Theorem xrsp1 33010

Description: The poset 1 of the extended real numbers is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrsp1	⊢ +∞ = (1.‘ℝ*𝑠)

Proof of Theorem xrsp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsex 21350	. . 3 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V
2		xrsbas 21351	. . . 4 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (lub‘ℝ*𝑠) = (lub‘ℝ*𝑠)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1.‘ℝ*𝑠) = (1.‘ℝ*𝑠)
5	2, 3, 4	p1val 18443	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ V → (1.‘ℝ*𝑠) = ((lub‘ℝ*𝑠)‘ℝ*))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1.‘ℝ*𝑠) = ((lub‘ℝ*𝑠)‘ℝ*)
7		ssid 3986	. . 3 ⊢ ℝ* ⊆ ℝ*
8		xrslt 33004	. . . 4 ⊢ < = (lt‘ℝ*𝑠)
9		xrstos 33007	. . . . 5 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ Toset
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (ℝ* ⊆ ℝ* → ℝ*𝑠 ∈ Toset)
11		id 22	. . . 4 ⊢ (ℝ* ⊆ ℝ* → ℝ* ⊆ ℝ*)
12	2, 8, 10, 11	toslub 32958	. . 3 ⊢ (ℝ* ⊆ ℝ* → ((lub‘ℝ*𝑠)‘ℝ*) = sup(ℝ*, ℝ*, < ))
13	7, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((lub‘ℝ*𝑠)‘ℝ*) = sup(ℝ*, ℝ*, < )
14		xrsup 13890	. 2 ⊢ sup(ℝ*, ℝ*, < ) = +∞
15	6, 13, 14	3eqtrri 2764	1 ⊢ +∞ = (1.‘ℝ*𝑠)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  supcsup 9457  +∞cpnf 11271  ℝ^*cxr 11273   < clt 11274  ℝ^*_𝑠cxrs 17519  lubclub 18326  Tosetctos 18431  1.cp1 18439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-xrs 17521  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-lub 18361  df-toset 18432  df-p1 18441

This theorem is referenced by: (None)