Theorem restrreld 41228

Description: The restriction of a transitive relation is a transitive relation. (Contributed by RP, 24-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
restrreld.r	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅)
restrreld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑅 ↾ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
restrreld	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∘ 𝑆) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem restrreld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restrreld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅)
2		restrreld.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑅 ↾ 𝐴))
3		df-res 5600	. . 3 ⊢ (𝑅 ↾ 𝐴) = (𝑅 ∩ (𝐴 × V))
4	2, 3	eqtrdi 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑅 ∩ (𝐴 × V)))
5	1, 4	xpintrreld 41227	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∘ 𝑆) ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  Vcvv 3430   ∩ cin 3890   ⊆ wss 3891   × cxp 5586   ↾ cres 5590   ∘ ccom 5592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-br 5079  df-opab 5141  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600

This theorem is referenced by: (None)