Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  257prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 257prm 40772
Description: 257 is a prime number (the fourth Fermat prime). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
257prm 257 ∈ ℙ

Proof of Theorem 257prm
StepHypRef Expression
1 2nn0 11253 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 5nn0 11256 . . . 4 5 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11456 . . 3 25 ∈ ℕ0
4 7nn 11134 . . 3 7 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11462 . 2 257 ∈ ℕ
6 8nn0 11259 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11255 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 7nn0 11258 . . 3 7 ∈ ℕ0
9 1nn0 11252 . . 3 1 ∈ ℕ0
10 2lt8 11164 . . 3 2 < 8
11 5lt10 11621 . . 3 5 < 10
12 7lt10 11619 . . 3 7 < 10
131, 6, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 123decltc 11482 . 2 257 < 841
14 5nn 11132 . . . 4 5 ∈ ℕ
151, 14decnncl 11462 . . 3 25 ∈ ℕ
16 1lt10 11625 . . 3 1 < 10
1715, 8, 9, 16declti 11490 . 2 1 < 257
18 3nn0 11254 . . 3 3 ∈ ℕ0
19 3t2e6 11123 . . 3 (3 · 2) = 6
20 df-7 11028 . . 3 7 = (6 + 1)
213, 18, 19, 20dec2dvds 15691 . 2 ¬ 2 ∥ 257
22 3nn 11130 . . . 4 3 ∈ ℕ
23 2nn 11129 . . . 4 2 ∈ ℕ
24 3cn 11039 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2524mulid1i 9986 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
2625oveq1i 6614 . . . . 5 ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
27 3p2e5 11104 . . . . 5 (3 + 2) = 5
2826, 27eqtri 2643 . . . 4 ((3 · 1) + 2) = 5
29 2lt3 11139 . . . 4 2 < 3
3022, 9, 23, 28, 29ndvdsi 15060 . . 3 ¬ 3 ∥ 5
311, 2, 83dvds2dec 14980 . . . 4 (3 ∥ 257 ↔ 3 ∥ ((2 + 5) + 7))
32 5cn 11044 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
33 2cn 11035 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
34 5p2e7 11109 . . . . . . . 8 (5 + 2) = 7
3532, 33, 34addcomli 10172 . . . . . . 7 (2 + 5) = 7
3635oveq1i 6614 . . . . . 6 ((2 + 5) + 7) = (7 + 7)
37 7p7e14 11553 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
3836, 37eqtri 2643 . . . . 5 ((2 + 5) + 7) = 14
3938breq2i 4621 . . . 4 (3 ∥ ((2 + 5) + 7) ↔ 3 ∥ 14)
409, 73dvdsdec 14978 . . . . 5 (3 ∥ 14 ↔ 3 ∥ (1 + 4))
41 4cn 11042 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
42 ax-1cn 9938 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
43 4p1e5 11098 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
4441, 42, 43addcomli 10172 . . . . . 6 (1 + 4) = 5
4544breq2i 4621 . . . . 5 (3 ∥ (1 + 4) ↔ 3 ∥ 5)
4640, 45bitri 264 . . . 4 (3 ∥ 14 ↔ 3 ∥ 5)
4731, 39, 463bitri 286 . . 3 (3 ∥ 257 ↔ 3 ∥ 5)
4830, 47mtbir 313 . 2 ¬ 3 ∥ 257
49 2lt5 11146 . . 3 2 < 5
