Theorem ex-prmo 28238

Description: Example for df-prmo 16368: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12115	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 16375	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 16447	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4477	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2844	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 12195	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6673	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 11736	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 16375	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 16446	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4477	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2844	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 11772	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6673	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 11733	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 16375	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 16445	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4477	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 11771	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6673	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 11730	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 16375	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 16444	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4474	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 11920	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 11916	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 11913	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 11770	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6673	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 16463	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 11732	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 11719	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 12209	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 10650	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 10829	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 40, 41	decmul1 12163	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2848	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2848	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2848	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2848	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ifcif 4467  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542   − cmin 10870  ℕcn 11638  2c2 11693  3c3 11694  6c6 11697  7c7 11698  8c8 11699  9c9 11700  ;cdc 12099  ℙcprime 16015  #_pcprmo 16367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-prod 15260  df-dvds 15608  df-prm 16016  df-prmo 16368

This theorem is referenced by: (None)