Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimgtxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimgtxr 42922
 Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimgtxr.x 𝑥𝐹
smfpimgtxr.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxr.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtxr.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpimgtxr.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimgtxr (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtxr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5066 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < (𝐹𝑥) ↔ -∞ < (𝐹𝑥)))
21rabbidv 3486 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)})
32adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)})
4 smfpimgtxr.d . . . . . . . . 9 𝐷 = dom 𝐹
5 smfpimgtxr.x . . . . . . . . . 10 𝑥𝐹
65nfdm 5822 . . . . . . . . 9 𝑥dom 𝐹
74, 6nfcxfr 2980 . . . . . . . 8 𝑥𝐷
8 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑦𝐷
9 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑦-∞ < (𝐹𝑥)
10 nfcv 2982 . . . . . . . . 9 𝑥-∞
11 nfcv 2982 . . . . . . . . 9 𝑥 <
12 nfcv 2982 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦
135, 12nffv 6677 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐹𝑦)
1410, 11, 13nfbr 5110 . . . . . . . 8 𝑥-∞ < (𝐹𝑦)
15 fveq2 6667 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
1615breq2d 5075 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (-∞ < (𝐹𝑥) ↔ -∞ < (𝐹𝑦)))
177, 8, 9, 14, 16cbvrab 3496 . . . . . . 7 {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)} = {𝑦𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑦)}
1817a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)} = {𝑦𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑦)})
19 nfv 1908 . . . . . . 7 𝑦𝜑
20 smfpimgtxr.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
21 smfpimgtxr.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2220, 21, 4smff 42875 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
2322adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
24 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
2523, 24ffvelrnd 6848 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
2619, 25pimgtmnf 42866 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑦𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑦)} = 𝐷)
27 eqidd 2827 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = 𝐷)
2818, 26, 273eqtrd 2865 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)} = 𝐷)
2928adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)} = 𝐷)
303, 29eqtrd 2861 . . 3 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = 𝐷)
3120, 21, 4smfdmss 42876 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 𝑆)
3220, 31restuni4 41253 . . . . . 6 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
3332eqcomd 2832 . . . . 5 (𝜑𝐷 = (𝑆t 𝐷))
3421dmexd 7603 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
354, 34eqeltrid 2922 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ V)
36 eqid 2826 . . . . . . 7 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
3720, 35, 36subsalsal 42508 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
3837salunid 42502 . . . . 5 (𝜑 (𝑆t 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷))
3933, 38eqeltrd 2918 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝑆t 𝐷))
4039adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 = -∞) → 𝐷 ∈ (𝑆t 𝐷))
4130, 40eqeltrd 2918 . 2 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
42 neqne 3029 . . . 4 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
4342adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
44 breq1 5066 . . . . . . . . 9 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < (𝐹𝑥) ↔ +∞ < (𝐹𝑥)))
4544rabbidv 3486 . . . . . . . 8 (𝐴 = +∞ → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷 ∣ +∞ < (𝐹𝑥)})
4645adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷 ∣ +∞ < (𝐹𝑥)})
475, 22pimgtpnf2 42851 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ +∞ < (𝐹𝑥)} = ∅)
4847adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ +∞ < (𝐹𝑥)} = ∅)
4946, 48eqtrd 2861 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = ∅)
50370sald 42499 . . . . . . 7 (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
5150adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = +∞) → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
5249, 51eqeltrd 2918 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
5352adantlr 711 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
54 simpll 763 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝜑)
55 smfpimgtxr.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5654, 55syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
57 simplr 765 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
58 neqne 3029 . . . . . . 7 𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ +∞)
5958adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
6056, 57, 59xrred 41498 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
6120adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
6221adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
63 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
645, 61, 62, 4, 63smfpreimagtf 42910 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
6554, 60, 64syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
6653, 65pm2.61dan 809 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
6743, 66syldan 591 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
6841, 67pm2.61dan 809 1 (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2966   ≠ wne 3021  {crab 3147  Vcvv 3500  ∅c0 4295  ∪ cuni 4837   class class class wbr 5063  dom cdm 5554  ⟶wf 6348  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148  ℝcr 10525  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ↾t crest 16684  SAlgcsalg 42459  SMblFncsmblfn 42843 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-card 9357  df-acn 9360  df-ac 9531  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-fl 13152  df-rest 16686  df-salg 42460  df-smblfn 42844 This theorem is referenced by:  smfpimgtxrmpt  42926
 Copyright terms: Public domain W3C validator