MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcontlem7 25568
Description: Lemma for axcont 25574. Given two points in 𝐷, one preceeds the other iff its scaling constant is less than the other point's. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem7.1 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem7.2 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
Assertion
Ref Expression
axcontlem7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑃𝐷𝑄𝐷)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐷,𝑥   𝑖,𝐹,𝑡   𝑖,𝑝,𝑥,𝑁,𝑡   𝑃,𝑖,𝑡,𝑥   𝑄,𝑖,𝑡,𝑥   𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥   𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑝)   𝑃(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝐹(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem axcontlem7
StepHypRef Expression
1 axcontlem7.1 . . . . . 6 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
2 ssrab2 3649 . . . . . 6 {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ⊆ (𝔼‘𝑁)
31, 2eqsstri 3597 . . . . 5 𝐷 ⊆ (𝔼‘𝑁)
43sseli 3563 . . . 4 (𝑃𝐷𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
54ad2antrl 759 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑃𝐷𝑄𝐷)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
6 simpll2 1093 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑃𝐷𝑄𝐷)) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
73sseli 3563 . . . 4 (𝑄𝐷𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
87ad2antll 760 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑃𝐷𝑄𝐷)) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
9 brbtwn 25497 . . 3 ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖)))))
105, 6, 8, 9syl3anc 1317 . 2 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑃𝐷𝑄𝐷)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖)))))
11 axcontlem7.2 . . . . 5 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
121, 11axcontlem6 25567 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))))
131, 11axcontlem6 25567 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑄𝐷) → ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))
1412, 13anim12dan 877 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑃𝐷𝑄𝐷)) → (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))) ∧ ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
15 an4 860 . . . . 5 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))) ∧ ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
16 r19.26 3045 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))
1716anbi2i 725 . . . . 5 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
1815, 17bitr4i 265 . . . 4 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))) ∧ ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
19 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) → (𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))))
20 oveq2 6535 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))) → (𝑡 · (𝑄𝑖)) = (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))
2120oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))) → (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
2219, 21eqeqan12d 2625 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) → ((𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))))
2322ralimi 2935 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))))
24 ralbi 3049 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))))
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))))
2625rexbidv 3033 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))))
27 simpll2 1093 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
28 fveecn 25500 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍𝑖) ∈ ℂ)
2927, 28sylan 486 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍𝑖) ∈ ℂ)
30 simpll3 1094 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
31 fveecn 25500 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈𝑖) ∈ ℂ)
3230, 31sylan 486 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈𝑖) ∈ ℂ)
33 0re 9896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
34 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
3533, 34elicc2i 12066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
3635simp1bi 1068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
3736recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
3837ad2antll 760 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑡 ∈ ℂ)
3938adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℂ)
40 elrege0 12105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑃)))
4140simplbi 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
4241recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹𝑃) ∈ ℂ)
4342adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹𝑃) ∈ ℂ)
4443ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹𝑃) ∈ ℂ)
4544adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹𝑃) ∈ ℂ)
46 elrege0 12105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑄)))
4746simplbi 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹𝑄) ∈ ℝ)
4847recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹𝑄) ∈ ℂ)
4948adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹𝑄) ∈ ℂ)
5049ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹𝑄) ∈ ℂ)
5150adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹𝑄) ∈ ℂ)
52 ax-1cn 9850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
53 simpr1 1059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → 𝑡 ∈ ℂ)
54 simpr3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝐹𝑄) ∈ ℂ)
5553, 54mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (𝐹𝑄)) ∈ ℂ)
56 subcl 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑡 · (𝐹𝑄)) ∈ ℂ) → (1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) ∈ ℂ)
5752, 55, 56sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) ∈ ℂ)
58 subcl 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹𝑃)) ∈ ℂ)
5952, 58mpan 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑃) ∈ ℂ → (1 − (𝐹𝑃)) ∈ ℂ)
60593ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹𝑃)) ∈ ℂ)
6160adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹𝑃)) ∈ ℂ)
62 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑍𝑖) ∈ ℂ)
6357, 61, 62subdird 10337 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) − (1 − (𝐹𝑃))) · (𝑍𝑖)) = (((1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) − ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖))))
64 simpr2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝐹𝑃) ∈ ℂ)
65 nnncan1 10168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑡 · (𝐹𝑄)) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ) → ((1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) − (1 − (𝐹𝑃))) = ((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
6652, 65mp3an1 1402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑡 · (𝐹𝑄)) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ) → ((1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) − (1 − (𝐹𝑃))) = ((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
6755, 64, 66syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) − (1 − (𝐹𝑃))) = ((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
6867oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) − (1 − (𝐹𝑃))) · (𝑍𝑖)) = (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)))
69 subdi 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄))) = ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
7052, 69mp3an2 1403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄))) = ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
71 mulid1 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ ℂ → (𝑡 · 1) = 𝑡)
7271adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · 1) = 𝑡)
7372oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → ((𝑡 · 1) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
7470, 73eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
7553, 54, 74syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄))) = (𝑡 − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
7675oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄)))) = ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹𝑄)))))
77 npncan 10153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝑡 · (𝐹𝑄)) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹𝑄)))) = (1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
7852, 77mp3an1 1402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝑡 · (𝐹𝑄)) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹𝑄)))) = (1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
7953, 55, 78syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) + (𝑡 − (𝑡 · (𝐹𝑄)))) = (1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))))
