![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > pnfinf | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Plus infinity is an infinite for the completed real line, as any real number is infinitesimal compared to it. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
pnfinf | โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด(โโโ*๐ )+โ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | rpgt0 13012 | . 2 โข (๐ด โ โ+ โ 0 < ๐ด) | |
2 | nnz 12603 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โค) | |
3 | 2 | adantl 481 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ ๐ โ โค) |
4 | rpxr 13009 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ โ*) | |
5 | 4 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ ๐ด โ โ*) |
6 | xrsmulgzz 32730 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โค โง ๐ด โ โ*) โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) = (๐ ยทe ๐ด)) | |
7 | 3, 5, 6 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) = (๐ ยทe ๐ด)) |
8 | 3 | zred 12690 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ ๐ โ โ) |
9 | rpre 13008 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ โ) | |
10 | 9 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ ๐ด โ โ) |
11 | rexmul 13276 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ ยทe ๐ด) = (๐ ยท ๐ด)) | |
12 | remulcl 11217 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ ยท ๐ด) โ โ) | |
13 | 11, 12 | eqeltrd 2828 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โ) โ (๐ ยทe ๐ด) โ โ) |
14 | 8, 10, 13 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ (๐ ยทe ๐ด) โ โ) |
15 | 7, 14 | eqeltrd 2828 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) โ โ) |
16 | ltpnf 13126 | . . . 4 โข ((๐(.gโโ*๐ )๐ด) โ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ) | |
17 | 15, 16 | syl 17 | . . 3 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ โ โ) โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ) |
18 | 17 | ralrimiva 3141 | . 2 โข (๐ด โ โ+ โ โ๐ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ) |
19 | xrsex 21303 | . . . 4 โข โ*๐ โ V | |
20 | pnfxr 11292 | . . . 4 โข +โ โ โ* | |
21 | xrsbas 21304 | . . . . 5 โข โ* = (Baseโโ*๐ ) | |
22 | xrs0 32727 | . . . . 5 โข 0 = (0gโโ*๐ ) | |
23 | eqid 2727 | . . . . 5 โข (.gโโ*๐ ) = (.gโโ*๐ ) | |
24 | xrslt 32728 | . . . . 5 โข < = (ltโโ*๐ ) | |
25 | 21, 22, 23, 24 | isinftm 32883 | . . . 4 โข ((โ*๐ โ V โง ๐ด โ โ* โง +โ โ โ*) โ (๐ด(โโโ*๐ )+โ โ (0 < ๐ด โง โ๐ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ))) |
26 | 19, 20, 25 | mp3an13 1449 | . . 3 โข (๐ด โ โ* โ (๐ด(โโโ*๐ )+โ โ (0 < ๐ด โง โ๐ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ))) |
27 | 4, 26 | syl 17 | . 2 โข (๐ด โ โ+ โ (๐ด(โโโ*๐ )+โ โ (0 < ๐ด โง โ๐ โ โ (๐(.gโโ*๐ )๐ด) < +โ))) |
28 | 1, 18, 27 | mpbir2and 712 | 1 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด(โโโ*๐ )+โ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 โwral 3056 Vcvv 3469 class class class wbr 5142 โcfv 6542 (class class class)co 7414 โcr 11131 0cc0 11132 ยท cmul 11137 +โcpnf 11269 โ*cxr 11271 < clt 11272 โcn 12236 โคcz 12582 โ+crp 13000 ยทe cxmu 13117 โ*๐ cxrs 17475 .gcmg 19016 โcinftm 32878 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-cnex 11188 ax-resscn 11189 ax-1cn 11190 ax-icn 11191 ax-addcl 11192 ax-addrcl 11193 ax-mulcl 11194 ax-mulrcl 11195 ax-mulcom 11196 ax-addass 11197 ax-mulass 11198 ax-distr 11199 ax-i2m1 11200 ax-1ne0 11201 ax-1rid 11202 ax-rnegex 11203 ax-rrecex 11204 ax-cnre 11205 ax-pre-lttri 11206 ax-pre-lttrn 11207 ax-pre-ltadd 11208 ax-pre-mulgt0 11209 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7865 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-pnf 11274 df-mnf 11275 df-xr 11276 df-ltxr 11277 df-le 11278 df-sub 11470 df-neg 11471 df-nn 12237 df-2 12299 df-3 12300 df-4 12301 df-5 12302 df-6 12303 df-7 12304 df-8 12305 df-9 12306 df-n0 12497 df-z 12583 df-dec 12702 df-uz 12847 df-rp 13001 df-xneg 13118 df-xadd 13119 df-xmul 13120 df-fz 13511 df-seq 13993 df-struct 17109 df-slot 17144 df-ndx 17156 df-base 17174 df-plusg 17239 df-mulr 17240 df-tset 17245 df-ple 17246 df-ds 17248 df-0g 17416 df-xrs 17477 df-plt 18315 df-minusg 18887 df-mulg 19017 df-inftm 32880 |
This theorem is referenced by: xrnarchi 32886 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |