Theorem xrsex 21341

Description: The extended real structure is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsex	⊢ ℝ*𝑠 ∈ V

Proof of Theorem xrsex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xrs 17425	. 2 ⊢ ℝ*𝑠 = ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩})
2		tpex 7691	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∈ V
3		tpex 7691	. . 3 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩} ∈ V
4	2, 3	unex 7689	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2831	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439   ∪ cun 3898  ifcif 4478  {ctp 4583  ⟨cop 4585   class class class wbr 5097  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  ℝ^*cxr 11167   ≤ cle 11169  -_𝑒cxne 13025   +_𝑒 cxad 13026   ·_e cxmu 13027  ndxcnx 17122  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  TopSetcts 17185  lecple 17186  distcds 17188  ordTopcordt 17422  ℝ^*_𝑠cxrs 17423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-ss 3917  df-nul 4285  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-uni 4863  df-xrs 17425

This theorem is referenced by:  imasdsf1olem  24319  xrslt  33068  xrsmulgzz  33070  xrstos  33071  xrsp0  33073  xrsp1  33074  pnfinf  33244  xrnarchi  33245