Theorem ex-prmo 27627

Description: Example for df-prmo 15938: (#_p‘10) = 2 · 3 · 5 · 7. (Contributed by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-prmo	⊢ (#p‘;10) = ;;210

Proof of Theorem ex-prmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 11706	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		prmonn2 15945	. . . 4 ⊢ (;10 ∈ ℕ → (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘;10) = if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1)))
4		10nprm 16022	. . . 4 ⊢ ¬ ;10 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4240	. . 3 ⊢ if(;10 ∈ ℙ, ((#p‘(;10 − 1)) · ;10), (#p‘(;10 − 1))) = (#p‘(;10 − 1))
6	3, 5	eqtri 2782	. 2 ⊢ (#p‘;10) = (#p‘(;10 − 1))
7		10m1e9 11822	. . 3 ⊢ (;10 − 1) = 9
8	7	fveq2i 6355	. 2 ⊢ (#p‘(;10 − 1)) = (#p‘9)
9		9nn 11384	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
10		prmonn2 15945	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ → (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#p‘9) = if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1)))
12		9nprm 16021	. . . . 5 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
13	12	iffalsei 4240	. . . 4 ⊢ if(9 ∈ ℙ, ((#p‘(9 − 1)) · 9), (#p‘(9 − 1))) = (#p‘(9 − 1))
14	11, 13	eqtri 2782	. . 3 ⊢ (#p‘9) = (#p‘(9 − 1))
15		9m1e8 11335	. . . 4 ⊢ (9 − 1) = 8
16	15	fveq2i 6355	. . 3 ⊢ (#p‘(9 − 1)) = (#p‘8)
17		8nn 11383	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
18		prmonn2 15945	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘8) = if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1)))
20		8nprm 16020	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ ℙ
21	20	iffalsei 4240	. . . . 5 ⊢ if(8 ∈ ℙ, ((#p‘(8 − 1)) · 8), (#p‘(8 − 1))) = (#p‘(8 − 1))
22	19, 21	eqtri 2782	. . . 4 ⊢ (#p‘8) = (#p‘(8 − 1))
23		8m1e7 11334	. . . . 5 ⊢ (8 − 1) = 7
24	23	fveq2i 6355	. . . 4 ⊢ (#p‘(8 − 1)) = (#p‘7)
25		7nn 11382	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
26		prmonn2 15945	. . . . . 6 ⊢ (7 ∈ ℕ → (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#p‘7) = if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1)))
28		7prm 16019	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
29	28	iftruei 4237	. . . . 5 ⊢ if(7 ∈ ℙ, ((#p‘(7 − 1)) · 7), (#p‘(7 − 1))) = ((#p‘(7 − 1)) · 7)
30		7nn0 11506	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31		3nn0 11502	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32		0nn0 11499	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		7m1e6 11333	. . . . . . . 8 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	fveq2i 6355	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = (#p‘6)
35		prmo6 16039	. . . . . . 7 ⊢ (#p‘6) = ;30
36	34, 35	eqtri 2782	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(7 − 1)) = ;30
37		7cn 11296	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
38		3cn 11287	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39		7t3e21 11841	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
40	37, 38, 39	mulcomli 10239	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
41	37	mul02i 10417	. . . . . 6 ⊢ (0 · 7) = 0
42	30, 31, 32, 36, 32, 40, 41	decmul1 11777	. . . . 5 ⊢ ((#p‘(7 − 1)) · 7) = ;;210
43	27, 29, 42	3eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (#p‘7) = ;;210
44	22, 24, 43	3eqtri 2786	. . 3 ⊢ (#p‘8) = ;;210
45	14, 16, 44	3eqtri 2786	. 2 ⊢ (#p‘9) = ;;210
46	6, 8, 45	3eqtri 2786	1 ⊢ (#p‘;10) = ;;210

Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ifcif 4230  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133   − cmin 10458  ℕcn 11212  2c2 11262  3c3 11263  6c6 11266  7c7 11267  8c8 11268  9c9 11269  ;cdc 11685  ℙcprime 15587  #_pcprmo 15937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-prod 14835  df-dvds 15183  df-prm 15588  df-prmo 15938

This theorem is referenced by: (None)