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Theorem trin2 6028
Description: The intersection of two transitive classes is transitive. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
trin2 (((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ (𝑆𝑆) ⊆ 𝑆) → ((𝑅𝑆) ∘ (𝑅𝑆)) ⊆ (𝑅𝑆))

Proof of Theorem trin2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cotr 6017 . . . 4 ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
2 cotr 6017 . . . . . 6 ((𝑆𝑆) ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
3 brin 5126 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥(𝑅𝑆)𝑦 ↔ (𝑥𝑅𝑦𝑥𝑆𝑦))
4 brin 5126 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦(𝑅𝑆)𝑧 ↔ (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑆𝑧))
5 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
6 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
75, 6anim12d 609 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → (((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧)) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
87com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧)) → ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
98an4s 657 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑅𝑦𝑥𝑆𝑦) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑆𝑧)) → ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
103, 4, 9syl2anb 598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
1110com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
12 brin 5126 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(𝑅𝑆)𝑧 ↔ (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧))
1311, 12syl6ibr 251 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
1413alanimi 1819 . . . . . . . . 9 ((∀𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ∀𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ∀𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
1514alanimi 1819 . . . . . . . 8 ((∀𝑦𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ∀𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ∀𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
1615alanimi 1819 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
1716ex 413 . . . . . 6 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) → (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧)))
182, 17sylbi 216 . . . . 5 ((𝑆𝑆) ⊆ 𝑆 → (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧)))
1918com12 32 . . . 4 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) → ((𝑆𝑆) ⊆ 𝑆 → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧)))
201, 19sylbi 216 . . 3 ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 → ((𝑆𝑆) ⊆ 𝑆 → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧)))
2120imp 407 . 2 (((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ (𝑆𝑆) ⊆ 𝑆) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
22 cotr 6017 . 2 (((𝑅𝑆) ∘ (𝑅𝑆)) ⊆ (𝑅𝑆) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
2321, 22sylibr 233 1 (((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ (𝑆𝑆) ⊆ 𝑆) → ((𝑅𝑆) ∘ (𝑅𝑆)) ⊆ (𝑅𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wal 1537  cin 3886  wss 3887   class class class wbr 5074  ccom 5593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2154  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-rel 5596  df-co 5598
This theorem is referenced by:  trinxp  6030  trficl  41277
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