Theorem pnfinf 33186

Description: Plus infinity is an infinite for the completed real line, as any real number is infinitesimal compared to it. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pnfinf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)

Proof of Theorem pnfinf

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgt0 13026	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
2		nnz 12614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
4		rpxr 13023	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		xrsmulgzz 33006	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) = (𝑛 ·e 𝐴))
7	3, 5, 6	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) = (𝑛 ·e 𝐴))
8	3	zred 12702	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
9		rpre 13022	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		rexmul 13292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐴) = (𝑛 · 𝐴))
12		remulcl 11219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	11, 12	eqeltrd 2835	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐴) ∈ ℝ)
14	8, 10, 13	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 ·e 𝐴) ∈ ℝ)
15	7, 14	eqeltrd 2835	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) ∈ ℝ)
16		ltpnf 13141	. . . 4 ⊢ ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) ∈ ℝ → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
18	17	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
19		xrsex 21350	. . . 4 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V
20		pnfxr 11294	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
21		xrsbas 21351	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
22		xrs0 33003	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
23		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.g‘ℝ*𝑠) = (.g‘ℝ*𝑠)
24		xrslt 33004	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘ℝ*𝑠)
25	21, 22, 23, 24	isinftm 33184	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
26	19, 20, 25	mp3an13 1454	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
27	4, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
28	1, 18, 27	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  Vcvv 3464   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134   · cmul 11139  +∞cpnf 11271  ℝ^*cxr 11273   < clt 11274  ℕcn 12245  ℤcz 12593  ℝ⁺crp 13013   ·_e cxmu 13132  ℝ^*_𝑠cxrs 17519  ._gcmg 19055  ⋘cinftm 33179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-fz 13530  df-seq 14025  df-struct 17171  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-0g 17460  df-xrs 17521  df-plt 18345  df-minusg 18925  df-mulg 19056  df-inftm 33181

This theorem is referenced by:  xrnarchi  33187