Theorem rrextdrg 34186

Description: An extension of ℝ is a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrextdrg	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem rrextdrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
3		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
4	1, 2, 3	isrrext 34184	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt ↔ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))))
5	4	simp1bi 1151	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing))
6	5	simprd 496	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   × cxp 5616   ↾ cres 5620  ‘cfv 6485  0cc0 11029  Basecbs 17170  distcds 17220  DivRingcdr 20701  metUnifcmetu 21338  ℤModczlm 21475  chrcchr 21476  UnifStcuss 24236  CUnifSpccusp 24279  NrmRingcnrg 24562  NrmModcnlm 24563   ℝExt crrext 34178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-xp 5624  df-res 5630  df-iota 6441  df-fv 6493  df-rrext 34183

This theorem is referenced by:  rrhfe  34196  rrhcne  34197  rrhqima  34198  rrh0  34199  sitgclg  34526