Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrsp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsp0 32674
Description: The poset 0 of the extended real numbers is minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
xrsp0 -∞ = (0.‘ℝ*𝑠)

Proof of Theorem xrsp0
StepHypRef Expression
1 xrsex 21265 . . 3 *𝑠 ∈ V
2 xrsbas 21266 . . . 4 * = (Base‘ℝ*𝑠)
3 eqid 2724 . . . 4 (glb‘ℝ*𝑠) = (glb‘ℝ*𝑠)
4 eqid 2724 . . . 4 (0.‘ℝ*𝑠) = (0.‘ℝ*𝑠)
52, 3, 4p0val 18388 . . 3 (ℝ*𝑠 ∈ V → (0.‘ℝ*𝑠) = ((glb‘ℝ*𝑠)‘ℝ*))
61, 5ax-mp 5 . 2 (0.‘ℝ*𝑠) = ((glb‘ℝ*𝑠)‘ℝ*)
7 ssid 3997 . . 3 * ⊆ ℝ*
8 xrslt 32669 . . . 4 < = (lt‘ℝ*𝑠)
9 xrstos 32672 . . . . 5 *𝑠 ∈ Toset
109a1i 11 . . . 4 (ℝ* ⊆ ℝ* → ℝ*𝑠 ∈ Toset)
11 id 22 . . . 4 (ℝ* ⊆ ℝ* → ℝ* ⊆ ℝ*)
122, 8, 10, 11tosglb 32637 . . 3 (ℝ* ⊆ ℝ* → ((glb‘ℝ*𝑠)‘ℝ*) = inf(ℝ*, ℝ*, < ))
137, 12ax-mp 5 . 2 ((glb‘ℝ*𝑠)‘ℝ*) = inf(ℝ*, ℝ*, < )
14 xrinfm 32461 . 2 inf(ℝ*, ℝ*, < ) = -∞
156, 13, 143eqtrri 2757 1 -∞ = (0.‘ℝ*𝑠)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  wss 3941  cfv 6534  infcinf 9433  -∞cmnf 11245  *cxr 11246   < clt 11247  *𝑠cxrs 17451  glbcglb 18271  Tosetctos 18377  0.cp0 18384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-xrs 17453  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-glb 18308  df-toset 18378  df-p0 18386
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator