Theorem xrnarchi 31340

Description: The completed real line is not Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrnarchi	⊢ ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi

Proof of Theorem xrnarchi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 10965	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		pnfxr 10960	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		1rp 12663	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		pnfinf 31339	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞
6		breq1 5073	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
7		breq2 5074	. . . 4 ⊢ (𝑦 = +∞ → (1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞))
8	6, 7	rspc2ev 3564	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ* ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
9	1, 2, 5, 8	mp3an 1459	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ* ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦
10		rexnal 3165	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
11		dfrex2 3166	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
12	11	rexbii 3177	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
13		xrsex 20525	. . . . 5 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V
14		xrsbas 20526	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
15		xrs0 31186	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
16		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (⋘‘ℝ*𝑠) = (⋘‘ℝ*𝑠)
17	14, 15, 16	isarchi 31338	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ V → (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
18	13, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
19	18	notbii 319	. . 3 ⊢ (¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
20	10, 12, 19	3bitr4i 302	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi)
21	9, 20	mpbi 229	1 ⊢ ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  0cc0 10802  1c1 10803  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939  ℝ⁺crp 12659  ℝ^*_𝑠cxrs 17128  ⋘cinftm 31332  Archicarchi 31333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-fz 13169  df-seq 13650  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-0g 17069  df-xrs 17130  df-plt 17963  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-inftm 31334  df-archi 31335

This theorem is referenced by: (None)