MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsbas 20407
Description: The base set of the extended real number structure. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrsbas * = (Base‘ℝ*𝑠)

Proof of Theorem xrsbas
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrex 12608 . 2 * ∈ V
2 df-xrs 17035 . . 3 *𝑠 = ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩})
32odrngbas 16939 . 2 (ℝ* ∈ V → ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠))
41, 3ax-mp 5 1 * = (Base‘ℝ*𝑠)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1543  wcel 2111  Vcvv 3421  ifcif 4454   class class class wbr 5068  cfv 6398  (class class class)co 7232  cmpo 7234  *cxr 10891  cle 10893  -𝑒cxne 12726   +𝑒 cxad 12727   ·e cxmu 12728  Basecbs 16788  ordTopcordt 17032  *𝑠cxrs 17033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-om 7664  df-1st 7780  df-2nd 7781  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-1o 8223  df-er 8412  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-fin 8651  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-nn 11856  df-2 11918  df-3 11919  df-4 11920  df-5 11921  df-6 11922  df-7 11923  df-8 11924  df-9 11925  df-n0 12116  df-z 12202  df-dec 12319  df-uz 12464  df-fz 13121  df-struct 16728  df-slot 16763  df-ndx 16773  df-base 16789  df-plusg 16843  df-mulr 16844  df-tset 16849  df-ple 16850  df-ds 16852  df-xrs 17035
This theorem is referenced by:  xrsmcmn  20414  xrsmgm  20426  xrsnsgrp  20427  xrs1mnd  20429  xrs10  20430  xrs1cmn  20431  xrge0subm  20432  xrge0cmn  20433  xrstopn  22132  xrstps  22133  imasdsf1olem  23298  xrge0gsumle  23757  xrge0tsms  23758  xrs0  31030  xrsinvgval  31032  xrsmulgzz  31033  xrstos  31034  xrsclat  31035  xrsp0  31036  xrsp1  31037  xrge0base  31040  xrge00  31041  xrge0mulgnn0  31044  xrge0tsmsd  31063  pnfinf  31183  xrnarchi  31184  xrge0tmdALT  31637  esumpfinvallem  31781  gsumge0cl  43615  sge0tsms  43624
  Copyright terms: Public domain W3C validator