Theorem smfpimgtxr 46778

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) (Revised by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimgtxr.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimgtxr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtxr.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimgtxr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimgtxr	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtxr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5110	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ -∞ < (𝐹‘𝑥)))
2	1	rabbidv 3413	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)})
3		smfpimgtxr.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4		smfpimgtxr.x	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5	4	nfdm 5915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
6	3, 5	nfcxfr 2889	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
7		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
8		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦-∞ < (𝐹‘𝑥)
9		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
10		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 <
11		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
12	4, 11	nffv 6868	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
13	9, 10, 12	nfbr 5154	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥-∞ < (𝐹‘𝑦)
14		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
15	14	breq2d 5119	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (-∞ < (𝐹‘𝑥) ↔ -∞ < (𝐹‘𝑦)))
16	6, 7, 8, 13, 15	cbvrabw 3441	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑦)}
17		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
18		smfpimgtxr.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
19		smfpimgtxr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
20	18, 19, 3	smff 46730	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
21	20	ffvelcdmda 7056	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
22	17, 21	pimgtmnf 46721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑦)} = 𝐷)
23	16, 22	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = 𝐷)
24	2, 23	sylan9eqr 2786	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = 𝐷)
25	18, 19, 3	smfdmss 46731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
26	18, 25	subsaluni 46358	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
28	24, 27	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
29		breq1 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ +∞ < (𝐹‘𝑥)))
30	29	rabbidv 3413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)})
31	4, 6, 20	pimgtpnf2f 46703	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)} = ∅)
32	30, 31	sylan9eqr 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = ∅)
33	19	dmexd 7879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
34	3, 33	eqeltrid 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
35		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
36	18, 34, 35	subsalsal 46357	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
37	36	0sald 46348	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
39	32, 38	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
40	39	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
41		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝜑)
42		smfpimgtxr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
44		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
45		neqne 2933	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ +∞)
46	45	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
47	43, 44, 46	xrred 45361	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
48	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
49	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
50		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
51	4, 48, 49, 3, 50	smfpreimagtf 46766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
52	41, 47, 51	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
53	40, 52	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
54	28, 53	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876   ≠ wne 2925  {crab 3405  Vcvv 3447  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  +∞cpnf 11205  -∞cmnf 11206  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ↾_t crest 17383  SAlgcsalg 46306  SMblFncsmblfn 46693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388  ax-ac2 10416  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-card 9892  df-acn 9895  df-ac 10069  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-fl 13754  df-rest 17385  df-salg 46307  df-smblfn 46694

This theorem is referenced by:  smfpimgtxrmptf  46782  smfpimne  46837  smfinfdmmbllem  46846