924 . 2 ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
5753, 56sylibr 233 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wal 1532   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wne 2930  {crab 3419   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159  *cxr 11297   < clt 11298   / cdiv 11921  (,)cioo 13378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-rp 13029  df-ioo 13382
This theorem is referenced by:  smfrec  46410
  Copyright terms: Public domain W3C validator