Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimgtxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimgtxr 46162
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) (Revised by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimgtxr.x 𝑥𝐹
smfpimgtxr.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxr.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtxr.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpimgtxr.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimgtxr (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtxr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5145 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < (𝐹𝑥) ↔ -∞ < (𝐹𝑥)))
21rabbidv 3436 . . . 4 (𝐴 = -∞ → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)})
3 smfpimgtxr.d . . . . . . 7 𝐷 = dom 𝐹
4 smfpimgtxr.x . . . . . . . 8 𝑥𝐹
54nfdm 5947 . . . . . . 7 𝑥dom 𝐹
63, 5nfcxfr 2897 . . . . . 6 𝑥𝐷
7 nfcv 2899 . . . . . 6 𝑦𝐷
8 nfv 1910 . . . . . 6 𝑦-∞ < (𝐹𝑥)
9 nfcv 2899 . . . . . . 7 𝑥-∞
10 nfcv 2899 . . . . . . 7 𝑥 <
11 nfcv 2899 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
124, 11nffv 6901 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑦)
139, 10, 12nfbr 5189 . . . . . 6 𝑥-∞ < (𝐹𝑦)
14 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
1514breq2d 5154 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (-∞ < (𝐹𝑥) ↔ -∞ < (𝐹𝑦)))
166, 7, 8, 13, 15cbvrabw 3463 . . . . 5 {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)} = {𝑦𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑦)}
17 nfv 1910 . . . . . 6 𝑦𝜑
18 smfpimgtxr.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
19 smfpimgtxr.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2018, 19, 3smff 46114 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
2120ffvelcdmda 7088 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
2217, 21pimgtmnf 46105 . . . . 5 (𝜑 → {𝑦𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑦)} = 𝐷)
2316, 22eqtrid 2780 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ -∞ < (𝐹𝑥)} = 𝐷)
242, 23sylan9eqr 2790 . . 3 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = 𝐷)
2518, 19, 3smfdmss 46115 . . . . 5 (𝜑𝐷 𝑆)
2618, 25subsaluni 45742 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝑆t 𝐷))
2726adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 = -∞) → 𝐷 ∈ (𝑆t 𝐷))
2824, 27eqeltrd 2829 . 2 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
29 breq1 5145 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < (𝐹𝑥) ↔ +∞ < (𝐹𝑥)))
3029rabbidv 3436 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷 ∣ +∞ < (𝐹𝑥)})
314, 6, 20pimgtpnf2f 46087 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ +∞ < (𝐹𝑥)} = ∅)
3230, 31sylan9eqr 2790 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = ∅)
3319dmexd 7905 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
343, 33eqeltrid 2833 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ V)
35 eqid 2728 . . . . . . . 8 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
3618, 34, 35subsalsal 45741 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
37360sald 45732 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
3837adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = +∞) → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
3932, 38eqeltrd 2829 . . . 4 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
4039adantlr 714 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
41 simpll 766 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝜑)
42 smfpimgtxr.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4341, 42syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
44 simplr 768 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
45 neqne 2944 . . . . . 6 𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ +∞)
4645adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
4743, 44, 46xrred 44741 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
4818adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
4919adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
50 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
514, 48, 49, 3, 50smfpreimagtf 46150 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
5241, 47, 51syl2anc 583 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
5340, 52pm2.61dan 812 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ -∞) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
5428, 53pm2.61dane 3025 1 (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wnfc 2879  wne 2936  {crab 3428  Vcvv 3470  c0 4318   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  cfv 6542  (class class class)co 7414  cr 11131  +∞cpnf 11269  -∞cmnf 11270  *cxr 11271   < clt 11272  t crest 17395  SAlgcsalg 45690  SMblFncsmblfn 46077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cc 10452  ax-ac2 10480  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-card 9956  df-acn 9959  df-ac 10133  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-ioo 13354  df-ico 13356  df-fl 13783  df-rest 17397  df-salg 45691  df-smblfn 46078
This theorem is referenced by:  smfpimgtxrmptf  46166  smfpimne  46221  smfinfdmmbllem  46230
  Copyright terms: Public domain W3C validator