Theorem smfpimgtxr 46701

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) (Revised by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimgtxr.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimgtxr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtxr.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimgtxr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimgtxr	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtxr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5169	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ -∞ < (𝐹‘𝑥)))
2	1	rabbidv 3451	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)})
3		smfpimgtxr.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4		smfpimgtxr.x	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5	4	nfdm 5976	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
6	3, 5	nfcxfr 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
7		nfcv 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
8		nfv 1913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦-∞ < (𝐹‘𝑥)
9		nfcv 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
10		nfcv 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 <
11		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
12	4, 11	nffv 6930	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
13	9, 10, 12	nfbr 5213	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥-∞ < (𝐹‘𝑦)
14		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
15	14	breq2d 5178	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (-∞ < (𝐹‘𝑥) ↔ -∞ < (𝐹‘𝑦)))
16	6, 7, 8, 13, 15	cbvrabw 3481	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑦)}
17		nfv 1913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
18		smfpimgtxr.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
19		smfpimgtxr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
20	18, 19, 3	smff 46653	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
21	20	ffvelcdmda 7118	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
22	17, 21	pimgtmnf 46644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑦)} = 𝐷)
23	16, 22	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = 𝐷)
24	2, 23	sylan9eqr 2802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = 𝐷)
25	18, 19, 3	smfdmss 46654	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
26	18, 25	subsaluni 46281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
28	24, 27	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
29		breq1 5169	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ +∞ < (𝐹‘𝑥)))
30	29	rabbidv 3451	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)})
31	4, 6, 20	pimgtpnf2f 46626	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)} = ∅)
32	30, 31	sylan9eqr 2802	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = ∅)
33	19	dmexd 7943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
34	3, 33	eqeltrid 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
35		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
36	18, 34, 35	subsalsal 46280	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
37	36	0sald 46271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
39	32, 38	eqeltrd 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
40	39	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
41		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝜑)
42		smfpimgtxr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
44		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
45		neqne 2954	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ +∞)
46	45	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
47	43, 44, 46	xrred 45280	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
48	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
49	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
50		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
51	4, 48, 49, 3, 50	smfpreimagtf 46689	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
52	41, 47, 51	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
53	40, 52	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
54	28, 53	pm2.61dane 3035	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2893   ≠ wne 2946  {crab 3443  Vcvv 3488  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  +∞cpnf 11321  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ↾_t crest 17480  SAlgcsalg 46229  SMblFncsmblfn 46616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-card 10008  df-acn 10011  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-fl 13843  df-rest 17482  df-salg 46230  df-smblfn 46617

This theorem is referenced by:  smfpimgtxrmptf  46705  smfpimne  46760  smfinfdmmbllem  46769