Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sprssspr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sprssspr 43925
Description: The set of all unordered pairs over a given set 𝑉 is a subset of the set of all unordered pairs. (Contributed by AV, 21-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
sprssspr (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}
Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝

Proof of Theorem sprssspr
StepHypRef Expression
1 sprval 43923 . . 3 (𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
2 r2ex 3296 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
3 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
432eximi 1837 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
52, 4sylbi 220 . . . . . 6 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
65ax-gen 1797 . . . . 5 𝑝(∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
76a1i 11 . . . 4 (𝑉 ∈ V → ∀𝑝(∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
8 ss2ab 4026 . . . 4 ({𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} ↔ ∀𝑝(∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
97, 8sylibr 237 . . 3 (𝑉 ∈ V → {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
101, 9eqsstrd 3992 . 2 (𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
11 fvprc 6655 . . 3 𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = ∅)
12 0ss 4334 . . . 4 ∅ ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}
1312a1i 11 . . 3 𝑉 ∈ V → ∅ ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
1411, 13eqsstrd 3992 . 2 𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
1510, 14pm2.61i 185 1 (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wal 1536   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  {cab 2802  wrex 3134  Vcvv 3481  wss 3920  c0 4277  {cpr 4553  cfv 6344  Pairscspr 43921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-spr 43922
This theorem is referenced by:  spr0el  43926
  Copyright terms: Public domain W3C validator