Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pnfinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfinf 33173
Description: Plus infinity is an infinite for the completed real line, as any real number is infinitesimal compared to it. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
pnfinf (𝐴 ∈ ℝ+𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)

Proof of Theorem pnfinf
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpgt0 13045 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
2 nnz 12632 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
32adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
4 rpxr 13042 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ*)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 xrsmulgzz 32994 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) = (𝑛 ·e 𝐴))
73, 5, 6syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) = (𝑛 ·e 𝐴))
83zred 12720 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
9 rpre 13041 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 rexmul 13310 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐴) = (𝑛 · 𝐴))
12 remulcl 11238 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℝ)
1311, 12eqeltrd 2839 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐴) ∈ ℝ)
148, 10, 13syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 ·e 𝐴) ∈ ℝ)
157, 14eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) ∈ ℝ)
16 ltpnf 13160 . . . 4 ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) ∈ ℝ → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
1715, 16syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
1817ralrimiva 3144 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
19 xrsex 21413 . . . 4 *𝑠 ∈ V
20 pnfxr 11313 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
21 xrsbas 21414 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
22 xrs0 32991 . . . . 5 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
23 eqid 2735 . . . . 5 (.g‘ℝ*𝑠) = (.g‘ℝ*𝑠)
24 xrslt 32992 . . . . 5 < = (lt‘ℝ*𝑠)
2521, 22, 23, 24isinftm 33171 . . . 4 ((ℝ*𝑠 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
2619, 20, 25mp3an13 1451 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
274, 26syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
281, 18, 27mpbir2and 713 1 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cn 12264  cz 12611  +crp 13032   ·e cxmu 13151  *𝑠cxrs 17547  .gcmg 19098  cinftm 33166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-fz 13545  df-seq 14040  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-xrs 17549  df-plt 18388  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-inftm 33168
This theorem is referenced by:  xrnarchi  33174
  Copyright terms: Public domain W3C validator