Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pnfinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfinf 32090
Description: Plus infinity is an infinite for the completed real line, as any real number is infinitesimal compared to it. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
pnfinf (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž)

Proof of Theorem pnfinf
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpgt0 12937 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ๐ด)
2 nnz 12530 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
32adantl 483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
4 rpxr 12934 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
54adantr 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
6 xrsmulgzz 31940 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) = (๐‘› ยทe ๐ด))
73, 5, 6syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) = (๐‘› ยทe ๐ด))
83zred 12617 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
9 rpre 12933 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
109adantr 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
11 rexmul 13201 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› ยทe ๐ด) = (๐‘› ยท ๐ด))
12 remulcl 11146 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
1311, 12eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› ยทe ๐ด) โˆˆ โ„)
148, 10, 13syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› ยทe ๐ด) โˆˆ โ„)
157, 14eqeltrd 2833 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) โˆˆ โ„)
16 ltpnf 13051 . . . 4 ((๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)
1715, 16syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)
1817ralrimiva 3140 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)
19 xrsex 20850 . . . 4 โ„*๐‘  โˆˆ V
20 pnfxr 11219 . . . 4 +โˆž โˆˆ โ„*
21 xrsbas 20851 . . . . 5 โ„* = (Baseโ€˜โ„*๐‘ )
22 xrs0 31937 . . . . 5 0 = (0gโ€˜โ„*๐‘ )
23 eqid 2732 . . . . 5 (.gโ€˜โ„*๐‘ ) = (.gโ€˜โ„*๐‘ )
24 xrslt 31938 . . . . 5 < = (ltโ€˜โ„*๐‘ )
2521, 22, 23, 24isinftm 32088 . . . 4 ((โ„*๐‘  โˆˆ V โˆง ๐ด โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž โ†” (0 < ๐ด โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)))
2619, 20, 25mp3an13 1453 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž โ†” (0 < ๐ด โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)))
274, 26syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž โ†” (0 < ๐ด โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)))
281, 18, 27mpbir2and 712 1 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  Vcvv 3447   class class class wbr 5111  โ€˜cfv 6502  (class class class)co 7363  โ„cr 11060  0cc0 11061   ยท cmul 11066  +โˆžcpnf 11196  โ„*cxr 11198   < clt 11199  โ„•cn 12163  โ„คcz 12509  โ„+crp 12925   ยทe cxmu 13042  โ„*๐‘ cxrs 17397  .gcmg 18887  โ‹˜cinftm 32083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4872  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-1o 8418  df-er 8656  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-fin 8895  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-nn 12164  df-2 12226  df-3 12227  df-4 12228  df-5 12229  df-6 12230  df-7 12231  df-8 12232  df-9 12233  df-n0 12424  df-z 12510  df-dec 12629  df-uz 12774  df-rp 12926  df-xneg 13043  df-xadd 13044  df-xmul 13045  df-fz 13436  df-seq 13918  df-struct 17031  df-slot 17066  df-ndx 17078  df-base 17096  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-0g 17338  df-xrs 17399  df-plt 18234  df-minusg 18767  df-mulg 18888  df-inftm 32085
This theorem is referenced by:  xrnarchi  32091
  Copyright terms: Public domain W3C validator