Theorem sprssspr 48389

Description: The set of all unordered pairs over a given set 𝑉 is a subset of the set of all unordered pairs. (Contributed by AV, 21-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sprssspr	⊢ (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝

Proof of Theorem sprssspr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprval 48387	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
2		r2ex 3201	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
3		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
4	3	2eximi 1869	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
5	2, 4	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
6	5	ax-gen 1828	. . . . 5 ⊢ ∀𝑝(∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∀𝑝(∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
8		ss2ab 4012	. . . 4 ⊢ ({𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} ↔ ∀𝑝(∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
9	7, 8	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
10	1, 9	eqsstrd 3968	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
11		fvprc 6874	. . 3 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = ∅)
12		0ss 4353	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → ∅ ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
14	11, 13	eqsstrd 3968	. 2 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
15	10, 14	pm2.61i 184	1 ⊢ (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  {cab 2740  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {cpr 4589  ‘cfv 6537  Pairscspr 48385

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-spr 48386

This theorem is used by:  spr0el  48390