Theorem ss2rab 4069

Description: Restricted abstraction classes in a subclass relationship. (Contributed by NM, 30-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ss2rab	⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓))

Proof of Theorem ss2rab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3434	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
2		df-rab 3434	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)}
3	1, 2	sseq12i 4013	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)})
4		ss2ab 4057	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)} ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)))
5		df-ral 3063	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)))
6		imdistan 569	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)))
7	6	albii 1822	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)) ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)))
8	5, 7	bitr2i 276	. 2 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓))
9	3, 4, 8	3bitri 297	1 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  ∀wal 1540   ∈ wcel 2107  {cab 2710  ∀wral 3062  {crab 3433   ⊆ wss 3949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-tru 1545  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-in 3956  df-ss 3966

This theorem is referenced by:  ss2rabdv  4074  ss2rabi  4075  ondomon  10558  eltsms  23637  xrlimcnp  26473  chpssati  31616  lpssat  37883  lssatle  37885  lssat  37886  atlatle  38190  pmaple  38632  diaord  39918  mapdordlem2  40508  rmxyelqirrOLD  41649  ss2rabdf  43844  pimiooltgt  45426  preimageiingt  45436  preimaleiinlt  45437