Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrsmulgzz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsmulgzz 30806
 Description: The "multiple" function in the extended real numbers structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrsmulgzz ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xrsmulgzz
Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7158 . . . 4 (𝑛 = 0 → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
2 oveq1 7158 . . . 4 (𝑛 = 0 → (𝑛 ·e 𝐵) = (0 ·e 𝐵))
31, 2eqeq12d 2775 . . 3 (𝑛 = 0 → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (0 ·e 𝐵)))
4 oveq1 7158 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
5 oveq1 7158 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵))
64, 5eqeq12d 2775 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)))
7 oveq1 7158 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
8 oveq1 7158 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 ·e 𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵))
97, 8eqeq12d 2775 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵)))
10 oveq1 7158 . . . 4 (𝑛 = -𝑚 → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
11 oveq1 7158 . . . 4 (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 ·e 𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵))
1210, 11eqeq12d 2775 . . 3 (𝑛 = -𝑚 → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵)))
13 oveq1 7158 . . . 4 (𝑛 = 𝐴 → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
14 oveq1 7158 . . . 4 (𝑛 = 𝐴 → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
1513, 14eqeq12d 2775 . . 3 (𝑛 = 𝐴 → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵)))
16 xrsbas 20175 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
17 xrs0 30803 . . . . 5 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
18 eqid 2759 . . . . 5 (.g‘ℝ*𝑠) = (.g‘ℝ*𝑠)
1916, 17, 18mulg0 18291 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 0)
20 xmul02 12695 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐵) = 0)
2119, 20eqtr4d 2797 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (0 ·e 𝐵))
22 simpr 489 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵))
2322oveq1d 7166 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 𝐵))
24 simpr 489 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
25 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
26 xrsadd 20176 . . . . . . . . 9 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
2716, 18, 26mulgnnp1 18296 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
2824, 25, 27syl2anc 588 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
29 simpr 489 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 = 0)
30 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31 xaddid2 12669 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
3231adantl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
33 simpl 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝑚 = 0)
3433oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
3519adantl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 0)
3634, 35eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 0)
3736oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 𝐵))
3833oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚 + 1) = (0 + 1))
39 0p1e1 11789 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
4038, 39eqtrdi 2810 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚 + 1) = 1)
4140oveq1d 7166 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (1(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
4216, 18mulg1 18295 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (1(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 𝐵)
4342adantl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (1(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 𝐵)
4441, 43eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 𝐵)
4532, 37, 443eqtr4rd 2805 . . . . . . . 8 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
4629, 30, 45syl2anc 588 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 0) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
47 simpr 489 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
48 elnn0 11929 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
4947, 48sylib 221 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
5028, 46, 49mpjaodan 957 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
5150adantr 485 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
52 nn0ssre 11931 . . . . . . . . 9 0 ⊆ ℝ
53 ressxr 10716 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
5452, 53sstri 3902 . . . . . . . 8 0 ⊆ ℝ*
5547adantr 485 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
5654, 55sseldi 3891 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℝ*)
57 nn0ge0 11952 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑚)
5857ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 0 ≤ 𝑚)
59 1xr 10731 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
6059a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 1 ∈ ℝ*)
61 0le1 11194 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
6261a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 0 ≤ 1)
63 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
64 xadddi2r 12725 . . . . . . 7 (((𝑚 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑚) ∧ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 +𝑒 1) ·e 𝐵) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 (1 ·e 𝐵)))
6556, 58, 60, 62, 63, 64syl221anc 1379 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 +𝑒 1) ·e 𝐵) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 (1 ·e 𝐵)))
6652, 55sseldi 3891 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℝ)
67 1re 10672 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
6867a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
69 rexadd 12659 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑚 +𝑒 1) = (𝑚 + 1))
7066, 68, 69syl2anc 588 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (𝑚 +𝑒 1) = (𝑚 + 1))
7170oveq1d 7166 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 +𝑒 1) ·e 𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵))
72 xmulid2 12707 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
7363, 72syl 17 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
7473oveq2d 7167 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 (1 ·e 𝐵)) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 𝐵))
7565, 71, 743eqtr3d 2802 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 + 1) ·e 𝐵) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 𝐵))
7623, 51, 753eqtr4d 2804 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵))
7776exp31 424 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵))))
78 xnegeq 12634 . . . . . 6 ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵) → -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
7978adantl 486 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
80 eqid 2759 . . . . . . . . 9 (invg‘ℝ*𝑠) = (invg‘ℝ*𝑠)
8116, 18, 80mulgnegnn 18298 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((invg‘ℝ*𝑠)‘(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵)))
8281ancoms 463 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((invg‘ℝ*𝑠)‘(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵)))
83 xrsex 20174 . . . . . . . . . . . 12 *𝑠 ∈ V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → ℝ*𝑠 ∈ V)
85 ssidd 3916 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → ℝ* ⊆ ℝ*)
86 simp2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
87 simp3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
8886, 87xaddcld 12728 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
8916, 18, 26, 84, 85, 88mulgnnsubcl 18300 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) ∈ ℝ*)
90893anidm12 1417 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) ∈ ℝ*)
9190ancoms 463 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) ∈ ℝ*)
92 xrsinvgval 30805 . . . . . . . 8 ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) ∈ ℝ* → ((invg‘ℝ*𝑠)‘(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵)) = -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
9391, 92syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → ((invg‘ℝ*𝑠)‘(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵)) = -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
9482, 93eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
9594adantr 485 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
96 nnre 11674 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
9796adantl 486 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
98 rexneg 12638 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℝ → -𝑒𝑚 = -𝑚)
9997, 98syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → -𝑒𝑚 = -𝑚)
10099oveq1d 7166 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑒𝑚 ·e 𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵))
101 nnssre 11671 . . . . . . . . . 10 ℕ ⊆ ℝ
102101, 53sstri 3902 . . . . . . . . 9 ℕ ⊆ ℝ*
103 simpr 489 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
104102, 103sseldi 3891 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ*)
105 simpl 487 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
106 xmulneg1 12696 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑚 ·e 𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
107104, 105, 106syl2anc 588 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑒𝑚 ·e 𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
108100, 107eqtr3d 2796 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑚 ·e 𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
109108adantr 485 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (-𝑚 ·e 𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
11079, 95, 1093eqtr4d 2804 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵))
111110exp31 424 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵))))
1123, 6, 9, 12, 15, 21, 77, 111zindd 12115 . 2 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵)))
113112impcom 412 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 845   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℝcr 10567  0cc0 10568  1c1 10569   + caddc 10571  ℝ*cxr 10705   ≤ cle 10707  -cneg 10902  ℕcn 11667  ℕ0cn0 11927  ℤcz 12013  -𝑒cxne 12538   +𝑒 cxad 12539   ·e cxmu 12540  ℝ*𝑠cxrs 16824  invgcminusg 18163  .gcmg 18284 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-xneg 12541  df-xadd 12542  df-xmul 12543  df-fz 12933  df-seq 13412  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ds 16638  df-0g 16766  df-xrs 16826  df-minusg 18166  df-mulg 18285 This theorem is referenced by:  xrge0mulgnn0  30817  pnfinf  30956
 Copyright terms: Public domain W3C validator