Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimgtxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimgtxr 41560
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimgtxr.x 𝑥𝐹
smfpimgtxr.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxr.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtxr.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpimgtxr.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimgtxr (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtxr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4811 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < (𝐹𝑥) ↔ -∞ < (𝐹𝑥)))
21rabbidv 3337 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)})
32adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)})
4 smfpimgtxr.d . . . . . . . . 9 𝐷 = dom 𝐹
5 smfpimgtxr.x . . . . . . . . . 10 𝑥𝐹
65nfdm 5535 . . . . . . . . 9 𝑥dom 𝐹
74, 6nfcxfr 2904 . . . . . . . 8 𝑥𝐷
8 nfcv 2906 . . . . . . . 8 𝑦𝐷
9 nfv 2009 . . . . . . . 8 𝑦-∞ < (𝐹𝑥)
10 nfcv 2906 . . . . . . . . 9 𝑥-∞
11 nfcv 2906 . . . . . . . . 9 𝑥 <
12 nfcv 2906 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦
135, 12nffv 6384 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐹𝑦)
1410, 11, 13nfbr 4855 . . . . . . . 8 𝑥-∞ < (𝐹𝑦)
15 fveq2 6374 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
1615breq2d 4820 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (-∞ < (𝐹𝑥) ↔ -∞ < (𝐹𝑦)))
177, 8, 9, 14, 16cbvrab 3346 . . . . . . 7 {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)} = {𝑦𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑦)}
1817a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)} = {𝑦𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑦)})
19 nfv 2009 . . . . . . 7 𝑦𝜑
20 smfpimgtxr.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
21 smfpimgtxr.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2220, 21, 4smff 41513 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
2322adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
24 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
2523, 24ffvelrnd 6549 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
2619, 25pimgtmnf 41504 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑦𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑦)} = 𝐷)
27 eqidd 2765 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = 𝐷)
2818, 26, 273eqtrd 2802 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)} = 𝐷)
2928adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)} = 𝐷)
303, 29eqtrd 2798 . . 3 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = 𝐷)
3120, 21, 4smfdmss 41514 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 𝑆)
3220, 31restuni4 39886 . . . . . 6 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
3332eqcomd 2770 . . . . 5 (𝜑𝐷 = (𝑆t 𝐷))
3421dmexd 39998 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
354, 34syl5eqel 2847 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ V)
36 eqid 2764 . . . . . . 7 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
3720, 35, 36subsalsal 41146 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
3837salunid 41140 . . . . 5 (𝜑 (𝑆t 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷))
3933, 38eqeltrd 2843 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝑆t 𝐷))
4039adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐴 = -∞) → 𝐷 ∈ (𝑆t 𝐷))
4130, 40eqeltrd 2843 . 2 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
42 neqne 2944 . . . 4 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
4342adantl 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
44 breq1 4811 . . . . . . . . 9 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < (𝐹𝑥) ↔ +∞ < (𝐹𝑥)))
4544rabbidv 3337 . . . . . . . 8 (𝐴 = +∞ → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷 ∣ +∞ < (𝐹𝑥)})
4645adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷 ∣ +∞ < (𝐹𝑥)})
475, 22pimgtpnf2 41489 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ +∞ < (𝐹𝑥)} = ∅)
4847adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ +∞ < (𝐹𝑥)} = ∅)
4946, 48eqtrd 2798 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = ∅)
50370sald 41137 . . . . . . 7 (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
5150adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = +∞) → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
5249, 51eqeltrd 2843 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
5352adantlr 706 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
54 simpll 783 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝜑)
55 smfpimgtxr.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5654, 55syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
57 simplr 785 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
58 neqne 2944 . . . . . . 7 𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ +∞)
5958adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
6056, 57, 59xrred 40151 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
6120adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
6221adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
63 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
645, 61, 62, 4, 63smfpreimagtf 41548 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
6554, 60, 64syl2anc 579 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
6653, 65pm2.61dan 847 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
6743, 66syldan 585 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
6841, 67pm2.61dan 847 1 (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wnfc 2893  wne 2936  {crab 3058  Vcvv 3349  c0 4078   cuni 4593   class class class wbr 4808  dom cdm 5276  wf 6063  cfv 6067  (class class class)co 6841  cr 10187  +∞cpnf 10324  -∞cmnf 10325  *cxr 10326   < clt 10327  t crest 16348  SAlgcsalg 41097  SMblFncsmblfn 41481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cc 9509  ax-ac2 9537  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-sup 8554  df-inf 8555  df-card 9015  df-acn 9018  df-ac 9189  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-q 11989  df-rp 12028  df-ioo 12380  df-ico 12382  df-fl 12800  df-rest 16350  df-salg 41098  df-smblfn 41482
This theorem is referenced by:  smfpimgtxrmpt  41564
  Copyright terms: Public domain W3C validator