Theorem xrstos 33000

Description: The extended real numbers form a toset. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrstos	⊢ ℝ*𝑠 ∈ Toset

Proof of Theorem xrstos

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsex 21325	. . 3 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V
2		xrsbas 17514	. . 3 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
3		xrsle 17512	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘ℝ*𝑠)
4		xrleid 13054	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ≤ 𝑥)
5		xrletri3 13057	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥)))
6	5	biimprd 248	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
7		xrletr 13061	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	isposi 18233	. 2 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ Poset
9		xrletri 13056	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
10	9	rgen2 3173	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)
11	2, 3	istos 18326	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Toset ↔ (ℝ*𝑠 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
12	8, 10, 11	mpbir2an 711	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ Toset

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   class class class wbr 5095  ℝ^*cxr 11154   ≤ cle 11156  ℝ^*_𝑠cxrs 17408  Posetcpo 18217  Tosetctos 18324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-fz 13412  df-struct 17062  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-xrs 17410  df-poset 18223  df-toset 18325

This theorem is referenced by:  xrsclat  33001  xrsp0  33002  xrsp1  33003