Theorem pnfinf 33416

Description: Plus infinity is an infinite for the completed real line, as any real number is infinitesimal compared to it. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pnfinf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)

Proof of Theorem pnfinf

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgt0 13020	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
2		nnz 12603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
3	2	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
4		rpxr 13017	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)
5	4	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		xrsmulgzz 33242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) = (𝑛 ·e 𝐴))
7	3, 5, 6	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) = (𝑛 ·e 𝐴))
8	3	zred 12691	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
9		rpre 13016	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		rexmul 13288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐴) = (𝑛 · 𝐴))
12		remulcl 11173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	11, 12	eqeltrd 2865	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐴) ∈ ℝ)
14	8, 10, 13	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 ·e 𝐴) ∈ ℝ)
15	7, 14	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) ∈ ℝ)
16		ltpnf 13136	. . . 4 ⊢ ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) ∈ ℝ → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
17	15, 16	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
18	17	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
19		xrsex 21499	. . . 4 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V
20		pnfxr 11251	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
21		xrsbas 17650	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
22		xrs0 33239	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
23		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (.g‘ℝ*𝑠) = (.g‘ℝ*𝑠)
24		xrslt 33240	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘ℝ*𝑠)
25	21, 22, 23, 24	isinftm 33414	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
26	19, 20, 25	mp3an13 1476	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
27	4, 26	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
28	1, 18, 27	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  Vcvv 3457   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088   · cmul 11093  +∞cpnf 11228  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231  ℕcn 12224  ℤcz 12582  ℝ⁺crp 13007   ·_e cxmu 13127  ℝ^*_𝑠cxrs 17544  ._gcmg 19124  ⋘cinftm 33409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-fz 13527  df-seq 14029  df-struct 17197  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-0g 17484  df-xrs 17546  df-plt 18374  df-minusg 18994  df-mulg 19125  df-inftm 33411

This theorem is referenced by:  xrnarchi  33417