Theorem xrsp0 33072

Description: The poset 0 of the extended real numbers is minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrsp0	⊢ -∞ = (0.‘ℝ*𝑠)

Proof of Theorem xrsp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsex 21369	. . 3 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V
2		xrsbas 17570	. . . 4 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (glb‘ℝ*𝑠) = (glb‘ℝ*𝑠)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0.‘ℝ*𝑠) = (0.‘ℝ*𝑠)
5	2, 3, 4	p0val 18391	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ V → (0.‘ℝ*𝑠) = ((glb‘ℝ*𝑠)‘ℝ*))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0.‘ℝ*𝑠) = ((glb‘ℝ*𝑠)‘ℝ*)
7		ssid 3944	. . 3 ⊢ ℝ* ⊆ ℝ*
8		xrslt 33067	. . . 4 ⊢ < = (lt‘ℝ*𝑠)
9		xrstos 33070	. . . . 5 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ Toset
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (ℝ* ⊆ ℝ* → ℝ*𝑠 ∈ Toset)
11		id 22	. . . 4 ⊢ (ℝ* ⊆ ℝ* → ℝ* ⊆ ℝ*)
12	2, 8, 10, 11	tosglb 33035	. . 3 ⊢ (ℝ* ⊆ ℝ* → ((glb‘ℝ*𝑠)‘ℝ*) = inf(ℝ*, ℝ*, < ))
13	7, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((glb‘ℝ*𝑠)‘ℝ*) = inf(ℝ*, ℝ*, < )
14		xrinfm 32828	. 2 ⊢ inf(ℝ*, ℝ*, < ) = -∞
15	6, 13, 14	3eqtrri 2764	1 ⊢ -∞ = (0.‘ℝ*𝑠)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  infcinf 9354  -∞cmnf 11177  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179  ℝ^*_𝑠cxrs 17464  glbcglb 18276  Tosetctos 18380  0.cp0 18387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-xrs 17466  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-glb 18311  df-toset 18381  df-p0 18389

This theorem is referenced by: (None)