MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2exp8 15720
Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp8 (2↑8) = 256

Proof of Theorem 2exp8
StepHypRef Expression
1 2nn0 11253 . 2 2 ∈ ℕ0
2 4nn0 11255 . 2 4 ∈ ℕ0
32nn0cni 11248 . . 3 4 ∈ ℂ
4 2cn 11035 . . 3 2 ∈ ℂ
5 4t2e8 11125 . . 3 (4 · 2) = 8
63, 4, 5mulcomli 9991 . 2 (2 · 4) = 8
7 2exp4 15718 . 2 (2↑4) = 16
8 1nn0 11252 . . . 4 1 ∈ ℕ0
9 6nn0 11257 . . . 4 6 ∈ ℕ0
108, 9deccl 11456 . . 3 16 ∈ ℕ0
11 eqid 2621 . . 3 16 = 16
12 9nn0 11260 . . 3 9 ∈ ℕ0
1310nn0cni 11248 . . . . 5 16 ∈ ℂ
1413mulid1i 9986 . . . 4 (16 · 1) = 16
15 1p1e2 11078 . . . 4 (1 + 1) = 2
16 5nn0 11256 . . . 4 5 ∈ ℕ0
17 9cn 11052 . . . . 5 9 ∈ ℂ
18 6cn 11046 . . . . 5 6 ∈ ℂ
19 9p6e15 11568 . . . . 5 (9 + 6) = 15
2017, 18, 19addcomli 10172 . . . 4 (6 + 9) = 15
218, 9, 12, 14, 15, 16, 20decaddci 11524 . . 3 ((16 · 1) + 9) = 25
22 3nn0 11254 . . . 4 3 ∈ ℕ0
2318mulid2i 9987 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
2423oveq1i 6614 . . . . 5 ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25 6p3e9 11114 . . . . 5 (6 + 3) = 9
2624, 25eqtri 2643 . . . 4 ((1 · 6) + 3) = 9
27 6t6e36 11590 . . . 4 (6 · 6) = 36
289, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27decmul1c 11531 . . 3 (16 · 6) = 96
2910, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28decmul2c 11533 . 2 (16 · 16) = 256
301, 2, 6, 7, 29numexp2x 15707 1 (2↑8) = 256
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  (class class class)co 6604  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  5c5 11017  6c6 11018  8c8 11020  9c9 11021  cdc 11437  cexp 12800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-seq 12742  df-exp 12801
This theorem is referenced by:  2exp16  15721  2503lem1  15768  quart1lem  24482  quart1  24483  fmtno3  40759  fmtno4sqrt  40779  2exp11  40813
  Copyright terms: Public domain W3C validator