MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsbas 20537
Description: The base set of the extended real number structure. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrsbas * = (Base‘ℝ*𝑠)

Proof of Theorem xrsbas
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrex 12365 . 2 * ∈ V
2 df-xrs 16754 . . 3 *𝑠 = ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩})
32odrngbas 16659 . 2 (ℝ* ∈ V → ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠))
41, 3ax-mp 5 1 * = (Base‘ℝ*𝑠)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2114  Vcvv 3473  ifcif 4443   class class class wbr 5042  cfv 6331  (class class class)co 7133  cmpo 7135  *cxr 10652  cle 10654  -𝑒cxne 12483   +𝑒 cxad 12484   ·e cxmu 12485  Basecbs 16462  ordTopcordt 16751  *𝑠cxrs 16752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-xrs 16754
This theorem is referenced by:  xrsmcmn  20544  xrsmgm  20556  xrsnsgrp  20557  xrs1mnd  20559  xrs10  20560  xrs1cmn  20561  xrge0subm  20562  xrge0cmn  20563  xrstopn  21792  xrstps  21793  imasdsf1olem  22959  xrge0gsumle  23417  xrge0tsms  23418  xrs0  30670  xrsinvgval  30672  xrsmulgzz  30673  xrstos  30674  xrsclat  30675  xrsp0  30676  xrsp1  30677  xrge0base  30680  xrge00  30681  xrge0mulgnn0  30684  xrge0tsmsd  30700  pnfinf  30820  xrnarchi  30821  xrge0tmdALT  31197  esumpfinvallem  31341  gsumge0cl  42801  sge0tsms  42810
  Copyright terms: Public domain W3C validator