Theorem xrsp0 32739

Description: The poset 0 of the extended real numbers is minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrsp0	⊢ -∞ = (0.‘ℝ*𝑠)

Proof of Theorem xrsp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsex 21309	. . 3 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V
2		xrsbas 21310	. . . 4 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (glb‘ℝ*𝑠) = (glb‘ℝ*𝑠)
4		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (0.‘ℝ*𝑠) = (0.‘ℝ*𝑠)
5	2, 3, 4	p0val 18418	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ V → (0.‘ℝ*𝑠) = ((glb‘ℝ*𝑠)‘ℝ*))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0.‘ℝ*𝑠) = ((glb‘ℝ*𝑠)‘ℝ*)
7		ssid 4002	. . 3 ⊢ ℝ* ⊆ ℝ*
8		xrslt 32734	. . . 4 ⊢ < = (lt‘ℝ*𝑠)
9		xrstos 32737	. . . . 5 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ Toset
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (ℝ* ⊆ ℝ* → ℝ*𝑠 ∈ Toset)
11		id 22	. . . 4 ⊢ (ℝ* ⊆ ℝ* → ℝ* ⊆ ℝ*)
12	2, 8, 10, 11	tosglb 32702	. . 3 ⊢ (ℝ* ⊆ ℝ* → ((glb‘ℝ*𝑠)‘ℝ*) = inf(ℝ*, ℝ*, < ))
13	7, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((glb‘ℝ*𝑠)‘ℝ*) = inf(ℝ*, ℝ*, < )
14		xrinfm 32524	. 2 ⊢ inf(ℝ*, ℝ*, < ) = -∞
15	6, 13, 14	3eqtrri 2761	1 ⊢ -∞ = (0.‘ℝ*𝑠)

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6548  infcinf 9464  -∞cmnf 11276  ℝ^*cxr 11277   < clt 11278  ℝ^*_𝑠cxrs 17481  glbcglb 18301  Tosetctos 18407  0.cp0 18414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-xrs 17483  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-glb 18338  df-toset 18408  df-p0 18416

This theorem is referenced by: (None)