Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrsmulgzz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsmulgzz 32217
Description: The "multiple" function in the extended real numbers structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrsmulgzz ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐ด ยทe ๐ต))

Proof of Theorem xrsmulgzz
Dummy variables ๐‘› ๐‘š ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7418 . . . 4 (๐‘› = 0 โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (0(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต))
2 oveq1 7418 . . . 4 (๐‘› = 0 โ†’ (๐‘› ยทe ๐ต) = (0 ยทe ๐ต))
31, 2eqeq12d 2748 . . 3 (๐‘› = 0 โ†’ ((๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘› ยทe ๐ต) โ†” (0(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (0 ยทe ๐ต)))
4 oveq1 7418 . . . 4 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต))
5 oveq1 7418 . . . 4 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘› ยทe ๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต))
64, 5eqeq12d 2748 . . 3 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘› ยทe ๐ต) โ†” (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)))
7 oveq1 7418 . . . 4 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = ((๐‘š + 1)(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต))
8 oveq1 7418 . . . 4 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘› ยทe ๐ต) = ((๐‘š + 1) ยทe ๐ต))
97, 8eqeq12d 2748 . . 3 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘› ยทe ๐ต) โ†” ((๐‘š + 1)(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = ((๐‘š + 1) ยทe ๐ต)))
10 oveq1 7418 . . . 4 (๐‘› = -๐‘š โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (-๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต))
11 oveq1 7418 . . . 4 (๐‘› = -๐‘š โ†’ (๐‘› ยทe ๐ต) = (-๐‘š ยทe ๐ต))
1210, 11eqeq12d 2748 . . 3 (๐‘› = -๐‘š โ†’ ((๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘› ยทe ๐ต) โ†” (-๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (-๐‘š ยทe ๐ต)))
13 oveq1 7418 . . . 4 (๐‘› = ๐ด โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐ด(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต))
14 oveq1 7418 . . . 4 (๐‘› = ๐ด โ†’ (๐‘› ยทe ๐ต) = (๐ด ยทe ๐ต))
1513, 14eqeq12d 2748 . . 3 (๐‘› = ๐ด โ†’ ((๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘› ยทe ๐ต) โ†” (๐ด(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐ด ยทe ๐ต)))
16 xrsbas 20967 . . . . 5 โ„* = (Baseโ€˜โ„*๐‘ )
17 xrs0 32214 . . . . 5 0 = (0gโ€˜โ„*๐‘ )
18 eqid 2732 . . . . 5 (.gโ€˜โ„*๐‘ ) = (.gโ€˜โ„*๐‘ )
1916, 17, 18mulg0 18959 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (0(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = 0)
20 xmul02 13249 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (0 ยทe ๐ต) = 0)
2119, 20eqtr4d 2775 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (0(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (0 ยทe ๐ต))
22 simpr 485 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต))
2322oveq1d 7426 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ ((๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) +๐‘’ ๐ต) = ((๐‘š ยทe ๐ต) +๐‘’ ๐ต))
24 simpr 485 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
25 simpll 765 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
26 xrsadd 20968 . . . . . . . . 9 +๐‘’ = (+gโ€˜โ„*๐‘ )
2716, 18, 26mulgnnp1 18964 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘š + 1)(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = ((๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) +๐‘’ ๐ต))
2824, 25, 27syl2anc 584 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š + 1)(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = ((๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) +๐‘’ ๐ต))
29 simpr 485 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘š = 0) โ†’ ๐‘š = 0)
30 simpll 765 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘š = 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
31 xaddlid 13223 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (0 +๐‘’ ๐ต) = ๐ต)
3231adantl 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘š = 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (0 +๐‘’ ๐ต) = ๐ต)
33 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š = 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ๐‘š = 0)
3433oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š = 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (0(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต))
3519adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š = 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (0(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = 0)
3634, 35eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š = 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = 0)
3736oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ((๐‘š = 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) +๐‘’ ๐ต) = (0 +๐‘’ ๐ต))
3833oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š = 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘š + 1) = (0 + 1))
39 0p1e1 12336 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
4038, 39eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š = 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘š + 1) = 1)
4140oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š = 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘š + 1)(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (1(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต))
4216, 18mulg1 18963 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (1(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = ๐ต)
4342adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š = 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (1(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = ๐ต)
4441, 43eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((๐‘š = 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘š + 1)(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = ๐ต)
4532, 37, 443eqtr4rd 2783 . . . . . . . 8 ((๐‘š = 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘š + 1)(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = ((๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) +๐‘’ ๐ต))
4629, 30, 45syl2anc 584 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘š = 0) โ†’ ((๐‘š + 1)(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = ((๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) +๐‘’ ๐ต))
47 simpr 485 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
48 elnn0 12476 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘š โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘š = 0))
4947, 48sylib 217 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘š = 0))
5028, 46, 49mpjaodan 957 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘š + 1)(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = ((๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) +๐‘’ ๐ต))
