Theorem 257prm 43743

Description: 257 is a prime number (the fourth Fermat prime). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
257prm	⊢ ;;257 ∈ ℙ

Proof of Theorem 257prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11915	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		5nn0 11918	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12114	. . 3 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
4		7nn 11730	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12119	. 2 ⊢ ;;257 ∈ ℕ
6		8nn0 11921	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 11917	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		7nn0 11920	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
9		1nn0 11914	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		2lt8 11835	. . 3 ⊢ 2 < 8
11		5lt10 12234	. . 3 ⊢ 5 < ;10
12		7lt10 12232	. . 3 ⊢ 7 < ;10
13	1, 6, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12	3decltc 12132	. 2 ⊢ ;;257 < ;;841
14		5nn 11724	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
15	1, 14	decnncl 12119	. . 3 ⊢ ;25 ∈ ℕ
16		1lt10 12238	. . 3 ⊢ 1 < ;10
17	15, 8, 9, 16	declti 12137	. 2 ⊢ 1 < ;;257
18		3nn0 11916	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
19		3t2e6 11804	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
20		df-7 11706	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
21	3, 18, 19, 20	dec2dvds 16399	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;257
22		3nn 11717	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
23		2nn 11711	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
24		3cn 11719	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
25	24	mulid1i 10645	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
26	25	oveq1i 7166	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
27		3p2e5 11789	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
28	26, 27	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + 2) = 5
29		2lt3 11810	. . . 4 ⊢ 2 < 3
30	22, 9, 23, 28, 29	ndvdsi 15763	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ 5
31	1, 2, 8	3dvds2dec 15682	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;257 ↔ 3 ∥ ((2 + 5) + 7))
32		5cn 11726	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℂ
33		2cn 11713	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		5p2e7 11794	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 2) = 7
35	32, 33, 34	addcomli 10832	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 5) = 7
36	35	oveq1i 7166	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 5) + 7) = (7 + 7)
37		7p7e14 12178	. . . . . 6 ⊢ (7 + 7) = ;14
38	36, 37	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ((2 + 5) + 7) = ;14
39	38	breq2i 5074	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((2 + 5) + 7) ↔ 3 ∥ ;14)
40	9, 7	3dvdsdec 15681	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;14 ↔ 3 ∥ (1 + 4))
41		4cn 11723	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		ax-1cn 10595	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
43		4p1e5 11784	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 1) = 5
44	41, 42, 43	addcomli 10832	. . . . . 6 ⊢ (1 + 4) = 5
45	44	breq2i 5074	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 4) ↔ 3 ∥ 5)
46	40, 45	bitri 277	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;14 ↔ 3 ∥ 5)
47	31, 39, 46	3bitri 299	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;257 ↔ 3 ∥ 5)
48	30, 47	mtbir 325	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;257
49		2lt5 11817	. . 3 ⊢ 2 < 5
50	3, 23, 49, 34	dec5dvds2 16401	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;257
51		6nn0 11919	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
52	18, 51	deccl 12114	. . 3 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
53		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;36 = ;36
54		7t3e21 12209	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
55	1, 9, 7, 54, 44	decaddi 12159	. . . . 5 ⊢ ((7 · 3) + 4) = ;25
56		7t6e42 12212	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
57	8, 18, 51, 53, 1, 7, 55, 56	decmul2c 12165	. . . 4 ⊢ (7 · ;36) = ;;252
58	3, 1, 2, 57, 35	decaddi 12159	. . 3 ⊢ ((7 · ;36) + 5) = ;;257
59		5lt7 11825	. . 3 ⊢ 5 < 7
60	4, 52, 14, 58, 59	ndvdsi 15763	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;257
61		1nn 11649	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
62	9, 61	decnncl 12119	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
63	1, 18	deccl 12114	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
64		4nn 11721	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
65	9, 9	deccl 12114	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
66		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
67	65	nn0cni 11910	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ ℂ
68	67, 33	mulcomi 10649	. . . . . . 7 ⊢ (;11 · 2) = (2 · ;11)
69	68	oveq1i 7166	. . . . . 6 ⊢ ((;11 · 2) + 3) = ((2 · ;11) + 3)
70	1	11multnc 12167	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ;11) = ;22
71	24, 33, 27	addcomli 10832	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 3) = 5
72	1, 1, 18, 70, 71	decaddi 12159	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;11) + 3) = ;25
73	69, 72	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 2) + 3) = ;25
74	18	11multnc 12167	. . . . . 6 ⊢ (3 · ;11) = ;33
75	24, 67, 74	mulcomli 10650	. . . . 5 ⊢ (;11 · 3) = ;33
76	65, 1, 18, 66, 18, 18, 73, 75	decmul2c 12165	. . . 4 ⊢ (;11 · ;23) = ;;253
77		4p3e7 11792	. . . . 5 ⊢ (4 + 3) = 7
