Theorem rrextdrg 34087

Description: An extension of ℝ is a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrextdrg	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem rrextdrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
4	1, 2, 3	isrrext 34085	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt ↔ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))))
5	4	simp1bi 1145	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing))
6	5	simprd 495	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   × cxp 5619   ↾ cres 5623  ‘cfv 6489  0cc0 11017  Basecbs 17127  distcds 17177  DivRingcdr 20653  metUnifcmetu 21291  ℤModczlm 21446  chrcchr 21447  UnifStcuss 24188  CUnifSpccusp 24231  NrmRingcnrg 24514  NrmModcnlm 24515   ℝExt crrext 34079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5627  df-res 5633  df-iota 6445  df-fv 6497  df-rrext 34084

This theorem is referenced by:  rrhfe  34097  rrhcne  34098  rrhqima  34099  rrh0  34100  sitgclg  34427