Theorem ss2rab 4070

Description: Restricted abstraction classes in a subclass relationship. (Contributed by NM, 30-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ss2rab	⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓))

Proof of Theorem ss2rab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3436	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
2		df-rab 3436	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)}
3	1, 2	sseq12i 4013	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)})
4		ss2ab 4061	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)} ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)))
5		df-ral 3061	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)))
6		imdistan 567	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)))
7	6	albii 1818	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)) ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)))
8	5, 7	bitr2i 276	. 2 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓))
9	3, 4, 8	3bitri 297	1 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1537   ∈ wcel 2107  {cab 2713  ∀wral 3060  {crab 3435   ⊆ wss 3950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ral 3061  df-rab 3436  df-ss 3967

This theorem is referenced by:  ss2rabdv  4075  ss2rabi  4076  ondomon  10604  eltsms  24142  xrlimcnp  27012  chpssati  32383  lpssat  39015  lssatle  39017  lssat  39018  atlatle  39322  pmaple  39764  diaord  41050  mapdordlem2  41640  rmxyelqirrOLD  42927  ss2rabdf  45160  pimiooltgt  46730  preimageiingt  46740  preimaleiinlt  46741