Theorem smfpimgtxr 43076

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimgtxr.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimgtxr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtxr.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimgtxr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimgtxr	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtxr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5069	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ -∞ < (𝐹‘𝑥)))
2	1	rabbidv 3480	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)})
3	2	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)})
4		smfpimgtxr.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
5		smfpimgtxr.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
6	5	nfdm 5823	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
7	4, 6	nfcxfr 2975	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
8		nfcv 2977	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
9		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦-∞ < (𝐹‘𝑥)
10		nfcv 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
11		nfcv 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 <
12		nfcv 2977	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
13	5, 12	nffv 6680	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
14	10, 11, 13	nfbr 5113	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥-∞ < (𝐹‘𝑦)
15		fveq2 6670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
16	15	breq2d 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (-∞ < (𝐹‘𝑥) ↔ -∞ < (𝐹‘𝑦)))
17	7, 8, 9, 14, 16	cbvrabw 3489	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑦)}
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑦)})
19		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
20		smfpimgtxr.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
21		smfpimgtxr.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
22	20, 21, 4	smff 43029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
23	22	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
24		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
25	23, 24	ffvelrnd 6852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
26	19, 25	pimgtmnf 43020	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑦)} = 𝐷)
27		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐷)
28	18, 26, 27	3eqtrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = 𝐷)
29	28	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = 𝐷)
30	3, 29	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = 𝐷)
31	20, 21, 4	smfdmss 43030	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
32	20, 31	restuni4 41407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = 𝐷)
33	32	eqcomd 2827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷))
34	21	dmexd 7615	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
35	4, 34	eqeltrid 2917	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
36		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
37	20, 35, 36	subsalsal 42662	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
38	37	salunid 42656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
39	33, 38	eqeltrd 2913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
40	39	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
41	30, 40	eqeltrd 2913	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
42		neqne 3024	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
43	42	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
44		breq1 5069	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ +∞ < (𝐹‘𝑥)))
45	44	rabbidv 3480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = +∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)})
46	45	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)})
47	5, 22	pimgtpnf2 43005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)} = ∅)
48	47	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)} = ∅)
49	46, 48	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = ∅)
50	37	0sald 42653	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
51	50	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
52	49, 51	eqeltrd 2913	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
53	52	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
54		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝜑)
55		smfpimgtxr.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
56	54, 55	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
57		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
58		neqne 3024	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ +∞)
59	58	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
60	56, 57, 59	xrred 41653	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
61	20	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
62	21	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
63		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
64	5, 61, 62, 4, 63	smfpreimagtf 43064	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
65	54, 60, 64	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
66	53, 65	pm2.61dan 811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
67	43, 66	syldan 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
68	41, 67	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2961   ≠ wne 3016  {crab 3142  Vcvv 3494  ∅c0 4291  ∪ cuni 4838   class class class wbr 5066  dom cdm 5555  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  +∞cpnf 10672  -∞cmnf 10673  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675   ↾_t crest 16694  SAlgcsalg 42613  SMblFncsmblfn 42997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cc 9857  ax-ac2 9885  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-card 9368  df-acn 9371  df-ac 9542  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-ioo 12743  df-ico 12745  df-fl 13163  df-rest 16696  df-salg 42614  df-smblfn 42998

This theorem is referenced by:  smfpimgtxrmpt  43080