![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > pnfinf | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Plus infinity is an infinite for the completed real line, as any real number is infinitesimal compared to it. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
pnfinf | โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด(โโโ*๐ )+โ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | rpgt0 12983 | . 2 โข (๐ด โ โ+ โ 0 < ๐ด) | |
2 | nnz 12576 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โค) | |
3 | 2 | adantl 481 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ ๐ โ โค) |
4 | rpxr 12980 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ โ*) | |
5 | 4 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ ๐ด โ โ*) |
6 | xrsmulgzz 32646 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โค โง ๐ด โ โ*) โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) = (๐ ยทe ๐ด)) | |
7 | 3, 5, 6 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) = (๐ ยทe ๐ด)) |
8 | 3 | zred 12663 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ ๐ โ โ) |
9 | rpre 12979 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ โ) | |
10 | 9 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ ๐ด โ โ) |
11 | rexmul 13247 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ ยทe ๐ด) = (๐ ยท ๐ด)) | |
12 | remulcl 11191 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ ยท ๐ด) โ โ) | |
13 | 11, 12 | eqeltrd 2825 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ ยทe ๐ด) โ โ) |
14 | 8, 10, 13 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ (๐ ยทe ๐ด) โ โ) |
15 | 7, 14 | eqeltrd 2825 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) โ โ) |
16 | ltpnf 13097 | . . . 4 โข ((๐(.gโโ*๐ )๐ด) โ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ) | |
17 | 15, 16 | syl 17 | . . 3 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ) |
18 | 17 | ralrimiva 3138 | . 2 โข (๐ด โ โ+ โ โ๐ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ) |
19 | xrsex 21244 | . . . 4 โข โ*๐ โ V | |
20 | pnfxr 11265 | . . . 4 โข +โ โ โ* | |
21 | xrsbas 21245 | . . . . 5 โข โ* = (Baseโโ*๐ ) | |
22 | xrs0 32643 | . . . . 5 โข 0 = (0gโโ*๐ ) | |
23 | eqid 2724 | . . . . 5 โข (.gโโ*๐ ) = (.gโโ*๐ ) | |
24 | xrslt 32644 | . . . . 5 โข < = (ltโโ*๐ ) | |
25 | 21, 22, 23, 24 | isinftm 32795 | . . . 4 โข ((โ*๐ โ V โง ๐ด โ โ* โง +โ โ โ*) โ (๐ด(โโโ*๐ )+โ โ (0 < ๐ด โง โ๐ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ))) |
26 | 19, 20, 25 | mp3an13 1448 | . . 3 โข (๐ด โ โ* โ (๐ด(โโโ*๐ )+โ โ (0 < ๐ด โง โ๐ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ))) |
27 | 4, 26 | syl 17 | . 2 โข (๐ด โ โ+ โ (๐ด(โโโ*๐ )+โ โ (0 < ๐ด โง โ๐ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ))) |
28 | 1, 18, 27 | mpbir2and 710 | 1 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด(โโโ*๐ )+โ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwral 3053 Vcvv 3466 class class class wbr 5138 โcfv 6533 (class class class)co 7401 โcr 11105 0cc0 11106 ยท cmul 11111 +โcpnf 11242 โ*cxr 11244 < clt 11245 โcn 12209 โคcz 12555 โ+crp 12971 ยทe cxmu 13088 โ*๐ cxrs 17445 .gcmg 18985 โcinftm 32790 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pow 5353 ax-pr 5417 ax-un 7718 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3959 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-tp 4625 df-op 4627 df-uni 4900 df-iun 4989 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-tr 5256 df-id 5564 df-eprel 5570 df-po 5578 df-so 5579 df-fr 5621 df-we 5623 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6290 df-ord 6357 df-on 6358 df-lim 6359 df-suc 6360 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-riota 7357 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-om 7849 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-1o 8461 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-nn 12210 df-2 12272 df-3 12273 df-4 12274 df-5 12275 df-6 12276 df-7 12277 df-8 12278 df-9 12279 df-n0 12470 df-z 12556 df-dec 12675 df-uz 12820 df-rp 12972 df-xneg 13089 df-xadd 13090 df-xmul 13091 df-fz 13482 df-seq 13964 df-struct 17079 df-slot 17114 df-ndx 17126 df-base 17144 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-0g 17386 df-xrs 17447 df-plt 18285 df-minusg 18857 df-mulg 18986 df-inftm 32792 |
This theorem is referenced by: xrnarchi 32798 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |