Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sprssspr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sprssspr 45763
Description: The set of all unordered pairs over a given set 𝑉 is a subset of the set of all unordered pairs. (Contributed by AV, 21-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
sprssspr (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}
Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝

Proof of Theorem sprssspr
StepHypRef Expression
1 sprval 45761 . . 3 (𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
2 r2ex 3189 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
3 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
432eximi 1839 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
52, 4sylbi 216 . . . . . 6 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
65ax-gen 1798 . . . . 5 𝑝(∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏})
76a1i 11 . . . 4 (𝑉 ∈ V → ∀𝑝(∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
8 ss2ab 4020 . . . 4 ({𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} ↔ ∀𝑝(∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
97, 8sylibr 233 . . 3 (𝑉 ∈ V → {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}} ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
101, 9eqsstrd 3986 . 2 (𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
11 fvprc 6838 . . 3 𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = ∅)
12 0ss 4360 . . . 4 ∅ ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}
1312a1i 11 . . 3 𝑉 ∈ V → ∅ ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
1411, 13eqsstrd 3986 . 2 𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
1510, 14pm2.61i 182 1 (Pairs‘𝑉) ⊆ {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑏 𝑝 = {𝑎, 𝑏}}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wal 1540   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  {cab 2710  wrex 3070  Vcvv 3447  wss 3914  c0 4286  {cpr 4592  cfv 6500  Pairscspr 45759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-spr 45760
This theorem is referenced by:  spr0el  45764
  Copyright terms: Public domain W3C validator