Theorem pnfinf 30446

Description: Plus infinity is an infinite for the completed real line, as any real number is infinitesimal compared to it. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pnfinf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)

Proof of Theorem pnfinf

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgt0 12255	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
2		nnz 11858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
3	2	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
4		rpxr 12252	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)
5	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		xrsmulgzz 30335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) = (𝑛 ·e 𝐴))
7	3, 5, 6	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) = (𝑛 ·e 𝐴))
8	3	zred 11941	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
9		rpre 12251	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		rexmul 12518	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐴) = (𝑛 · 𝐴))
12		remulcl 10475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	11, 12	eqeltrd 2885	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐴) ∈ ℝ)
14	8, 10, 13	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 ·e 𝐴) ∈ ℝ)
15	7, 14	eqeltrd 2885	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) ∈ ℝ)
16		ltpnf 12369	. . . 4 ⊢ ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) ∈ ℝ → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
18	17	ralrimiva 3151	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
19		xrsex 20246	. . . 4 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V
20		pnfxr 10548	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
21		xrsbas 20247	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
22		xrs0 30332	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
23		eqid 2797	. . . . 5 ⊢ (.g‘ℝ*𝑠) = (.g‘ℝ*𝑠)
24		xrslt 30333	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘ℝ*𝑠)
25	21, 22, 23, 24	isinftm 30444	. . . 4 ⊢ ((ℝ*𝑠 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
26	19, 20, 25	mp3an13 1444	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
27	4, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
28	1, 18, 27	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107  Vcvv 3440   class class class wbr 4968  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  ℝcr 10389  0cc0 10390   · cmul 10395  +∞cpnf 10525  ℝ^*cxr 10527   < clt 10528  ℕcn 11492  ℤcz 11835  ℝ⁺crp 12243   ·_e cxmu 12360  ℝ^*_𝑠cxrs 16606  ._gcmg 17985  ⋘cinftm 30439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-fz 12747  df-seq 13224  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-0g 16548  df-xrs 16608  df-plt 17401  df-minusg 17869  df-mulg 17986  df-inftm 30441

This theorem is referenced by:  xrnarchi  30447