MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trin2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trin2 5727
Description: The intersection of two transitive classes is transitive. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
trin2 (((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ (𝑆𝑆) ⊆ 𝑆) → ((𝑅𝑆) ∘ (𝑅𝑆)) ⊆ (𝑅𝑆))

Proof of Theorem trin2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cotr 5715 . . . 4 ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
2 cotr 5715 . . . . . 6 ((𝑆𝑆) ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
3 brin 4892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥(𝑅𝑆)𝑦 ↔ (𝑥𝑅𝑦𝑥𝑆𝑦))
4 brin 4892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦(𝑅𝑆)𝑧 ↔ (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑆𝑧))
5 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
6 simpl 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
75, 6anim12d 598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → (((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧)) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
87com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧)) → ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
98an4s 642 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑅𝑦𝑥𝑆𝑦) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑆𝑧)) → ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
103, 4, 9syl2anb 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
1110com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
12 brin 4892 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(𝑅𝑆)𝑧 ↔ (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧))
1311, 12syl6ibr 243 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
1413alanimi 1904 . . . . . . . . 9 ((∀𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ∀𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ∀𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
1514alanimi 1904 . . . . . . . 8 ((∀𝑦𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ∀𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ∀𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
1615alanimi 1904 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
1716ex 399 . . . . . 6 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) → (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧)))
182, 17sylbi 208 . . . . 5 ((𝑆𝑆) ⊆ 𝑆 → (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧)))
1918com12 32 . . . 4 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) → ((𝑆𝑆) ⊆ 𝑆 → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧)))
201, 19sylbi 208 . . 3 ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 → ((𝑆𝑆) ⊆ 𝑆 → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧)))
2120imp 395 . 2 (((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ (𝑆𝑆) ⊆ 𝑆) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
22 cotr 5715 . 2 (((𝑅𝑆) ∘ (𝑅𝑆)) ⊆ (𝑅𝑆) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
2321, 22sylibr 225 1 (((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ (𝑆𝑆) ⊆ 𝑆) → ((𝑅𝑆) ∘ (𝑅𝑆)) ⊆ (𝑅𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wal 1635  cin 3765  wss 3766   class class class wbr 4840  ccom 5312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pr 5093
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-rab 3104  df-v 3392  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-nul 4114  df-if 4277  df-sn 4368  df-pr 4370  df-op 4374  df-br 4841  df-opab 4903  df-xp 5314  df-rel 5315  df-co 5317
This theorem is referenced by:  trinxp  5729  trficl  38458
  Copyright terms: Public domain W3C validator