Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrnarchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrnarchi 32091
Description: The completed real line is not Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrnarchi ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi

Proof of Theorem xrnarchi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1xr 11224 . . 3 1 ∈ ℝ*
2 pnfxr 11219 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
3 1rp 12929 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 pnfinf 32090 . . . 4 (1 ∈ ℝ+ → 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)
53, 4ax-mp 5 . . 3 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞
6 breq1 5114 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
7 breq2 5115 . . . 4 (𝑦 = +∞ → (1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞))
86, 7rspc2ev 3594 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
91, 2, 5, 8mp3an 1462 . 2 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦
10 rexnal 3100 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
11 dfrex2 3073 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
1211rexbii 3094 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
13 xrsex 20850 . . . . 5 *𝑠 ∈ V
14 xrsbas 20851 . . . . . 6 * = (Base‘ℝ*𝑠)
15 xrs0 31937 . . . . . 6 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
16 eqid 2732 . . . . . 6 (⋘‘ℝ*𝑠) = (⋘‘ℝ*𝑠)
1714, 15, 16isarchi 32089 . . . . 5 (ℝ*𝑠 ∈ V → (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
1813, 17ax-mp 5 . . . 4 (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
1918notbii 320 . . 3 (¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
2010, 12, 193bitr4i 303 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi)
219, 20mpbi 229 1 ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3447   class class class wbr 5111  cfv 6502  0cc0 11061  1c1 11062  +∞cpnf 11196  *cxr 11198  +crp 12925  *𝑠cxrs 17397  cinftm 32083  Archicarchi 32084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4872  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-1o 8418  df-er 8656  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-fin 8895  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-nn 12164  df-2 12226  df-3 12227  df-4 12228  df-5 12229  df-6 12230  df-7 12231  df-8 12232  df-9 12233  df-n0 12424  df-z 12510  df-dec 12629  df-uz 12774  df-rp 12926  df-xneg 13043  df-xadd 13044  df-xmul 13045  df-fz 13436  df-seq 13918  df-struct 17031  df-slot 17066  df-ndx 17078  df-base 17096  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-0g 17338  df-xrs 17399  df-plt 18234  df-minusg 18767  df-mulg 18888  df-inftm 32085  df-archi 32086
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator