Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrnarchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrnarchi 30848
 Description: The completed real line is not Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrnarchi ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi

Proof of Theorem xrnarchi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1xr 10698 . . 3 1 ∈ ℝ*
2 pnfxr 10693 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
3 1rp 12390 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 pnfinf 30847 . . . 4 (1 ∈ ℝ+ → 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)
53, 4ax-mp 5 . . 3 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞
6 breq1 5055 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
7 breq2 5056 . . . 4 (𝑦 = +∞ → (1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞))
86, 7rspc2ev 3621 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
91, 2, 5, 8mp3an 1458 . 2 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦
10 rexnal 3232 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
11 dfrex2 3233 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
1211rexbii 3241 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
13 xrsex 20113 . . . . 5 *𝑠 ∈ V
14 xrsbas 20114 . . . . . 6 * = (Base‘ℝ*𝑠)
15 xrs0 30697 . . . . . 6 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
16 eqid 2824 . . . . . 6 (⋘‘ℝ*𝑠) = (⋘‘ℝ*𝑠)
1714, 15, 16isarchi 30846 . . . . 5 (ℝ*𝑠 ∈ V → (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
1813, 17ax-mp 5 . . . 4 (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
1918notbii 323 . . 3 (¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
2010, 12, 193bitr4i 306 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi)
219, 20mpbi 233 1 ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  ∃wrex 3134  Vcvv 3480   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  0cc0 10535  1c1 10536  +∞cpnf 10670  ℝ*cxr 10672  ℝ+crp 12386  ℝ*𝑠cxrs 16773  ⋘cinftm 30840  Archicarchi 30841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-fz 12895  df-seq 13374  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-0g 16715  df-xrs 16775  df-plt 17568  df-minusg 18107  df-mulg 18225  df-inftm 30842  df-archi 30843 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator