Theorem xrnarchi 33364

Description: The completed real line is not Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrnarchi	⊢ ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi

Proof of Theorem xrnarchi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11241	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		pnfxr 11236	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		1rp 12997	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		pnfinf 33363	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞
6		breq1 5103	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
7		breq2 5104	. . . 4 ⊢ (𝑦 = +∞ → (1(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞))
8	6, 7	rspc2ev 3594	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1(⋘‘ℝ*𝑠)+∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ* ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
9	1, 2, 5, 8	mp3an 1482	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ* ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦
10		rexnal 3114	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
11		dfrex2 3089	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
12	11	rexbii 3109	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
13		xrsex 21441	. . . . 5 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V
14		xrsbas 17636	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
15		xrs0 33184	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
16		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (⋘‘ℝ*𝑠) = (⋘‘ℝ*𝑠)
17	14, 15, 16	isarchi 33362	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ V → (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦))
18	13, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
19	18	notbii 322	. . 3 ⊢ (¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* ¬ 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦)
20	10, 12, 19	3bitr4i 305	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑥(⋘‘ℝ*𝑠)𝑦 ↔ ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi)
21	9, 20	mpbi 232	1 ⊢ ¬ ℝ*𝑠 ∈ Archi

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3454   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  0cc0 11073  1c1 11074  +∞cpnf 11213  ℝ^*cxr 11215  ℝ⁺crp 12993  ℝ^*_𝑠cxrs 17530  ⋘cinftm 33356  Archicarchi 33357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-fz 13513  df-seq 14015  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-0g 17470  df-xrs 17532  df-plt 18360  df-minusg 18979  df-mulg 19110  df-inftm 33358  df-archi 33359

This theorem is referenced by: (None)