Theorem xrsmulgzz 31287

Description: The "multiple" function in the extended real numbers structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrsmulgzz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xrsmulgzz

Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7282	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
2		oveq1 7282	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 ·e 𝐵) = (0 ·e 𝐵))
3	1, 2	eqeq12d 2754	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (0 ·e 𝐵)))
4		oveq1 7282	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
5		oveq1 7282	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵))
6	4, 5	eqeq12d 2754	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)))
7		oveq1 7282	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
8		oveq1 7282	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 ·e 𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵))
9	7, 8	eqeq12d 2754	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵)))
10		oveq1 7282	. . . 4 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
11		oveq1 7282	. . . 4 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 ·e 𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵))
12	10, 11	eqeq12d 2754	. . 3 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵)))
13		oveq1 7282	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
14		oveq1 7282	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
15	13, 14	eqeq12d 2754	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝐴 → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵)))
16		xrsbas 20614	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
17		xrs0 31284	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
18		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (.g‘ℝ*𝑠) = (.g‘ℝ*𝑠)
19	16, 17, 18	mulg0 18707	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 0)
20		xmul02 13002	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐵) = 0)
21	19, 20	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (0 ·e 𝐵))
22		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵))
23	22	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 𝐵))
24		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
25		simpll 764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
26		xrsadd 20615	. . . . . . . . 9 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
27	16, 18, 26	mulgnnp1 18712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
28	24, 25, 27	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
29		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 = 0)
30		simpll 764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31		xaddid2 12976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
32	31	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
33		simpl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝑚 = 0)
34	33	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
35	19	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 0)
36	34, 35	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 0)
37	36	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 𝐵))
38	33	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚 + 1) = (0 + 1))
39		0p1e1 12095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
40	38, 39	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚 + 1) = 1)
41	40	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (1(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
42	16, 18	mulg1 18711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (1(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 𝐵)
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (1(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 𝐵)
44	41, 43	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 𝐵)
45	32, 37, 44	3eqtr4rd 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
46	29, 30, 45	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 0) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
47		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
48		elnn0 12235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
49	47, 48	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
50	28, 46, 49	mpjaodan 956	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
51	50	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
52		nn0ssre 12237	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
53		ressxr 11019	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
54	52, 53	sstri 3930	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
55	47	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
56	54, 55	sselid 3919	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℝ*)
57		nn0ge0 12258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑚)
58	57	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 0 ≤ 𝑚)
59		1xr 11034	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 1 ∈ ℝ*)
61		0le1 11498	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 0 ≤ 1)
63		simpll 764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
64		xadddi2r 13032	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑚) ∧ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 +𝑒 1) ·e 𝐵) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 (1 ·e 𝐵)))
65	56, 58, 60, 62, 63, 64	syl221anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 +𝑒 1) ·e 𝐵) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 (1 ·e 𝐵)))
66	52, 55	sselid 3919	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℝ)
67		1re 10975	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
68	67	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
69		rexadd 12966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑚 +𝑒 1) = (𝑚 + 1))
70	66, 68, 69	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (𝑚 +𝑒 1) = (𝑚 + 1))
71	70	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 +𝑒 1) ·e 𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵))
72		xmulid2 13014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
73	63, 72	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
74	73	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 (1 ·e 𝐵)) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 𝐵))
75	65, 71, 74	3eqtr3d 2786	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 + 1) ·e 𝐵) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 𝐵))
76	23, 51, 75	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵))
77	76	exp31 420	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵))))
78		xnegeq 12941	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵) → -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
79	78	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
80		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘ℝ*𝑠) = (invg‘ℝ*𝑠)
81	16, 18, 80	mulgnegnn 18714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((invg‘ℝ*𝑠)‘(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵)))
82	81	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((invg‘ℝ*𝑠)‘(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵)))
83		xrsex 20613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ℝ*𝑠 ∈ V)
85		ssidd 3944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ℝ* ⊆ ℝ*)
86		simp2 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
87		simp3 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
88	86, 87	xaddcld 13035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
89	16, 18, 26, 84, 85, 88	mulgnnsubcl 18716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) ∈ ℝ*)
90	89	3anidm12 1418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) ∈ ℝ*)
91	90	ancoms 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) ∈ ℝ*)
92		xrsinvgval 31286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) ∈ ℝ* → ((invg‘ℝ*𝑠)‘(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵)) = -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((invg‘ℝ*𝑠)‘(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵)) = -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
94	82, 93	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
95	94	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
96		nnre 11980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
97	96	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
98		rexneg 12945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → -𝑒𝑚 = -𝑚)
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -𝑒𝑚 = -𝑚)
100	99	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑒𝑚 ·e 𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵))
101		nnssre 11977	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
102	101, 53	sstri 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ⊆ ℝ*
103		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
104	102, 103	sselid 3919	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ*)
105		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
106		xmulneg1 13003	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑚 ·e 𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
107	104, 105, 106	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑒𝑚 ·e 𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
108	100, 107	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑚 ·e 𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
109	108	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (-𝑚 ·e 𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
110	79, 95, 109	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵))
111	110	exp31 420	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵))))
112	3, 6, 9, 12, 15, 21, 77, 111	zindd 12421	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵)))
113	112	impcom 408	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010  -cneg 11206  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  -_𝑒cxne 12845   +_𝑒 cxad 12846   ·_e cxmu 12847  ℝ^*_𝑠cxrs 17211  inv_gcminusg 18578  ._gcmg 18700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-fz 13240  df-seq 13722  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-0g 17152  df-xrs 17213  df-minusg 18581  df-mulg 18701

This theorem is referenced by:  xrge0mulgnn0  31298  pnfinf  31437