Theorem xrsex 21321

Description: The extended real structure is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsex	⊢ ℝ*𝑠 ∈ V

Proof of Theorem xrsex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xrs 17406	. 2 ⊢ ℝ*𝑠 = ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩})
2		tpex 7679	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∈ V
3		tpex 7679	. . 3 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩} ∈ V
4	2, 3	unex 7677	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2827	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∪ cun 3895  ifcif 4472  {ctp 4577  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  ℝ^*cxr 11145   ≤ cle 11147  -_𝑒cxne 13008   +_𝑒 cxad 13009   ·_e cxmu 13010  ndxcnx 17104  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  TopSetcts 17167  lecple 17168  distcds 17170  ordTopcordt 17403  ℝ^*_𝑠cxrs 17404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-uni 4857  df-xrs 17406

This theorem is referenced by:  imasdsf1olem  24288  xrslt  32988  xrsmulgzz  32990  xrstos  32991  xrsp0  32993  xrsp1  32994  pnfinf  33152  xrnarchi  33153