Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimgtxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimgtxr 45095
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) (Revised by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimgtxr.x β„²π‘₯𝐹
smfpimgtxr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
smfpimgtxr.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpimgtxr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimgtxr (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem smfpimgtxr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5113 . . . . 5 (𝐴 = -∞ β†’ (𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯) ↔ -∞ < (πΉβ€˜π‘₯)))
21rabbidv 3418 . . . 4 (𝐴 = -∞ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (πΉβ€˜π‘₯)})
3 smfpimgtxr.d . . . . . . 7 𝐷 = dom 𝐹
4 smfpimgtxr.x . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝐹
54nfdm 5911 . . . . . . 7 β„²π‘₯dom 𝐹
63, 5nfcxfr 2906 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐷
7 nfcv 2908 . . . . . 6 Ⅎ𝑦𝐷
8 nfv 1918 . . . . . 6 Ⅎ𝑦-∞ < (πΉβ€˜π‘₯)
9 nfcv 2908 . . . . . . 7 β„²π‘₯-∞
10 nfcv 2908 . . . . . . 7 β„²π‘₯ <
11 nfcv 2908 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑦
124, 11nffv 6857 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘¦)
139, 10, 12nfbr 5157 . . . . . 6 β„²π‘₯-∞ < (πΉβ€˜π‘¦)
14 fveq2 6847 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
1514breq2d 5122 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (-∞ < (πΉβ€˜π‘₯) ↔ -∞ < (πΉβ€˜π‘¦)))
166, 7, 8, 13, 15cbvrabw 3442 . . . . 5 {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (πΉβ€˜π‘₯)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (πΉβ€˜π‘¦)}
17 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘¦πœ‘
18 smfpimgtxr.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
19 smfpimgtxr.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
2018, 19, 3smff 45047 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
2120ffvelcdmda 7040 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2217, 21pimgtmnf 45038 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (πΉβ€˜π‘¦)} = 𝐷)
2316, 22eqtrid 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (πΉβ€˜π‘₯)} = 𝐷)
242, 23sylan9eqr 2799 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = -∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} = 𝐷)
2518, 19, 3smfdmss 45048 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
2618, 25subsaluni 44675 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
2726adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐷 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
2824, 27eqeltrd 2838 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = -∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
29 breq1 5113 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ β†’ (𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯) ↔ +∞ < (πΉβ€˜π‘₯)))
3029rabbidv 3418 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (πΉβ€˜π‘₯)})
314, 6, 20pimgtpnf2f 45020 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (πΉβ€˜π‘₯)} = βˆ…)
3230, 31sylan9eqr 2799 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = +∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} = βˆ…)
3319dmexd 7847 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ V)
343, 33eqeltrid 2842 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
35 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt 𝐷)
3618, 34, 35subsalsal 44674 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
37360sald 44665 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3837adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = +∞) β†’ βˆ… ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3932, 38eqeltrd 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = +∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
4039adantlr 714 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  -∞) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
41 simpll 766 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  -∞) ∧ Β¬ 𝐴 = +∞) β†’ πœ‘)
42 smfpimgtxr.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4341, 42syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  -∞) ∧ Β¬ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
44 simplr 768 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  -∞) ∧ Β¬ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 β‰  -∞)
45 neqne 2952 . . . . . 6 (Β¬ 𝐴 = +∞ β†’ 𝐴 β‰  +∞)
4645adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  -∞) ∧ Β¬ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 β‰  +∞)
4743, 44, 46xrred 43673 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  -∞) ∧ Β¬ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4818adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
4919adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
50 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
514, 48, 49, 3, 50smfpreimagtf 45083 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5241, 47, 51syl2anc 585 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  -∞) ∧ Β¬ 𝐴 = +∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5340, 52pm2.61dan 812 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  -∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5428, 53pm2.61dane 3033 1 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2888   β‰  wne 2944  {crab 3410  Vcvv 3448  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195   < clt 11196   β†Ύt crest 17309  SAlgcsalg 44623  SMblFncsmblfn 45010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-card 9882  df-acn 9885  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-fl 13704  df-rest 17311  df-salg 44624  df-smblfn 45011
This theorem is referenced by:  smfpimgtxrmptf  45099  smfpimne  45154  smfinfdmmbllem  45163
  Copyright terms: Public domain W3C validator