78	41, 24, 77	addcomli 10832	. . . 4 ⊢ (3 + 4) = 7
79	3, 18, 7, 76, 78	decaddi 12159	. . 3 ⊢ ((;11 · ;23) + 4) = ;;257
80		4lt10 12235	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
81	61, 9, 7, 80	declti 12137	. . 3 ⊢ 4 < ;11
82	62, 63, 64, 79, 81	ndvdsi 15763	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;257
83	9, 22	decnncl 12119	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
84		9nn0 11922	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
85	9, 84	deccl 12114	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
86		10nn 12115	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
87	9, 18	deccl 12114	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
88	87	nn0cni 11910	. . . . . 6 ⊢ ;13 ∈ ℂ
89	85	nn0cni 11910	. . . . . 6 ⊢ ;19 ∈ ℂ
90	88, 89	mulcomi 10649	. . . . 5 ⊢ (;13 · ;19) = (;19 · ;13)
91	90	oveq1i 7166	. . . 4 ⊢ ((;13 · ;19) + ;10) = ((;19 · ;13) + ;10)
92		0nn0 11913	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
93		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;19 = ;19
94		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;10 = ;10
95	88	mulid2i 10646	. . . . . 6 ⊢ (1 · ;13) = ;13
96		1p1e2 11763	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
97		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 = ;11
98	9, 9, 96, 97	decsuc 12130	. . . . . . 7 ⊢ (;11 + 1) = ;12
99	67, 42, 98	addcomli 10832	. . . . . 6 ⊢ (1 + ;11) = ;12
100	9, 18, 9, 1, 95, 99, 96, 27	decadd 12153	. . . . 5 ⊢ ((1 · ;13) + (1 + ;11)) = ;25
101		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 = ;13
102		9cn 11738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
103	102	mulid1i 10645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 · 1) = 9
104	103	oveq1i 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · 1) + 2) = (9 + 2)
105		9p2e11 12186	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 2) = ;11
106	104, 105	eqtri 2844	. . . . . . . 8 ⊢ ((9 · 1) + 2) = ;11
107		9t3e27 12222	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 3) = ;27
108	84, 9, 18, 101, 8, 1, 106, 107	decmul2c 12165	. . . . . . 7 ⊢ (9 · ;13) = ;;117
109	108	oveq1i 7166	. . . . . 6 ⊢ ((9 · ;13) + 0) = (;;117 + 0)
110	65, 8	deccl 12114	. . . . . . . 8 ⊢ ;;117 ∈ ℕ0
111	110	nn0cni 11910	. . . . . . 7 ⊢ ;;117 ∈ ℂ
112	111	addid1i 10827	. . . . . 6 ⊢ (;;117 + 0) = ;;117
113	109, 112	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ((9 · ;13) + 0) = ;;117
114	9, 84, 9, 92, 93, 94, 87, 8, 65, 100, 113	decmac 12151	. . . 4 ⊢ ((;19 · ;13) + ;10) = ;;257
115	91, 114	eqtri 2844	. . 3 ⊢ ((;13 · ;19) + ;10) = ;;257
116		3pos 11743	. . . 4 ⊢ 0 < 3
117	9, 92, 22, 116	declt 12127	. . 3 ⊢ ;10 < ;13
118	83, 85, 86, 115, 117	ndvdsi 15763	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;257
119	9, 4	decnncl 12119	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
120	9, 2	deccl 12114	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
121	9, 8	deccl 12114	. . . . 5 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
122		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;15 = ;15
123	121	nn0cni 11910	. . . . . . 7 ⊢ ;17 ∈ ℂ
124	123	mulid1i 10645	. . . . . 6 ⊢ (;17 · 1) = ;17
125		8cn 11735	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
126		7cn 11732	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
127		8p7e15 12184	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 7) = ;15
128	125, 126, 127	addcomli 10832	. . . . . 6 ⊢ (7 + 8) = ;15
129	9, 8, 6, 124, 96, 2, 128	decaddci 12160	. . . . 5 ⊢ ((;17 · 1) + 8) = ;25
130		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ;17 = ;17
131	32	mulid2i 10646	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 5) = 5
132	131	oveq1i 7166	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 5) + 3) = (5 + 3)
133		5p3e8 11795	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 3) = 8
134	132, 133	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 5) + 3) = 8
135		7t5e35 12211	. . . . . 6 ⊢ (7 · 5) = ;35
136	2, 9, 8, 130, 2, 18, 134, 135	decmul1c 12164	. . . . 5 ⊢ (;17 · 5) = ;85
137	121, 9, 2, 122, 2, 6, 129, 136	decmul2c 12165	. . . 4 ⊢ (;17 · ;15) = ;;255
138	3, 2, 1, 137, 34	decaddi 12159	. . 3 ⊢ ((;17 · ;15) + 2) = ;;257
139		2lt10 12237	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
140	61, 8, 1, 139	declti 12137	. . 3 ⊢ 2 < ;17
141	119, 120, 23, 138, 140	ndvdsi 15763	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;257
142		9nn 11736	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
143	9, 142	decnncl 12119	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
144		9pos 11751	. . . 4 ⊢ 0 < 9
145	9, 92, 142, 144	declt 12127	. . 3 ⊢ ;10 < ;19
146	143, 87, 86, 114, 145	ndvdsi 15763	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;257
147	1, 22	decnncl 12119	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
148	65, 1, 18, 66, 18, 18, 72, 74	decmul1c 12164	. . . 4 ⊢ (;23 · ;11) = ;;253
149	3, 18, 7, 148, 78	decaddi 12159	. . 3 ⊢ ((;23 · ;11) + 4) = ;;257
150	23, 18, 7, 80	declti 12137	. . 3 ⊢ 4 < ;23
151	147, 65, 64, 149, 150	ndvdsi 15763	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;257
152	5, 13, 17, 21, 48, 50, 60, 82, 118, 141, 146, 151	prmlem2 16453	1 ⊢ ;;257 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  2c2 11693  3c3 11694  4c4 11695  5c5 11696  6c6 11697  7c7 11698  8c8 11699  9c9 11700  ;cdc 12099   ∥ cdvds 15607  ℙcprime 16015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-prm 16016

This theorem is referenced by:  fmtno3prm  43744