Theorem rrextnrg 34700

Description: An extension of ℝ is a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrextnrg	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem rrextnrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
4	1, 2, 3	isrrext 34699	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt ↔ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))))
5	4	simp1bi 1163	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing))
6	5	simpld 500	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ NrmRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   × cxp 5653   ↾ cres 5657  ‘cfv 6555  0cc0 11224  Basecbs 17413  distcds 17463  DivRingcdr 21007  metUnifcmetu 21696  ℤModczlm 21833  chrcchr 21834  UnifStcuss 24599  CUnifSpccusp 24642  NrmRingcnrg 24925  NrmModcnlm 24926   ℝExt crrext 34693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-xp 5661  df-res 5667  df-iota 6509  df-fv 6563  df-rrext 34698

This theorem is used by:  rrexttps  34705  rrexthaus  34706  rrhfe  34711  rrhcne  34712  rrhqima  34713  sitgclg  35041