Theorem xrnarchi 33278

Description: The completed real line is not Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrnarchi	⊢ ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi

Proof of Theorem xrnarchi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11203	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		pnfxr 11198	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		1rp 12921	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		pnfinf 33277	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞
6		breq1 5103	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
7		breq2 5104	. . . 4 ⊢ (𝑦 = +∞ → (1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞))
8	6, 7	rspc2ev 3591	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ* ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
9	1, 2, 5, 8	mp3an 1464	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ* ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦
10		rexnal 3090	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
11		dfrex2 3065	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
12	11	rexbii 3085	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
13		xrsex 21351	. . . . 5 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V
14		xrsbas 17539	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
15		xrs0 33099	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (⋘‘ℝ*𝑠) = (⋘‘ℝ*𝑠)
17	14, 15, 16	isarchi 33276	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ V → (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
18	13, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
19	18	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
20	10, 12, 19	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi)
21	9, 20	mpbi 230	1 ⊢ ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  0cc0 11038  1c1 11039  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177  ℝ⁺crp 12917  ℝ^*_𝑠cxrs 17433  ⋘cinftm 33270  Archicarchi 33271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-fz 13436  df-seq 13937  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-0g 17373  df-xrs 17435  df-plt 18263  df-minusg 18879  df-mulg 19010  df-inftm 33272  df-archi 33273

This theorem is referenced by: (None)