Theorem sprssspr 47963

Description: The set of all unordered pairs over a given set 𝑉 is a subset of the set of all unordered pairs. (Contributed by AV, 21-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sprssspr	⊢ (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝

Proof of Theorem sprssspr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprval 47961	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
2		r2ex 3177	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
3		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
4	3	2eximi 1843	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
5	2, 4	sylbi 218	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
6	5	ax-gen 1802	. . . . 5 ⊢ ∀𝑝(∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∀𝑝(∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
8		ss2ab 3999	. . . 4 ⊢ ({𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} ↔ ∀𝑝(∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
9	7, 8	sylibr 235	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
10	1, 9	eqsstrd 3956	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
11		fvprc 6826	. . 3 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = ∅)
12		0ss 4335	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → ∅ ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
14	11, 13	eqsstrd 3956	. 2 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
15	10, 14	pm2.61i 183	1 ⊢ (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎∃𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396  ∀wal 1545   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  {cab 2718  ∃wrex 3064  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  {cpr 4564  ‘cfv 6492  Pairscspr 47959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-spr 47960

This theorem is referenced by:  spr0el  47964