Theorem pnfinf 33787

Description: Plus infinity is an infinite for the completed real line, as any real number is infinitesimal compared to it. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pnfinf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)

Proof of Theorem pnfinf

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgt0 13134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
2		nnz 12715	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
3	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
4		rpxr 13131	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		xrsmulgzz 33613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) = (𝑛 ·e 𝐴))
7	3, 5, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) = (𝑛 ·e 𝐴))
8	3	zred 12804	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
9		rpre 13130	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		rexmul 13402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐴) = (𝑛 · 𝐴))
12		remulcl 11286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	11, 12	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐴) ∈ ℝ)
14	8, 10, 13	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 ·e 𝐴) ∈ ℝ)
15	7, 14	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) ∈ ℝ)
16		ltpnf 13250	. . . 4 ⊢ ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) ∈ ℝ → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
17	15, 16	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
18	17	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
19		xrsex 21696	. . . 4 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V
20		pnfxr 11364	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
21		xrsbas 17779	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
22		xrs0 33610	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
23		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.g‘ℝ*𝑠) = (.g‘ℝ*𝑠)
24		xrslt 33611	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘ℝ*𝑠)
25	21, 22, 23, 24	isinftm 33785	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
26	19, 20, 25	mp3an13 1481	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
27	4, 26	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
28	1, 18, 27	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11200  0cc0 11201   · cmul 11206  +∞cpnf 11341  ℝ^*cxr 11343   < clt 11344  ℕcn 12336  ℤcz 12694  ℝ⁺crp 13121   ·_e cxmu 13241  ℝ^*_𝑠cxrs 17673  ._gcmg 19278  ⋘cinftm 33780

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-fz 13641  df-seq 14146  df-struct 17326  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-0g 17613  df-xrs 17675  df-plt 18503  df-minusg 19149  df-mulg 19279  df-inftm 33782

This theorem is used by:  xrnarchi  33788