Theorem xrsex 21725

Description: The extended real structure is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsex	⊢ ℝ*𝑠 ∈ V

Proof of Theorem xrsex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xrs 17703	. 2 ⊢ ℝ*𝑠 = ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +e ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +e -e𝑥), (𝑥 +e -e𝑦)))⟩})
2		tpex 7786	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +e ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∈ V
3		tpex 7786	. . 3 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +e -e𝑥), (𝑥 +e -e𝑦)))⟩} ∈ V
4	2, 3	unex 7785	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +e ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +e -e𝑥), (𝑥 +e -e𝑦)))⟩}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2860	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∪ cun 4152  ifcif 4485  {ctp 4592  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∈ cmpo 7445  ℝ^*cxr 11369   ≤ cle 11371   -_ecxne 13265   +_e cxad 13266   ·_e cxmu 13267  ndxcnx 17400  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  ._rcmulr 17458  TopSetcts 17463  lecple 17464  distcds 17466  ordTopcordt 17700  ℝ^*_𝑠cxrs 17701

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-v 3456  df-ss 3901  df-un 4154  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-uni 4871  df-xrs 17703

This theorem is used by:  imasdsf1olem  24722  xrslt  33638  xrsmulgzz  33640  xrstos  33641  xrsp0  33643  xrsp1  33644  pnfinf  33814  xrnarchi  33815