![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > pnfinf | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Plus infinity is an infinite for the completed real line, as any real number is infinitesimal compared to it. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
pnfinf | โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด(โโโ*๐ )+โ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | rpgt0 12986 | . 2 โข (๐ด โ โ+ โ 0 < ๐ด) | |
2 | nnz 12579 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โค) | |
3 | 2 | adantl 483 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ ๐ โ โค) |
4 | rpxr 12983 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ โ*) | |
5 | 4 | adantr 482 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ ๐ด โ โ*) |
6 | xrsmulgzz 32179 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โค โง ๐ด โ โ*) โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) = (๐ ยทe ๐ด)) | |
7 | 3, 5, 6 | syl2anc 585 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) = (๐ ยทe ๐ด)) |
8 | 3 | zred 12666 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ ๐ โ โ) |
9 | rpre 12982 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ โ) | |
10 | 9 | adantr 482 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ ๐ด โ โ) |
11 | rexmul 13250 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ ยทe ๐ด) = (๐ ยท ๐ด)) | |
12 | remulcl 11195 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ ยท ๐ด) โ โ) | |
13 | 11, 12 | eqeltrd 2834 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ ยทe ๐ด) โ โ) |
14 | 8, 10, 13 | syl2anc 585 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ (๐ ยทe ๐ด) โ โ) |
15 | 7, 14 | eqeltrd 2834 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) โ โ) |
16 | ltpnf 13100 | . . . 4 โข ((๐(.gโโ*๐ )๐ด) โ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ) | |
17 | 15, 16 | syl 17 | . . 3 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ) |
18 | 17 | ralrimiva 3147 | . 2 โข (๐ด โ โ+ โ โ๐ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ) |
19 | xrsex 20960 | . . . 4 โข โ*๐ โ V | |
20 | pnfxr 11268 | . . . 4 โข +โ โ โ* | |
21 | xrsbas 20961 | . . . . 5 โข โ* = (Baseโโ*๐ ) | |
22 | xrs0 32176 | . . . . 5 โข 0 = (0gโโ*๐ ) | |
23 | eqid 2733 | . . . . 5 โข (.gโโ*๐ ) = (.gโโ*๐ ) | |
24 | xrslt 32177 | . . . . 5 โข < = (ltโโ*๐ ) | |
25 | 21, 22, 23, 24 | isinftm 32327 | . . . 4 โข ((โ*๐ โ V โง ๐ด โ โ* โง +โ โ โ*) โ (๐ด(โโโ*๐ )+โ โ (0 < ๐ด โง โ๐ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ))) |
26 | 19, 20, 25 | mp3an13 1453 | . . 3 โข (๐ด โ โ* โ (๐ด(โโโ*๐ )+โ โ (0 < ๐ด โง โ๐ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ))) |
27 | 4, 26 | syl 17 | . 2 โข (๐ด โ โ+ โ (๐ด(โโโ*๐ )+โ โ (0 < ๐ด โง โ๐ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ))) |
28 | 1, 18, 27 | mpbir2and 712 | 1 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด(โโโ*๐ )+โ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwral 3062 Vcvv 3475 class class class wbr 5149 โcfv 6544 (class class class)co 7409 โcr 11109 0cc0 11110 ยท cmul 11115 +โcpnf 11245 โ*cxr 11247 < clt 11248 โcn 12212 โคcz 12558 โ+crp 12974 ยทe cxmu 13091 โ*๐ cxrs 17446 .gcmg 18950 โcinftm 32322 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-tp 4634 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7856 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-1o 8466 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-nn 12213 df-2 12275 df-3 12276 df-4 12277 df-5 12278 df-6 12279 df-7 12280 df-8 12281 df-9 12282 df-n0 12473 df-z 12559 df-dec 12678 df-uz 12823 df-rp 12975 df-xneg 13092 df-xadd 13093 df-xmul 13094 df-fz 13485 df-seq 13967 df-struct 17080 df-slot 17115 df-ndx 17127 df-base 17145 df-plusg 17210 df-mulr 17211 df-tset 17216 df-ple 17217 df-ds 17219 df-0g 17387 df-xrs 17448 df-plt 18283 df-minusg 18823 df-mulg 18951 df-inftm 32324 |
This theorem is referenced by: xrnarchi 32330 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |