![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > pnfinf | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Plus infinity is an infinite for the completed real line, as any real number is infinitesimal compared to it. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
pnfinf | โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด(โโโ*๐ )+โ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | rpgt0 12937 | . 2 โข (๐ด โ โ+ โ 0 < ๐ด) | |
2 | nnz 12530 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โค) | |
3 | 2 | adantl 483 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ ๐ โ โค) |
4 | rpxr 12934 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ โ*) | |
5 | 4 | adantr 482 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ ๐ด โ โ*) |
6 | xrsmulgzz 31940 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โค โง ๐ด โ โ*) โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) = (๐ ยทe ๐ด)) | |
7 | 3, 5, 6 | syl2anc 585 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) = (๐ ยทe ๐ด)) |
8 | 3 | zred 12617 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ ๐ โ โ) |
9 | rpre 12933 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ โ) | |
10 | 9 | adantr 482 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ ๐ด โ โ) |
11 | rexmul 13201 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ ยทe ๐ด) = (๐ ยท ๐ด)) | |
12 | remulcl 11146 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ ยท ๐ด) โ โ) | |
13 | 11, 12 | eqeltrd 2833 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ ยทe ๐ด) โ โ) |
14 | 8, 10, 13 | syl2anc 585 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ (๐ ยทe ๐ด) โ โ) |
15 | 7, 14 | eqeltrd 2833 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) โ โ) |
16 | ltpnf 13051 | . . . 4 โข ((๐(.gโโ*๐ )๐ด) โ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ) | |
17 | 15, 16 | syl 17 | . . 3 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ) |
18 | 17 | ralrimiva 3140 | . 2 โข (๐ด โ โ+ โ โ๐ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ) |
19 | xrsex 20850 | . . . 4 โข โ*๐ โ V | |
20 | pnfxr 11219 | . . . 4 โข +โ โ โ* | |
21 | xrsbas 20851 | . . . . 5 โข โ* = (Baseโโ*๐ ) | |
22 | xrs0 31937 | . . . . 5 โข 0 = (0gโโ*๐ ) | |
23 | eqid 2732 | . . . . 5 โข (.gโโ*๐ ) = (.gโโ*๐ ) | |
24 | xrslt 31938 | . . . . 5 โข < = (ltโโ*๐ ) | |
25 | 21, 22, 23, 24 | isinftm 32088 | . . . 4 โข ((โ*๐ โ V โง ๐ด โ โ* โง +โ โ โ*) โ (๐ด(โโโ*๐ )+โ โ (0 < ๐ด โง โ๐ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ))) |
26 | 19, 20, 25 | mp3an13 1453 | . . 3 โข (๐ด โ โ* โ (๐ด(โโโ*๐ )+โ โ (0 < ๐ด โง โ๐ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ))) |
27 | 4, 26 | syl 17 | . 2 โข (๐ด โ โ+ โ (๐ด(โโโ*๐ )+โ โ (0 < ๐ด โง โ๐ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ))) |
28 | 1, 18, 27 | mpbir2and 712 | 1 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด(โโโ*๐ )+โ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwral 3061 Vcvv 3447 class class class wbr 5111 โcfv 6502 (class class class)co 7363 โcr 11060 0cc0 11061 ยท cmul 11066 +โcpnf 11196 โ*cxr 11198 < clt 11199 โcn 12163 โคcz 12509 โ+crp 12925 ยทe cxmu 13042 โ*๐ cxrs 17397 .gcmg 18887 โcinftm 32083 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2703 ax-sep 5262 ax-nul 5269 ax-pow 5326 ax-pr 5390 ax-un 7678 ax-cnex 11117 ax-resscn 11118 ax-1cn 11119 ax-icn 11120 ax-addcl 11121 ax-addrcl 11122 ax-mulcl 11123 ax-mulrcl 11124 ax-mulcom 11125 ax-addass 11126 ax-mulass 11127 ax-distr 11128 ax-i2m1 11129 ax-1ne0 11130 ax-1rid 11131 ax-rnegex 11132 ax-rrecex 11133 ax-cnre 11134 ax-pre-lttri 11135 ax-pre-lttrn 11136 ax-pre-ltadd 11137 ax-pre-mulgt0 11138 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4289 df-if 4493 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-tp 4597 df-op 4599 df-uni 4872 df-iun 4962 df-br 5112 df-opab 5174 df-mpt 5195 df-tr 5229 df-id 5537 df-eprel 5543 df-po 5551 df-so 5552 df-fr 5594 df-we 5596 df-xp 5645 df-rel 5646 df-cnv 5647 df-co 5648 df-dm 5649 df-rn 5650 df-res 5651 df-ima 5652 df-pred 6259 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6504 df-fn 6505 df-f 6506 df-f1 6507 df-fo 6508 df-f1o 6509 df-fv 6510 df-riota 7319 df-ov 7366 df-oprab 7367 df-mpo 7368 df-om 7809 df-1st 7927 df-2nd 7928 df-frecs 8218 df-wrecs 8249 df-recs 8323 df-rdg 8362 df-1o 8418 df-er 8656 df-en 8892 df-dom 8893 df-sdom 8894 df-fin 8895 df-pnf 11201 df-mnf 11202 df-xr 11203 df-ltxr 11204 df-le 11205 df-sub 11397 df-neg 11398 df-nn 12164 df-2 12226 df-3 12227 df-4 12228 df-5 12229 df-6 12230 df-7 12231 df-8 12232 df-9 12233 df-n0 12424 df-z 12510 df-dec 12629 df-uz 12774 df-rp 12926 df-xneg 13043 df-xadd 13044 df-xmul 13045 df-fz 13436 df-seq 13918 df-struct 17031 df-slot 17066 df-ndx 17078 df-base 17096 df-plusg 17161 df-mulr 17162 df-tset 17167 df-ple 17168 df-ds 17170 df-0g 17338 df-xrs 17399 df-plt 18234 df-minusg 18767 df-mulg 18888 df-inftm 32085 |
This theorem is referenced by: xrnarchi 32091 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |