Theorem xrsp1 33485

Description: The poset 1 of the extended real numbers is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrsp1	⊢ +∞ = (1.‘ℝ*𝑠)

Proof of Theorem xrsp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsex 21634	. . 3 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V
2		xrsbas 17717	. . . 4 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (lub‘ℝ*𝑠) = (lub‘ℝ*𝑠)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1.‘ℝ*𝑠) = (1.‘ℝ*𝑠)
5	2, 3, 4	p1val 18539	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ V → (1.‘ℝ*𝑠) = ((lub‘ℝ*𝑠)‘ℝ*))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1.‘ℝ*𝑠) = ((lub‘ℝ*𝑠)‘ℝ*)
7		ssid 3953	. . 3 ⊢ ℝ* ⊆ ℝ*
8		xrslt 33479	. . . 4 ⊢ < = (lt‘ℝ*𝑠)
9		xrstos 33482	. . . . 5 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ Toset
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (ℝ* ⊆ ℝ* → ℝ*𝑠 ∈ Toset)
11		id 23	. . . 4 ⊢ (ℝ* ⊆ ℝ* → ℝ* ⊆ ℝ*)
12	2, 8, 10, 11	toslub 33445	. . 3 ⊢ (ℝ* ⊆ ℝ* → ((lub‘ℝ*𝑠)‘ℝ*) = sup(ℝ*, ℝ*, < ))
13	7, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((lub‘ℝ*𝑠)‘ℝ*) = sup(ℝ*, ℝ*, < )
14		xrsup 13954	. 2 ⊢ sup(ℝ*, ℝ*, < ) = +∞
15	6, 13, 14	3eqtrri 2788	1 ⊢ +∞ = (1.‘ℝ*𝑠)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6535  supcsup 9417  +∞cpnf 11289  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292  ℝ^*_𝑠cxrs 17611  lubclub 18422  Tosetctos 18527  1.cp1 18535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9419  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-fz 13587  df-struct 17264  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-xrs 17613  df-proset 18407  df-poset 18426  df-plt 18441  df-lub 18457  df-toset 18528  df-p1 18537

This theorem is used by: (None)