Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrnarchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrnarchi 30512
Description: The completed real line is not Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrnarchi ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi

Proof of Theorem xrnarchi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1xr 10499 . . 3 1 ∈ ℝ*
2 pnfxr 10493 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
3 1rp 12207 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 pnfinf 30511 . . . 4 (1 ∈ ℝ+ → 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)
53, 4ax-mp 5 . . 3 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞
6 breq1 4929 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
7 breq2 4930 . . . 4 (𝑦 = +∞ → (1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞))
86, 7rspc2ev 3545 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
91, 2, 5, 8mp3an 1441 . 2 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦
10 rexnal 3180 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
11 dfrex2 3181 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
1211rexbii 3189 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
13 xrsex 20278 . . . . 5 *𝑠 ∈ V
14 xrsbas 20279 . . . . . 6 * = (Base‘ℝ*𝑠)
15 xrs0 30421 . . . . . 6 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
16 eqid 2773 . . . . . 6 (⋘‘ℝ*𝑠) = (⋘‘ℝ*𝑠)
1714, 15, 16isarchi 30510 . . . . 5 (ℝ*𝑠 ∈ V → (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
1813, 17ax-mp 5 . . . 4 (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
1918notbii 312 . . 3 (¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
2010, 12, 193bitr4i 295 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi)
219, 20mpbi 222 1 ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198  wcel 2051  wral 3083  wrex 3084  Vcvv 3410   class class class wbr 4926  cfv 6186  0cc0 10334  1c1 10335  +∞cpnf 10470  *cxr 10472  +crp 12203  *𝑠cxrs 16628  cinftm 30504  Archicarchi 30505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-oadd 7908  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-5 11505  df-6 11506  df-7 11507  df-8 11508  df-9 11509  df-n0 11707  df-z 11793  df-dec 11911  df-uz 12058  df-rp 12204  df-xneg 12323  df-xadd 12324  df-xmul 12325  df-fz 12708  df-seq 13184  df-struct 16340  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-plusg 16433  df-mulr 16434  df-tset 16439  df-ple 16440  df-ds 16442  df-0g 16570  df-xrs 16630  df-plt 17439  df-minusg 17908  df-mulg 18025  df-inftm 30506  df-archi 30507
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator