Theorem xrsex 21696

Description: The extended real structure is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsex	⊢ ℝ*𝑠 ∈ V

Proof of Theorem xrsex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xrs 17675	. 2 ⊢ ℝ*𝑠 = ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +e ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +e -e𝑥), (𝑥 +e -e𝑦)))⟩})
2		tpex 7762	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +e ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∈ V
3		tpex 7762	. . 3 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +e -e𝑥), (𝑥 +e -e𝑦)))⟩} ∈ V
4	2, 3	unex 7761	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +e ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +e -e𝑥), (𝑥 +e -e𝑦)))⟩}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2856	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∪ cun 4149  ifcif 4481  {ctp 4587  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ℝ^*cxr 11343   ≤ cle 11345   -_ecxne 13239   +_e cxad 13240   ·_e cxmu 13241  ndxcnx 17372  Basecbs 17388  +_gcplusg 17429  ._rcmulr 17430  TopSetcts 17435  lecple 17436  distcds 17438  ordTopcordt 17672  ℝ^*_𝑠cxrs 17673

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1572  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-v 3452  df-ss 3896  df-un 4151  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-uni 4867  df-xrs 17675

This theorem is used by:  imasdsf1olem  24693  xrslt  33611  xrsmulgzz  33613  xrstos  33614  xrsp0  33616  xrsp1  33617  pnfinf  33787  xrnarchi  33788