Theorem xrsex 21344

Description: The extended real structure is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsex	⊢ ℝ*𝑠 ∈ V

Proof of Theorem xrsex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xrs 17428	. 2 ⊢ ℝ*𝑠 = ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩})
2		tpex 7694	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∈ V
3		tpex 7694	. . 3 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩} ∈ V
4	2, 3	unex 7692	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2833	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ∪ cun 3900  ifcif 4480  {ctp 4585  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  ℝ^*cxr 11170   ≤ cle 11172  -_𝑒cxne 13028   +_𝑒 cxad 13029   ·_e cxmu 13030  ndxcnx 17125  Basecbs 17141  +_gcplusg 17182  ._rcmulr 17183  TopSetcts 17188  lecple 17189  distcds 17191  ordTopcordt 17425  ℝ^*_𝑠cxrs 17426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-uni 4865  df-xrs 17428

This theorem is referenced by:  imasdsf1olem  24322  xrslt  33092  xrsmulgzz  33094  xrstos  33095  xrsp0  33097  xrsp1  33098  pnfinf  33269  xrnarchi  33270