Theorem ex-prmo 27170

Description: Example for df-prmo 15660: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 11458	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 15667	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 15744	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4068	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2643	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 11574	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6151	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 11136	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 15667	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 15743	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4068	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2643	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 11087	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6151	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 11135	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 15667	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 15742	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4068	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2643	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 11086	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6151	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 11134	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 15667	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 15741	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4065	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 11258	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 11254	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 11251	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 11085	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6151	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 15761	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2643	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 11048	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 11039	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 11593	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 9991	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 10169	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 32, 40, 41	decmul1 11529	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2647	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2647	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2647	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2647	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ifcif 4058  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885   − cmin 10210  ℕcn 10964  2c2 11014  3c3 11015  6c6 11018  7c7 11019  8c8 11020  9c9 11021  ;cdc 11437  ℙcprime 15309  #_pcprmo 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-prod 14561  df-dvds 14908  df-prm 15310  df-prmo 15660

This theorem is referenced by: (None)