Theorem pimrecltneg 47365

Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with negative upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimrecltneg.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimrecltneg.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltneg.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltneg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
pimrecltneg.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)

Assertion

Ref	Expression
pimrecltneg	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})

Proof of Theorem pimrecltneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimrecltneg.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rabidim1 3444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		1red 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5		pimrecltneg.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		pimrecltneg.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)
7	5, 6	ltned 11346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
8	4, 5, 7	redivcld 12043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
10	9	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
11		0xr 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ*)
13		pimrecltneg.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	2, 13	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
15		rabidim2 45747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
16	15	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
17	4	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 1 ∈ ℝ)
18		pimrecltneg.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
19	3, 18	syldan 602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ≠ 0)
20	14, 19	rereccld 12042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
21	5	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℝ)
22		0red 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ)
23	6	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 < 0)
24	20, 21, 22, 16, 23	lttrd 11371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 0)
25	14, 19	reclt0 46033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝐵 < 0 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
26	24, 25	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 < 0)
27	17, 14, 26, 21, 23	ltdiv23neg 46036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → ((1 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (1 / 𝐶) < 𝐵))
28	16, 27	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
29	10, 12, 14, 28, 26	eliood 46141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
30	3, 29	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
31		rabid 3443	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
32	30, 31	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})
33	32	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
34	31	simplbi 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥 ∈ 𝐴)
35	34	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
36	9	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
37	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 0 ∈ ℝ*)
38	31	simprbi 502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
39	38	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
40	36, 37, 39	ioogtlbd 46193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
41	4	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 1 ∈ ℝ)
42	5	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 ∈ ℝ)
43	6	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 < 0)
44	35, 13	syldan 602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
45	36, 37, 39	iooltubd 46187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 < 0)
46	41, 42, 43, 44, 45	ltdiv23neg 46036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → ((1 / 𝐶) < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < 𝐶))
47	40, 46	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
48	35, 47	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
49		rabid 3443	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
50	48, 49	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
51	50	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
52	33, 51	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
53	1, 52	alrimi 2255	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
54		nfrab1 3442	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
55		nfrab1 3442	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}
56	54, 55	cleqf 2959	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
57	53, 56	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1565   = wceq 1567  Ⅎwnf 1810   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {crab 3422   class class class wbr 5111  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243   / cdiv 11871  (,)cioo 13372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-rp 13017  df-ioo 13376

This theorem is referenced by:  smfrec  47430