Theorem smfpimgtxr 45482

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) (Revised by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimgtxr.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimgtxr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtxr.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimgtxr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimgtxr	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtxr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5150	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ -∞ < (𝐹‘𝑥)))
2	1	rabbidv 3440	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)})
3		smfpimgtxr.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4		smfpimgtxr.x	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5	4	nfdm 5948	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
6	3, 5	nfcxfr 2901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
7		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
8		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦-∞ < (𝐹‘𝑥)
9		nfcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
10		nfcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 <
11		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
12	4, 11	nffv 6898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
13	9, 10, 12	nfbr 5194	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥-∞ < (𝐹‘𝑦)
14		fveq2 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
15	14	breq2d 5159	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (-∞ < (𝐹‘𝑥) ↔ -∞ < (𝐹‘𝑦)))
16	6, 7, 8, 13, 15	cbvrabw 3467	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑦)}
17		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
18		smfpimgtxr.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
19		smfpimgtxr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
20	18, 19, 3	smff 45434	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
21	20	ffvelcdmda 7083	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
22	17, 21	pimgtmnf 45425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑦)} = 𝐷)
23	16, 22	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = 𝐷)
24	2, 23	sylan9eqr 2794	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = 𝐷)
25	18, 19, 3	smfdmss 45435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
26	18, 25	subsaluni 45062	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
27	26	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
28	24, 27	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
29		breq1 5150	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ +∞ < (𝐹‘𝑥)))
30	29	rabbidv 3440	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)})
31	4, 6, 20	pimgtpnf2f 45407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)} = ∅)
32	30, 31	sylan9eqr 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = ∅)
33	19	dmexd 7892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
34	3, 33	eqeltrid 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
35		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
36	18, 34, 35	subsalsal 45061	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
37	36	0sald 45052	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
38	37	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
39	32, 38	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
40	39	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
41		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝜑)
42		smfpimgtxr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
44		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
45		neqne 2948	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ +∞)
46	45	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
47	43, 44, 46	xrred 44061	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
48	18	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
49	19	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
50		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
51	4, 48, 49, 3, 50	smfpreimagtf 45470	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
52	41, 47, 51	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
53	40, 52	pm2.61dan 811	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
54	28, 53	pm2.61dane 3029	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2883   ≠ wne 2940  {crab 3432  Vcvv 3474  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ↾_t crest 17362  SAlgcsalg 45010  SMblFncsmblfn 45397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-fl 13753  df-rest 17364  df-salg 45011  df-smblfn 45398

This theorem is referenced by:  smfpimgtxrmptf  45486  smfpimne  45541  smfinfdmmbllem  45550