Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pnfinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfinf 32329
Description: Plus infinity is an infinite for the completed real line, as any real number is infinitesimal compared to it. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
pnfinf (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž)

Proof of Theorem pnfinf
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpgt0 12986 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ๐ด)
2 nnz 12579 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
32adantl 483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
4 rpxr 12983 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
54adantr 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
6 xrsmulgzz 32179 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) = (๐‘› ยทe ๐ด))
73, 5, 6syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) = (๐‘› ยทe ๐ด))
83zred 12666 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
9 rpre 12982 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
109adantr 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
11 rexmul 13250 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› ยทe ๐ด) = (๐‘› ยท ๐ด))
12 remulcl 11195 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
1311, 12eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› ยทe ๐ด) โˆˆ โ„)
148, 10, 13syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› ยทe ๐ด) โˆˆ โ„)
157, 14eqeltrd 2834 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) โˆˆ โ„)
16 ltpnf 13100 . . . 4 ((๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)
1715, 16syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)
1817ralrimiva 3147 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)
19 xrsex 20960 . . . 4 โ„*๐‘  โˆˆ V
20 pnfxr 11268 . . . 4 +โˆž โˆˆ โ„*
21 xrsbas 20961 . . . . 5 โ„* = (Baseโ€˜โ„*๐‘ )
22 xrs0 32176 . . . . 5 0 = (0gโ€˜โ„*๐‘ )
23 eqid 2733 . . . . 5 (.gโ€˜โ„*๐‘ ) = (.gโ€˜โ„*๐‘ )
24 xrslt 32177 . . . . 5 < = (ltโ€˜โ„*๐‘ )
2521, 22, 23, 24isinftm 32327 . . . 4 ((โ„*๐‘  โˆˆ V โˆง ๐ด โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž โ†” (0 < ๐ด โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)))
2619, 20, 25mp3an13 1453 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž โ†” (0 < ๐ด โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)))
274, 26syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž โ†” (0 < ๐ด โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)))
281, 18, 27mpbir2and 712 1 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110   ยท cmul 11115  +โˆžcpnf 11245  โ„*cxr 11247   < clt 11248  โ„•cn 12212  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974   ยทe cxmu 13091  โ„*๐‘ cxrs 17446  .gcmg 18950  โ‹˜cinftm 32322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-seq 13967  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-0g 17387  df-xrs 17448  df-plt 18283  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-inftm 32324
This theorem is referenced by:  xrnarchi  32330
  Copyright terms: Public domain W3C validator