Theorem smfpimgtxr 44283

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimgtxr.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimgtxr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtxr.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimgtxr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimgtxr	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtxr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ -∞ < (𝐹‘𝑥)))
2	1	rabbidv 3413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)})
3	2	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)})
4		smfpimgtxr.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
5		smfpimgtxr.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
6	5	nfdm 5859	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
7	4, 6	nfcxfr 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
8		nfcv 2909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
9		nfv 1921	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦-∞ < (𝐹‘𝑥)
10		nfcv 2909	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
11		nfcv 2909	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 <
12		nfcv 2909	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
13	5, 12	nffv 6781	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
14	10, 11, 13	nfbr 5126	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥-∞ < (𝐹‘𝑦)
15		fveq2 6771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
16	15	breq2d 5091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (-∞ < (𝐹‘𝑥) ↔ -∞ < (𝐹‘𝑦)))
17	7, 8, 9, 14, 16	cbvrabw 3423	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑦)}
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑦)})
19		nfv 1921	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
20		smfpimgtxr.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
21		smfpimgtxr.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
22	20, 21, 4	smff 44236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
23	22	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
24		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
25	23, 24	ffvelrnd 6959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
26	19, 25	pimgtmnf 44227	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑦)} = 𝐷)
27		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐷)
28	18, 26, 27	3eqtrd 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = 𝐷)
29	28	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = 𝐷)
30	3, 29	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = 𝐷)
31	20, 21, 4	smfdmss 44237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
32	20, 31	restuni4 42640	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = 𝐷)
33	32	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷))
34	21	dmexd 7746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
35	4, 34	eqeltrid 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
36		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
37	20, 35, 36	subsalsal 43869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
38	37	salunid 43863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
39	33, 38	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
40	39	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
41	30, 40	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
42		neqne 2953	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
43	42	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
44		breq1 5082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ +∞ < (𝐹‘𝑥)))
45	44	rabbidv 3413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = +∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)})
46	45	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)})
47	5, 22	pimgtpnf2 44212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)} = ∅)
48	47	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)} = ∅)
49	46, 48	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = ∅)
50	37	0sald 43860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
51	50	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
52	49, 51	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
53	52	adantlr 712	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
54		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝜑)
55		smfpimgtxr.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
56	54, 55	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
57		simplr 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
58		neqne 2953	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ +∞)
59	58	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
60	56, 57, 59	xrred 42875	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
61	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
62	21	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
63		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
64	5, 61, 62, 4, 63	smfpreimagtf 44271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
65	54, 60, 64	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
66	53, 65	pm2.61dan 810	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
67	43, 66	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
68	41, 67	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  Ⅎwnfc 2889   ≠ wne 2945  {crab 3070  Vcvv 3431  ∅c0 4262  ∪ cuni 4845   class class class wbr 5079  dom cdm 5590  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℝcr 10871  +∞cpnf 11007  -∞cmnf 11008  ℝ^*cxr 11009   < clt 11010   ↾_t crest 17129  SAlgcsalg 43820  SMblFncsmblfn 44204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cc 10192  ax-ac2 10220  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-inf 9180  df-card 9698  df-acn 9701  df-ac 9873  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-ioo 13082  df-ico 13084  df-fl 13510  df-rest 17131  df-salg 43821  df-smblfn 44205

This theorem is referenced by:  smfpimgtxrmpt  44287