Theorem xrsp0 31009

Description: The poset 0 of the extended real numbers is minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrsp0	⊢ -∞ = (0.‘ℝ*𝑠)

Proof of Theorem xrsp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsex 20378	. . 3 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V
2		xrsbas 20379	. . . 4 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (glb‘ℝ*𝑠) = (glb‘ℝ*𝑠)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0.‘ℝ*𝑠) = (0.‘ℝ*𝑠)
5	2, 3, 4	p0val 17933	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ V → (0.‘ℝ*𝑠) = ((glb‘ℝ*𝑠)‘ℝ*))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0.‘ℝ*𝑠) = ((glb‘ℝ*𝑠)‘ℝ*)
7		ssid 3923	. . 3 ⊢ ℝ* ⊆ ℝ*
8		xrslt 31004	. . . 4 ⊢ < = (lt‘ℝ*𝑠)
9		xrstos 31007	. . . . 5 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ Toset
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (ℝ* ⊆ ℝ* → ℝ*𝑠 ∈ Toset)
11		id 22	. . . 4 ⊢ (ℝ* ⊆ ℝ* → ℝ* ⊆ ℝ*)
12	2, 8, 10, 11	tosglb 30972	. . 3 ⊢ (ℝ* ⊆ ℝ* → ((glb‘ℝ*𝑠)‘ℝ*) = inf(ℝ*, ℝ*, < ))
13	7, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((glb‘ℝ*𝑠)‘ℝ*) = inf(ℝ*, ℝ*, < )
14		xrinfm 30797	. 2 ⊢ inf(ℝ*, ℝ*, < ) = -∞
15	6, 13, 14	3eqtrri 2770	1 ⊢ -∞ = (0.‘ℝ*𝑠)

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866  ‘cfv 6380  infcinf 9057  -∞cmnf 10865  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867  ℝ^*_𝑠cxrs 17005  glbcglb 17817  Tosetctos 17922  0.cp0 17929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-xrs 17007  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-glb 17853  df-toset 17923  df-p0 17931

This theorem is referenced by: (None)