Theorem brin 5157

Description: The intersection of two relations. (Contributed by FL, 7-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
brin	⊢ (𝐴(𝑅 ∩ 𝑆)𝐵 ↔ (𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴𝑆𝐵))

Proof of Theorem brin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3915	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 ∩ 𝑆) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑆))
2		df-br 5104	. 2 ⊢ (𝐴(𝑅 ∩ 𝑆)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 ∩ 𝑆))
3		df-br 5104	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
4		df-br 5104	. . 3 ⊢ (𝐴𝑆𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑆)
5	3, 4	anbi12i 640	. 2 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴𝑆𝐵) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑆))
6	1, 2, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴(𝑅 ∩ 𝑆)𝐵 ↔ (𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴𝑆𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-v 3453  df-in 3906  df-br 5104

This theorem is used by:  brinxp2  5729  trin2  6117  poirr2  6118  dfpo2  6298  predtrss  6324  tpostpos  8256  brinxper  8740  erinxp  8805  sbthcl  9111  infxpenlem  10085  fpwwe2lem11  10719  fpwwe2  10721  isinv  17928  isffth2  18086  ffthf1o  18089  ffthoppc  18094  ffthres2c  18110  isunit  20596  opsrtoslem2  22358  zsoring  28788  posrasymb  33521  trleile  33525  satefvfmla1  36169  brtxp  36622  idsset  36632  dfon3  36634  elfix  36645  dffix2  36647  brcap  36682  funpartlem  36686  trer  37084  fneval  37120  brcnvin  39290  brxrn  39295  brin2  39350  br1cossinres  39449  grumnud  45255  chnrin  47875