Theorem xrsex 20525

Description: The extended real structure is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsex	⊢ ℝ*𝑠 ∈ V

Proof of Theorem xrsex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xrs 17130	. 2 ⊢ ℝ*𝑠 = ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩})
2		tpex 7575	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∈ V
3		tpex 7575	. . 3 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩} ∈ V
4	2, 3	unex 7574	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2835	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∪ cun 3881  ifcif 4456  {ctp 4562  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941  -_𝑒cxne 12774   +_𝑒 cxad 12775   ·_e cxmu 12776  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  TopSetcts 16894  lecple 16895  distcds 16897  ordTopcordt 17127  ℝ^*_𝑠cxrs 17128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-uni 4837  df-xrs 17130

This theorem is referenced by:  imasdsf1olem  23434  xrslt  31187  xrsmulgzz  31189  xrstos  31190  xrsp0  31192  xrsp1  31193  pnfinf  31339  xrnarchi  31340