Theorem rrextnrg 34165

Description: An extension of ℝ is a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rrextnrg	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem rrextnrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤMod‘𝑅) = (ℤMod‘𝑅)
4	1, 2, 3	isrrext 34164	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt ↔ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘𝑅) ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑅 ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))))
5	4	simp1bi 1146	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ NrmRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   × cxp 5624   ↾ cres 5628  ‘cfv 6494  0cc0 11033  Basecbs 17174  distcds 17224  DivRingcdr 20701  metUnifcmetu 21339  ℤModczlm 21494  chrcchr 21495  UnifStcuss 24232  CUnifSpccusp 24275  NrmRingcnrg 24558  NrmModcnlm 24559   ℝExt crrext 34158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5632  df-res 5638  df-iota 6450  df-fv 6502  df-rrext 34163

This theorem is referenced by:  rrexttps  34170  rrexthaus  34171  rrhfe  34176  rrhcne  34177  rrhqima  34178  sitgclg  34506