Theorem rrextdrg 34260

Description: An extension of ℝ is a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrextdrg	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem rrextdrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
4	1, 2, 3	isrrext 34258	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt ↔ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))))
5	4	simp1bi 1157	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing))
6	5	simprd 499	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   × cxp 5641   ↾ cres 5645  ‘cfv 6516  0cc0 11067  Basecbs 17236  distcds 17286  DivRingcdr 20766  metUnifcmetu 21403  ℤModczlm 21540  chrcchr 21541  UnifStcuss 24301  CUnifSpccusp 24344  NrmRingcnrg 24627  NrmModcnlm 24628   ℝExt crrext 34252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-xp 5649  df-res 5655  df-iota 6472  df-fv 6524  df-rrext 34257

This theorem is referenced by:  rrhfe  34270  rrhcne  34271  rrhqima  34272  rrh0  34273  sitgclg  34600