Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimgtxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimgtxr 46230
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) (Revised by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimgtxr.x β„²π‘₯𝐹
smfpimgtxr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
smfpimgtxr.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpimgtxr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimgtxr (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem smfpimgtxr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5146 . . . . 5 (𝐴 = -∞ β†’ (𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯) ↔ -∞ < (πΉβ€˜π‘₯)))
21rabbidv 3427 . . . 4 (𝐴 = -∞ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (πΉβ€˜π‘₯)})
3 smfpimgtxr.d . . . . . . 7 𝐷 = dom 𝐹
4 smfpimgtxr.x . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝐹
54nfdm 5947 . . . . . . 7 β„²π‘₯dom 𝐹
63, 5nfcxfr 2890 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐷
7 nfcv 2892 . . . . . 6 Ⅎ𝑦𝐷
8 nfv 1909 . . . . . 6 Ⅎ𝑦-∞ < (πΉβ€˜π‘₯)
9 nfcv 2892 . . . . . . 7 β„²π‘₯-∞
10 nfcv 2892 . . . . . . 7 β„²π‘₯ <
11 nfcv 2892 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑦
124, 11nffv 6901 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘¦)
139, 10, 12nfbr 5190 . . . . . 6 β„²π‘₯-∞ < (πΉβ€˜π‘¦)
14 fveq2 6891 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
1514breq2d 5155 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (-∞ < (πΉβ€˜π‘₯) ↔ -∞ < (πΉβ€˜π‘¦)))
166, 7, 8, 13, 15cbvrabw 3456 . . . . 5 {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (πΉβ€˜π‘₯)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (πΉβ€˜π‘¦)}
17 nfv 1909 . . . . . 6 β„²π‘¦πœ‘
18 smfpimgtxr.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
19 smfpimgtxr.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
2018, 19, 3smff 46182 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
2120ffvelcdmda 7088 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2217, 21pimgtmnf 46173 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (πΉβ€˜π‘¦)} = 𝐷)
2316, 22eqtrid 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (πΉβ€˜π‘₯)} = 𝐷)
242, 23sylan9eqr 2787 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = -∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} = 𝐷)
2518, 19, 3smfdmss 46183 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
2618, 25subsaluni 45810 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
2726adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐷 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
2824, 27eqeltrd 2825 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = -∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
29 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ β†’ (𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯) ↔ +∞ < (πΉβ€˜π‘₯)))
3029rabbidv 3427 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (πΉβ€˜π‘₯)})
314, 6, 20pimgtpnf2f 46155 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (πΉβ€˜π‘₯)} = βˆ…)
3230, 31sylan9eqr 2787 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = +∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} = βˆ…)
3319dmexd 7907 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ V)
343, 33eqeltrid 2829 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
35 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt 𝐷)
3618, 34, 35subsalsal 45809 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
37360sald 45800 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3837adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = +∞) β†’ βˆ… ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
3932, 38eqeltrd 2825 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = +∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
4039adantlr 713 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  -∞) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
41 simpll 765 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  -∞) ∧ Β¬ 𝐴 = +∞) β†’ πœ‘)
42 smfpimgtxr.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4341, 42syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  -∞) ∧ Β¬ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
44 simplr 767 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  -∞) ∧ Β¬ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 β‰  -∞)
45 neqne 2938 . . . . . 6 (Β¬ 𝐴 = +∞ β†’ 𝐴 β‰  +∞)
4645adantl 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  -∞) ∧ Β¬ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 β‰  +∞)
4743, 44, 46xrred 44809 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  -∞) ∧ Β¬ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4818adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
4919adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
50 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
514, 48, 49, 3, 50smfpreimagtf 46218 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5241, 47, 51syl2anc 582 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  -∞) ∧ Β¬ 𝐴 = +∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5340, 52pm2.61dan 811 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  -∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5428, 53pm2.61dane 3019 1 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2875   β‰  wne 2930  {crab 3419  Vcvv 3463  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„cr 11135  +∞cpnf 11273  -∞cmnf 11274  β„*cxr 11275   < clt 11276   β†Ύt crest 17399  SAlgcsalg 45758  SMblFncsmblfn 46145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-ac2 10484  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-card 9960  df-acn 9963  df-ac 10137  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-fl 13787  df-rest 17401  df-salg 45759  df-smblfn 46146
This theorem is referenced by:  smfpimgtxrmptf  46234  smfpimne  46289  smfinfdmmbllem  46298
  Copyright terms: Public domain W3C validator