Theorem smfpimgtxr 47734

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) (Revised by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimgtxr.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimgtxr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtxr.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimgtxr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimgtxr	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtxr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ -∞ < (𝐹‘𝑥)))
2	1	rabbidv 3420	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)})
3		smfpimgtxr.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4		smfpimgtxr.x	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5	4	nfdm 5933	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
6	3, 5	nfcxfr 2921	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
7		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
8		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦-∞ < (𝐹‘𝑥)
9		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
10		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 <
11		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
12	4, 11	nffv 6887	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
13	9, 10, 12	nfbr 5152	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥-∞ < (𝐹‘𝑦)
14		fveq2 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
15	14	breq2d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (-∞ < (𝐹‘𝑥) ↔ -∞ < (𝐹‘𝑦)))
16	6, 7, 8, 13, 15	cbvrabw 3447	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑦)}
17		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
18		smfpimgtxr.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
19		smfpimgtxr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
20	18, 19, 3	smff 47686	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
21	20	ffvelcdmda 7076	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
22	17, 21	pimgtmnf 47677	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑦)} = 𝐷)
23	16, 22	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = 𝐷)
24	2, 23	sylan9eqr 2818	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = 𝐷)
25	18, 19, 3	smfdmss 47687	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
26	18, 25	subsaluni 47314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
27	26	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
28	24, 27	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
29		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ +∞ < (𝐹‘𝑥)))
30	29	rabbidv 3420	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)})
31	4, 6, 20	pimgtpnf2f 47659	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)} = ∅)
32	30, 31	sylan9eqr 2818	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = ∅)
33	19	dmexd 7904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
34	3, 33	eqeltrid 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
35		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
36	18, 34, 35	subsalsal 47313	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
37	36	0sald 47304	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
38	37	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
39	32, 38	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
40	39	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
41		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝜑)
42		smfpimgtxr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
43	41, 42	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
44		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
45		neqne 2964	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ +∞)
46	45	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
47	43, 44, 46	xrred 46320	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
48	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
49	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
50		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
51	4, 48, 49, 3, 50	smfpreimagtf 47722	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
52	41, 47, 51	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
53	40, 52	pm2.61dan 825	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
54	28, 53	pm2.61dane 3043	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2908   ≠ wne 2956  {crab 3413  Vcvv 3451  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  +∞cpnf 11321  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ↾_t crest 17571  SAlgcsalg 47262  SMblFncsmblfn 47649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cc 10494  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-card 10001  df-acn 10004  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-ioo 13461  df-ico 13463  df-fl 13912  df-rest 17573  df-salg 47263  df-smblfn 47650

This theorem is used by:  smfpimgtxrmptf  47738  smfpimne  47793  smfinfdmmbllem  47802