Theorem elicc01 12855

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10643	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 10641	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 12803	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   ≤ cle 10676  [,]cicc 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-icc 12746

This theorem is referenced by:  0elunit  12856  1elunit  12857  divelunit  12881  lincmb01cmp  12882  iccf1o  12883  rpnnen2lem12  15578  blcvx  23406  iirev  23533  iihalf2  23537  elii2  23540  iimulcl  23541  iccpnfhmeo  23549  xrhmeo  23550  lebnumii  23570  htpycc  23584  pcocn  23621  pcohtpylem  23623  pcopt  23626  pcopt2  23627  pcoass  23628  pcorevlem  23630  vitalilem2  24210  abelth2  25030  chordthmlem4  25413  leibpi  25520  jensenlem2  25565  lgamgulmlem2  25607  ttgcontlem1  26671  brbtwn2  26691  ax5seglem1  26714  ax5seglem2  26715  ax5seglem3  26717  ax5seglem5  26719  ax5seglem6  26720  ax5seglem9  26723  ax5seg  26724  axbtwnid  26725  axpaschlem  26726  axpasch  26727  axcontlem2  26751  axcontlem4  26753  axcontlem7  26756  stge0  30001  stle1  30002  strlem3a  30029  elunitrn  31140  elunitge0  31142  unitdivcld  31144  xrge0iifiso  31178  xrge0iifhom  31180  resconn  32493  snmlff  32576  poimirlem29  34936  poimirlem30  34937  poimirlem31  34938  poimirlem32  34939