Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pnfinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfinf 32885
Description: Plus infinity is an infinite for the completed real line, as any real number is infinitesimal compared to it. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
pnfinf (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž)

Proof of Theorem pnfinf
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpgt0 13012 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ๐ด)
2 nnz 12603 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
32adantl 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
4 rpxr 13009 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
54adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
6 xrsmulgzz 32730 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) = (๐‘› ยทe ๐ด))
73, 5, 6syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) = (๐‘› ยทe ๐ด))
83zred 12690 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
9 rpre 13008 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
109adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
11 rexmul 13276 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› ยทe ๐ด) = (๐‘› ยท ๐ด))
12 remulcl 11217 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
1311, 12eqeltrd 2828 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› ยทe ๐ด) โˆˆ โ„)
148, 10, 13syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› ยทe ๐ด) โˆˆ โ„)
157, 14eqeltrd 2828 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) โˆˆ โ„)
16 ltpnf 13126 . . . 4 ((๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)
1715, 16syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)
1817ralrimiva 3141 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)
19 xrsex 21303 . . . 4 โ„*๐‘  โˆˆ V
20 pnfxr 11292 . . . 4 +โˆž โˆˆ โ„*
21 xrsbas 21304 . . . . 5 โ„* = (Baseโ€˜โ„*๐‘ )
22 xrs0 32727 . . . . 5 0 = (0gโ€˜โ„*๐‘ )
23 eqid 2727 . . . . 5 (.gโ€˜โ„*๐‘ ) = (.gโ€˜โ„*๐‘ )
24 xrslt 32728 . . . . 5 < = (ltโ€˜โ„*๐‘ )
2521, 22, 23, 24isinftm 32883 . . . 4 ((โ„*๐‘  โˆˆ V โˆง ๐ด โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž โ†” (0 < ๐ด โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)))
2619, 20, 25mp3an13 1449 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž โ†” (0 < ๐ด โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)))
274, 26syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž โ†” (0 < ๐ด โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)))
281, 18, 27mpbir2and 712 1 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056  Vcvv 3469   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11131  0cc0 11132   ยท cmul 11137  +โˆžcpnf 11269  โ„*cxr 11271   < clt 11272  โ„•cn 12236  โ„คcz 12582  โ„+crp 13000   ยทe cxmu 13117  โ„*๐‘ cxrs 17475  .gcmg 19016  โ‹˜cinftm 32878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-fz 13511  df-seq 13993  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-0g 17416  df-xrs 17477  df-plt 18315  df-minusg 18887  df-mulg 19017  df-inftm 32880
This theorem is referenced by:  xrnarchi  32886
  Copyright terms: Public domain W3C validator