Theorem xrsmulgzz 32179

Description: The "multiple" function in the extended real numbers structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrsmulgzz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xrsmulgzz

Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
2		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 ·e 𝐵) = (0 ·e 𝐵))
3	1, 2	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (0 ·e 𝐵)))
4		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
5		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵))
6	4, 5	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)))
7		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
8		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 ·e 𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵))
9	7, 8	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵)))
10		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
11		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 ·e 𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵))
12	10, 11	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵)))
13		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
14		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
15	13, 14	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵)))
16		xrsbas 20961	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
17		xrs0 32176	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
18		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (.g‘ℝ*𝑠) = (.g‘ℝ*𝑠)
19	16, 17, 18	mulg0 18957	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 0)
20		xmul02 13247	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐵) = 0)
21	19, 20	eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (0 ·e 𝐵))
22		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵))
23	22	oveq1d 7424	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 𝐵))
24		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
25		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
26		xrsadd 20962	. . . . . . . . 9 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
27	16, 18, 26	mulgnnp1 18962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
28	24, 25, 27	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
29		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 = 0)
30		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31		xaddlid 13221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
32	31	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
33		simpl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝑚 = 0)
34	33	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
35	19	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 0)
36	34, 35	eqtrd 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 0)
37	36	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 𝐵))
38	33	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚 + 1) = (0 + 1))
39		0p1e1 12334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
40	38, 39	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚 + 1) = 1)
41	40	oveq1d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (1(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
42	16, 18	mulg1 18961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (1(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 𝐵)
43	42	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (1(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 𝐵)
44	41, 43	eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 𝐵)
45	32, 37, 44	3eqtr4rd 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
46	29, 30, 45	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 0) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
47		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
48		elnn0 12474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
49	47, 48	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
50	28, 46, 49	mpjaodan 958	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
51	50	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
52		nn0ssre 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
53		ressxr 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
54	52, 53	sstri 3992	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
55	47	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
56	54, 55	sselid 3981	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℝ*)
57		nn0ge0 12497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑚)
58	57	ad2antlr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 0 ≤ 𝑚)
59		1xr 11273	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 1 ∈ ℝ*)
61		0le1 11737	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 0 ≤ 1)
63		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
64		xadddi2r 13277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑚) ∧ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 +𝑒 1) ·e 𝐵) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 (1 ·e 𝐵)))
65	56, 58, 60, 62, 63, 64	syl221anc 1382	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 +𝑒 1) ·e 𝐵) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 (1 ·e 𝐵)))
66	52, 55	sselid 3981	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℝ)
67		1re 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
68	67	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
69		rexadd 13211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑚 +𝑒 1) = (𝑚 + 1))
70	66, 68, 69	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (𝑚 +𝑒 1) = (𝑚 + 1))
71	70	oveq1d 7424	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 +𝑒 1) ·e 𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵))
72		xmullid 13259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
73	63, 72	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
74	73	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 (1 ·e 𝐵)) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 𝐵))
75	65, 71, 74	3eqtr3d 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 + 1) ·e 𝐵) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 𝐵))
76	23, 51, 75	3eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵))
77	76	exp31 421	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵))))
78		xnegeq 13186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵) → -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
79	78	adantl 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
80		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘ℝ*𝑠) = (invg‘ℝ*𝑠)
81	16, 18, 80	mulgnegnn 18964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((invg‘ℝ*𝑠)‘(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵)))
82	81	ancoms 460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((invg‘ℝ*𝑠)‘(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵)))
83		xrsex 20960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ℝ*𝑠 ∈ V)
85		ssidd 4006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ℝ* ⊆ ℝ*)
86		simp2 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
87		simp3 1139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
88	86, 87	xaddcld 13280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
89	16, 18, 26, 84, 85, 88	mulgnnsubcl 18966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) ∈ ℝ*)
90	89	3anidm12 1420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) ∈ ℝ*)
91	90	ancoms 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) ∈ ℝ*)
92		xrsinvgval 32178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) ∈ ℝ* → ((invg‘ℝ*𝑠)‘(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵)) = -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((invg‘ℝ*𝑠)‘(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵)) = -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
94	82, 93	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
95	94	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
96		nnre 12219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
97	96	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
98		rexneg 13190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → -𝑒𝑚 = -𝑚)
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -𝑒𝑚 = -𝑚)
100	99	oveq1d 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑒𝑚 ·e 𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵))
101		nnssre 12216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
102	101, 53	sstri 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ⊆ ℝ*
103		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
104	102, 103	sselid 3981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ*)
105		simpl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
106		xmulneg1 13248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑚 ·e 𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
107	104, 105, 106	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑒𝑚 ·e 𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
108	100, 107	eqtr3d 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑚 ·e 𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
109	108	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (-𝑚 ·e 𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
110	79, 95, 109	3eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵))
111	110	exp31 421	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵))))
112	3, 6, 9, 12, 15, 21, 77, 111	zindd 12663	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵)))
113	112	impcom 409	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  ℝ^*cxr 11247   ≤ cle 11249  -cneg 11445  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  -_𝑒cxne 13089   +_𝑒 cxad 13090   ·_e cxmu 13091  ℝ^*_𝑠cxrs 17446  inv_gcminusg 18820  ._gcmg 18950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-seq 13967  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-0g 17387  df-xrs 17448  df-minusg 18823  df-mulg 18951

This theorem is referenced by:  xrge0mulgnn0  32190  pnfinf  32329