503, 23, 49, 34dec5dvds2 15693 . 2 ¬ 5 ∥ 257
51 6nn0 11257 . . . 4 6 ∈ ℕ0
5218, 51deccl 11456 . . 3 36 ∈ ℕ0
53 eqid 2621 . . . . 5 36 = 36
54 7t3e21 11593 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
551, 9, 7, 54, 44decaddi 11523 . . . . 5 ((7 · 3) + 4) = 25
56 7t6e42 11596 . . . . 5 (7 · 6) = 42
578, 18, 51, 53, 1, 7, 55, 56decmul2c 11533 . . . 4 (7 · 36) = 252
583, 1, 2, 57, 35decaddi 11523 . . 3 ((7 · 36) + 5) = 257
59 5lt7 11154 . . 3 5 < 7
604, 52, 14, 58, 59ndvdsi 15060 . 2 ¬ 7 ∥ 257
61 1nn 10975 . . . 4 1 ∈ ℕ
629, 61decnncl 11462 . . 3 11 ∈ ℕ
631, 18deccl 11456 . . 3 23 ∈ ℕ0
64 4nn 11131 . . 3 4 ∈ ℕ
659, 9deccl 11456 . . . . 5 11 ∈ ℕ0
66 eqid 2621 . . . . 5 23 = 23
6765nn0cni 11248 . . . . . . . 8 11 ∈ ℂ
6867, 33mulcomi 9990 . . . . . . 7 (11 · 2) = (2 · 11)
6968oveq1i 6614 . . . . . 6 ((11 · 2) + 3) = ((2 · 11) + 3)
70111multnc 11536 . . . . . . 7 (2 · 11) = 22
7124, 33, 27addcomli 10172 . . . . . . 7 (2 + 3) = 5
721, 1, 18, 70, 71decaddi 11523 . . . . . 6 ((2 · 11) + 3) = 25
7369, 72eqtri 2643 . . . . 5 ((11 · 2) + 3) = 25
741811multnc 11536 . . . . . 6 (3 · 11) = 33
7524, 67, 74mulcomli 9991 . . . . 5 (11 · 3) = 33
7665, 1, 18, 66, 18, 18, 73, 75decmul2c 11533 . . . 4 (11 · 23) = 253
77 4p3e7 11107 . . . . 5 (4 + 3) = 7
7841, 24, 77addcomli 10172 . . . 4 (3 + 4) = 7
793, 18, 7, 76, 78decaddi 11523 . . 3 ((11 · 23) + 4) = 257
80 4lt10 11622 . . . 4 4 < 10
8161, 9, 7, 80declti 11490 . . 3 4 < 11
8262, 63, 64, 79, 81ndvdsi 15060 . 2 ¬ 11 ∥ 257
839, 22decnncl 11462 . . 3 13 ∈ ℕ
84 9nn0 11260 . . . 4 9 ∈ ℕ0
859, 84deccl 11456 . . 3 19 ∈ ℕ0
86 10nn 11458 . . 3 10 ∈ ℕ
879, 18deccl 11456 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
8887nn0cni 11248 . . . . . 6 13 ∈ ℂ
8985nn0cni 11248 . . . . . 6 19 ∈ ℂ
9088, 89mulcomi 9990 . . . . 5 (13 · 19) = (19 · 13)
9190oveq1i 6614 . . . 4 ((13 · 19) + 10) = ((19 · 13) + 10)
92 0nn0 11251 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
93 eqid 2621 . . . . 5 19 = 19
94 eqid 2621 . . . . 5 10 = 10
9588mulid2i 9987 . . . . . 6 (1 · 13) = 13
96 1p1e2 11078 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
97 eqid 2621 . . . . . . . 8 11 = 11
989, 9, 96, 97decsuc 11479 . . . . . . 7 (11 + 1) = 12
9967, 42, 98addcomli 10172 . . . . . 6 (1 + 11) = 12
1009, 18, 9, 1, 95, 99, 96, 27decadd 11514 . . . . 5 ((1 · 13) + (1 + 11)) = 25
101 eqid 2621 . . . . . . . 8 13 = 13
102 9cn 11052 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
103102mulid1i 9986 . . . . . . . . . 10 (9 · 1) = 9
104103oveq1i 6614 . . . . . . . . 9 ((9 · 1) + 2) = (9 + 2)
105 9p2e11 11563 . . . . . . . . 9 (9 + 2) = 11
