Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pnfinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfinf 32797
Description: Plus infinity is an infinite for the completed real line, as any real number is infinitesimal compared to it. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
pnfinf (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž)

Proof of Theorem pnfinf
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpgt0 12983 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ๐ด)
2 nnz 12576 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
32adantl 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
4 rpxr 12980 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
54adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
6 xrsmulgzz 32646 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) = (๐‘› ยทe ๐ด))
73, 5, 6syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) = (๐‘› ยทe ๐ด))
83zred 12663 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
9 rpre 12979 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
109adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
11 rexmul 13247 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› ยทe ๐ด) = (๐‘› ยท ๐ด))
12 remulcl 11191 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
1311, 12eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› ยทe ๐ด) โˆˆ โ„)
148, 10, 13syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› ยทe ๐ด) โˆˆ โ„)
157, 14eqeltrd 2825 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) โˆˆ โ„)
16 ltpnf 13097 . . . 4 ((๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)
1715, 16syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)
1817ralrimiva 3138 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)
19 xrsex 21244 . . . 4 โ„*๐‘  โˆˆ V
20 pnfxr 11265 . . . 4 +โˆž โˆˆ โ„*
21 xrsbas 21245 . . . . 5 โ„* = (Baseโ€˜โ„*๐‘ )
22 xrs0 32643 . . . . 5 0 = (0gโ€˜โ„*๐‘ )
23 eqid 2724 . . . . 5 (.gโ€˜โ„*๐‘ ) = (.gโ€˜โ„*๐‘ )
24 xrslt 32644 . . . . 5 < = (ltโ€˜โ„*๐‘ )
2521, 22, 23, 24isinftm 32795 . . . 4 ((โ„*๐‘  โˆˆ V โˆง ๐ด โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž โ†” (0 < ๐ด โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)))
2619, 20, 25mp3an13 1448 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž โ†” (0 < ๐ด โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)))
274, 26syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž โ†” (0 < ๐ด โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜โ„*๐‘ )๐ด) < +โˆž)))
281, 18, 27mpbir2and 710 1 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด(โ‹˜โ€˜โ„*๐‘ )+โˆž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053  Vcvv 3466   class class class wbr 5138  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  โ„cr 11105  0cc0 11106   ยท cmul 11111  +โˆžcpnf 11242  โ„*cxr 11244   < clt 11245  โ„•cn 12209  โ„คcz 12555  โ„+crp 12971   ยทe cxmu 13088  โ„*๐‘ cxrs 17445  .gcmg 18985  โ‹˜cinftm 32790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-fz 13482  df-seq 13964  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-0g 17386  df-xrs 17447  df-plt 18285  df-minusg 18857  df-mulg 18986  df-inftm 32792
This theorem is referenced by:  xrnarchi  32798
  Copyright terms: Public domain W3C validator