Theorem ss2ab 3986

Description: Class abstractions in a subclass relationship. (Contributed by NM, 3-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ss2ab	⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ⊆ {𝑥 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))

Proof of Theorem ss2ab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfab1 2924	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∣ 𝜑}
2		nfab1 2924	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∣ 𝜓}
3	1, 2	dfssf 3899	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ⊆ {𝑥 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜓}))
4		abid 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
5		abid 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜓} ↔ 𝜓)
6	4, 5	imbi12i 353	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜓}) ↔ (𝜑 → 𝜓))
7	6	albii 1851	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜓}) ↔ ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
8	3, 7	bitri 278	1 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ⊆ {𝑥 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1567   ∈ wcel 2144  {cab 2738   ⊆ wss 3895

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-clab 2739  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ss 3896

This theorem is used by:  abss  3987  ssab  3988  ss2rab  3994  rabss2OLD  4003  rabsssn  4625  rabsspr  33145  rabsstp  33146  bj-gabss  37941  clss2lem  44705  ssabf  46209  abssf  46221  cfsetssfset  48220  sprssspr  48657