5150adantr 481 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ ((๐‘š + 1)(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = ((๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) +๐‘’ ๐ต))
52 nn0ssre 12478 . . . . . . . . 9 โ„•0 โŠ† โ„
53 ressxr 11260 . . . . . . . . 9 โ„ โŠ† โ„*
5452, 53sstri 3991 . . . . . . . 8 โ„•0 โŠ† โ„*
5547adantr 481 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
5654, 55sselid 3980 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„*)
57 nn0ge0 12499 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘š)
5857ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘š)
59 1xr 11275 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„*
6059a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„*)
61 0le1 11739 . . . . . . . 8 0 โ‰ค 1
6261a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค 1)
63 simpll 765 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
64 xadddi2r 13279 . . . . . . 7 (((๐‘š โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐‘š) โˆง (1 โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘š +๐‘’ 1) ยทe ๐ต) = ((๐‘š ยทe ๐ต) +๐‘’ (1 ยทe ๐ต)))
6556, 58, 60, 62, 63, 64syl221anc 1381 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ ((๐‘š +๐‘’ 1) ยทe ๐ต) = ((๐‘š ยทe ๐ต) +๐‘’ (1 ยทe ๐ต)))
6652, 55sselid 3980 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
67 1re 11216 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
6867a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
69 rexadd 13213 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘š +๐‘’ 1) = (๐‘š + 1))
7066, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ (๐‘š +๐‘’ 1) = (๐‘š + 1))
7170oveq1d 7426 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ ((๐‘š +๐‘’ 1) ยทe ๐ต) = ((๐‘š + 1) ยทe ๐ต))
72 xmullid 13261 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (1 ยทe ๐ต) = ๐ต)
7363, 72syl 17 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ (1 ยทe ๐ต) = ๐ต)
7473oveq2d 7427 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ ((๐‘š ยทe ๐ต) +๐‘’ (1 ยทe ๐ต)) = ((๐‘š ยทe ๐ต) +๐‘’ ๐ต))
7565, 71, 743eqtr3d 2780 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ ((๐‘š + 1) ยทe ๐ต) = ((๐‘š ยทe ๐ต) +๐‘’ ๐ต))
7623, 51, 753eqtr4d 2782 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ ((๐‘š + 1)(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = ((๐‘š + 1) ยทe ๐ต))
7776exp31 420 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต) โ†’ ((๐‘š + 1)(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = ((๐‘š + 1) ยทe ๐ต))))
78 xnegeq 13188 . . . . . 6 ((๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต) โ†’ -๐‘’(๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = -๐‘’(๐‘š ยทe ๐ต))
7978adantl 482 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ -๐‘’(๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = -๐‘’(๐‘š ยทe ๐ต))
80 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (invgโ€˜โ„*๐‘ ) = (invgโ€˜โ„*๐‘ )
8116, 18, 80mulgnegnn 18966 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = ((invgโ€˜โ„*๐‘ )โ€˜(๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต)))
8281ancoms 459 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = ((invgโ€˜โ„*๐‘ )โ€˜(๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต)))
83 xrsex 20966 . . . . . . . . . . . 12 โ„*๐‘  โˆˆ V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ โ„*๐‘  โˆˆ V)
85 ssidd 4005 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ โ„* โŠ† โ„*)
86 simp2 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„*) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„*)
87 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„*) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„*)
8886, 87xaddcld 13282 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘ฅ +๐‘’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
8916, 18, 26, 84, 85, 88mulgnnsubcl 18968 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) โˆˆ โ„*)
90893anidm12 1419 . . . . . . . . 9 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) โˆˆ โ„*)
9190ancoms 459 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) โˆˆ โ„*)
92 xrsinvgval 32216 . . . . . . . 8 ((๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) โˆˆ โ„* โ†’ ((invgโ€˜โ„*๐‘ )โ€˜(๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต)) = -๐‘’(๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต))
9391, 92syl 17 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((invgโ€˜โ„*๐‘ )โ€˜(๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต)) = -๐‘’(๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต))
9482, 93eqtrd 2772 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = -๐‘’(๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต))
9594adantr 481 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ (-๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = -๐‘’(๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต))
96 nnre 12221 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
9796adantl 482 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
98 rexneg 13192 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„ โ†’ -๐‘’๐‘š = -๐‘š)
9997, 98syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ -๐‘’๐‘š = -๐‘š)
10099oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘’๐‘š ยทe ๐ต) = (-๐‘š ยทe ๐ต))
101 nnssre 12218 . . . . . . . . . 10 โ„• โŠ† โ„
102101, 53sstri 3991 . . . . . . . . 9 โ„• โŠ† โ„*
103 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
104102, 103sselid 3980 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„*)
105 simpl 483 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
106 xmulneg1 13250 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’๐‘š ยทe ๐ต) = -๐‘’(๐‘š ยทe ๐ต))
107104, 105, 106syl2anc 584 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘’๐‘š ยทe ๐ต) = -๐‘’(๐‘š ยทe ๐ต))
108100, 107eqtr3d 2774 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘š ยทe ๐ต) = -๐‘’(๐‘š ยทe ๐ต))
109108adantr 481 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ (-๐‘š ยทe ๐ต) = -๐‘’(๐‘š ยทe ๐ต))
11079, 95, 1093eqtr4d 2782 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต)) โ†’ (-๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (-๐‘š ยทe ๐ต))
111110exp31 420 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐‘š ยทe ๐ต) โ†’ (-๐‘š(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (-๐‘š ยทe ๐ต))))
1123, 6, 9, 12, 15, 21, 77, 111zindd 12665 . 2 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐ด ยทe ๐ต)))
113112impcom 408 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ต) = (๐ด ยทe ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  โ„*cxr 11249   โ‰ค cle 11251  -cneg 11447  โ„•cn 12214  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  -๐‘’cxne 13091   +๐‘’ cxad 13092   ยทe cxmu 13093  โ„*๐‘ cxrs 17448  invgcminusg 18822  .gcmg 18952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-fz 13487  df-seq 13969  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-0g 17389  df-xrs 17450  df-minusg 18825  df-mulg 18953
This theorem is referenced by:  xrge0mulgnn0  32228  pnfinf  32370
  Copyright terms: Public domain W3C validator