106104, 105eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((9 · 1) + 2) = 11
107 9t3e27 11608 . . . . . . . 8 (9 · 3) = 27
10884, 9, 18, 101, 8, 1, 106, 107decmul2c 11533 . . . . . . 7 (9 · 13) = 117
109108oveq1i 6614 . . . . . 6 ((9 · 13) + 0) = (117 + 0)
11065, 8deccl 11456 . . . . . . . 8 117 ∈ ℕ0
111110nn0cni 11248 . . . . . . 7 117 ∈ ℂ
112111addid1i 10167 . . . . . 6 (117 + 0) = 117
113109, 112eqtri 2643 . . . . 5 ((9 · 13) + 0) = 117
1149, 84, 9, 92, 93, 94, 87, 8, 65, 100, 113decmac 11510 . . . 4 ((19 · 13) + 10) = 257
11591, 114eqtri 2643 . . 3 ((13 · 19) + 10) = 257
116 3pos 11058 . . . 4 0 < 3
1179, 92, 22, 116declt 11474 . . 3 10 < 13
11883, 85, 86, 115, 117ndvdsi 15060 . 2 ¬ 13 ∥ 257
1199, 4decnncl 11462 . . 3 17 ∈ ℕ
1209, 2deccl 11456 . . 3 15 ∈ ℕ0
1219, 8deccl 11456 . . . . 5 17 ∈ ℕ0
122 eqid 2621 . . . . 5 15 = 15
123121nn0cni 11248 . . . . . . 7 17 ∈ ℂ
124123mulid1i 9986 . . . . . 6 (17 · 1) = 17
125 8cn 11050 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
126 7cn 11048 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
127 8p7e15 11561 . . . . . . 7 (8 + 7) = 15
128125, 126, 127addcomli 10172 . . . . . 6 (7 + 8) = 15
1299, 8, 6, 124, 96, 2, 128decaddci 11524 . . . . 5 ((17 · 1) + 8) = 25
130 eqid 2621 . . . . . 6 17 = 17
13132mulid2i 9987 . . . . . . . 8 (1 · 5) = 5
132131oveq1i 6614 . . . . . . 7 ((1 · 5) + 3) = (5 + 3)
133 5p3e8 11110 . . . . . . 7 (5 + 3) = 8
134132, 133eqtri 2643 . . . . . 6 ((1 · 5) + 3) = 8
135 7t5e35 11595 . . . . . 6 (7 · 5) = 35
1362, 9, 8, 130, 2, 18, 134, 135decmul1c 11531 . . . . 5 (17 · 5) = 85
137121, 9, 2, 122, 2, 6, 129, 136decmul2c 11533 . . . 4 (17 · 15) = 255
1383, 2, 1, 137, 34decaddi 11523 . . 3 ((17 · 15) + 2) = 257
139 2lt10 11624 . . . 4 2 < 10
14061, 8, 1, 139declti 11490 . . 3 2 < 17
141119, 120, 23, 138, 140ndvdsi 15060 . 2 ¬ 17 ∥ 257
142 9nn 11136 . . . 4 9 ∈ ℕ
1439, 142decnncl 11462 . . 3 19 ∈ ℕ
144 9pos 11066 . . . 4 0 < 9
1459, 92, 142, 144declt 11474 . . 3 10 < 19
146143, 87, 86, 114, 145ndvdsi 15060 . 2 ¬ 19 ∥ 257
1471, 22decnncl 11462 . . 3 23 ∈ ℕ
14865, 1, 18, 66, 18, 18, 72, 74decmul1c 11531 . . . 4 (23 · 11) = 253
1493, 18, 7, 148, 78decaddi 11523 . . 3 ((23 · 11) + 4) = 257
15023, 18, 7, 80declti 11490 . . 3 4 < 23
151147, 65, 64, 149, 150ndvdsi 15060 . 2 ¬ 23 ∥ 257
1525, 13, 17, 21, 48, 50, 60, 82, 118, 141, 146, 151prmlem2 15751 1 257 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  5c5 11017  6c6 11018  7c7 11019  8c8 11020  9c9 11021  cdc 11437  cdvds 14907  cprime 15309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-prm 15310
This theorem is referenced by:  fmtno3prm  40773
  Copyright terms: Public domain W3C validator