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Theorem trin2 6075
Description: The intersection of two transitive classes is transitive. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
trin2 (((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ (𝑆𝑆) ⊆ 𝑆) → ((𝑅𝑆) ∘ (𝑅𝑆)) ⊆ (𝑅𝑆))

Proof of Theorem trin2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cotr 6062 . . . 4 ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
2 cotr 6062 . . . . . 6 ((𝑆𝑆) ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
3 brin 5155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥(𝑅𝑆)𝑦 ↔ (𝑥𝑅𝑦𝑥𝑆𝑦))
4 brin 5155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦(𝑅𝑆)𝑧 ↔ (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑆𝑧))
5 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
6 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
75, 6anim12d 609 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → (((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧)) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
87com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧)) → ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
98an4s 658 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑅𝑦𝑥𝑆𝑦) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑆𝑧)) → ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
103, 4, 9syl2anb 598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
1110com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
12 brin 5155 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(𝑅𝑆)𝑧 ↔ (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧))
1311, 12syl6ibr 251 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
1413alanimi 1818 . . . . . . . . 9 ((∀𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ∀𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ∀𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
1514alanimi 1818 . . . . . . . 8 ((∀𝑦𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ∀𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ∀𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
1615alanimi 1818 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
1716ex 413 . . . . . 6 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) → (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧)))
182, 17sylbi 216 . . . . 5 ((𝑆𝑆) ⊆ 𝑆 → (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧)))
1918com12 32 . . . 4 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) → ((𝑆𝑆) ⊆ 𝑆 → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧)))
201, 19sylbi 216 . . 3 ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 → ((𝑆𝑆) ⊆ 𝑆 → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧)))
2120imp 407 . 2 (((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ (𝑆𝑆) ⊆ 𝑆) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
22 cotr 6062 . 2 (((𝑅𝑆) ∘ (𝑅𝑆)) ⊆ (𝑅𝑆) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
2321, 22sylibr 233 1 (((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ (𝑆𝑆) ⊆ 𝑆) → ((𝑅𝑆) ∘ (𝑅𝑆)) ⊆ (𝑅𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wal 1539  cin 3907  wss 3908   class class class wbr 5103  ccom 5635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5166  df-xp 5637  df-rel 5638  df-co 5640
This theorem is referenced by:  trinxp  6077  trficl  41883
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