Theorem xrnarchi 33445

Description: The completed real line is not Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrnarchi	⊢ ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi

Proof of Theorem xrnarchi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11268	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		pnfxr 11263	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		1rp 13020	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		pnfinf 33444	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞
6		breq1 5116	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
7		breq2 5117	. . . 4 ⊢ (𝑦 = +∞ → (1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞))
8	6, 7	rspc2ev 3603	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ* ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
9	1, 2, 5, 8	mp3an 1487	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ* ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦
10		rexnal 3123	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
11		dfrex2 3098	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
12	11	rexbii 3118	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
13		xrsex 21508	. . . . 5 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V
14		xrsbas 17660	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
15		xrs0 33267	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
16		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (⋘‘ℝ*𝑠) = (⋘‘ℝ*𝑠)
17	14, 15, 16	isarchi 33443	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ V → (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
18	13, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
19	18	notbii 323	. . 3 ⊢ (¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
20	10, 12, 19	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi)
21	9, 20	mpbi 233	1 ⊢ ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  0cc0 11100  1c1 11101  +∞cpnf 11240  ℝ^*cxr 11242  ℝ⁺crp 13016  ℝ^*_𝑠cxrs 17554  ⋘cinftm 33437  Archicarchi 33438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-fz 13536  df-seq 14038  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-0g 17494  df-xrs 17556  df-plt 18384  df-minusg 19004  df-mulg 19134  df-inftm 33439  df-archi 33440

This theorem is referenced by: (None)