8076, 79eqtr2d 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = ((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄)))))
8180oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄)))) · (𝑍𝑖)))
82 subcl 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
8352, 82mpan 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ∈ ℂ → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
84833ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
8584adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
86 subcl 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹𝑄)) ∈ ℂ)
8752, 86mpan 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑄) ∈ ℂ → (1 − (𝐹𝑄)) ∈ ℂ)
88873ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹𝑄)) ∈ ℂ)
8988adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹𝑄)) ∈ ℂ)
9053, 89mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄))) ∈ ℂ)
9185, 90, 62adddird 9921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) + (𝑡 · (1 − (𝐹𝑄)))) · (𝑍𝑖)) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 · (1 − (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖))))
9253, 89, 62mulassd 9919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝑡 · (1 − (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖))))
9392oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 · (1 − (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))))
9481, 91, 933eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))))
9594oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) − ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) − ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖))))
9663, 68, 953eqtr3d 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) − ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖))))
97 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑈𝑖) ∈ ℂ)
9864, 55, 97subdird 10337 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖)) = (((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)) − ((𝑡 · (𝐹𝑄)) · (𝑈𝑖))))
9953, 54, 97mulassd 9919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝑡 · (𝐹𝑄)) · (𝑈𝑖)) = (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))
10099oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)) − ((𝑡 · (𝐹𝑄)) · (𝑈𝑖))) = (((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))
10198, 100eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖)) = (((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))
10296, 101eqeq12d 2624 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖)) ↔ ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) − ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖))) = (((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
10361, 62mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) ∈ ℂ)
10464, 97mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)) ∈ ℂ)
10585, 62mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) ∈ ℂ)
10689, 62mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) ∈ ℂ)
10753, 106mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖))) ∈ ℂ)
108105, 107addcld 9915 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) ∈ ℂ)
10954, 97mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)) ∈ ℂ)
11053, 109mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))) ∈ ℂ)
111103, 104, 108, 110addsubeq4d 10294 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) ↔ ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) − ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖))) = (((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)) − (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
112105, 107, 110addassd 9918 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
11353, 106, 109adddid 9920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) = ((𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))
114113oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + ((𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖))) + (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
115112, 114eqtr4d 2646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))))
116115eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · ((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)))) + (𝑡 · ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))) ↔ (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))))
117102, 111, 1163bitr2rd 295 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) ∧ (𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑄) ∈ ℂ)) → ((((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖))))
11829, 32, 39, 45, 51, 117syl23anc 1324 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖))))
119118ralbidva 2967 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖))))
12039, 51mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐹𝑄)) ∈ ℂ)
12145, 120subcld 10243 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) ∈ ℂ)
122 mulcan1g 10529 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) ∈ ℂ ∧ (𝑍𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑖) ∈ ℂ) → ((((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖)) ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ (𝑍𝑖) = (𝑈𝑖))))
123121, 29, 32, 122syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖)) ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ (𝑍𝑖) = (𝑈𝑖))))
124123ralbidva 2967 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑍𝑖)) = (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) · (𝑈𝑖)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ (𝑍𝑖) = (𝑈𝑖))))
125 r19.32v 3063 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ (𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)) ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)))
126 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑍𝑈)
127126neneqd 2786 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ¬ 𝑍 = 𝑈)
128 biorf 418 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = 𝑈 → (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ↔ (𝑍 = 𝑈 ∨ ((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0)))
129 orcom 400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 = 𝑈 ∨ ((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0) ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈))
130128, 129syl6bb 274 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = 𝑈 → (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈)))
131127, 130syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈)))
13238, 50mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑡 · (𝐹𝑄)) ∈ ℂ)
13344, 132subeq0ad 10253 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ↔ (𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄))))
134 eqeefv 25501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)))
1351343adant1 1071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)))
136135adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)))
137136adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑍 = 𝑈 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)))
138137orbi2d 733 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ 𝑍 = 𝑈) ↔ (((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍𝑖) = (𝑈𝑖))))
139131, 133, 1383bitr3rd 297 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)) ↔ (𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄))))
140125, 139syl5bb 270 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐹𝑃) − (𝑡 · (𝐹𝑄))) = 0 ∨ (𝑍𝑖) = (𝑈𝑖)) ↔ (𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄))))
141119, 124, 1403bitrd 292 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ (𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄))))
142141anassrs 677 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞))) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ (𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄))))
143142rexbidva 3030 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄))))
14436adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
145 1red 9911 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
14646biimpi 204 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) → ((𝐹𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑄)))
147146ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑄)))
14835simp3bi 1070 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1)
149148adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1)
150 lemul1a 10726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑄))) ∧ 𝑡 ≤ 1) → (𝑡 · (𝐹𝑄)) ≤ (1 · (𝐹𝑄)))
151144, 145, 147, 149, 150syl31anc 1320 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐹𝑄)) ≤ (1 · (𝐹𝑄)))
15248ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹𝑄) ∈ ℂ)
153152mulid2d 9914 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐹𝑄)) = (𝐹𝑄))
154151, 153breqtrd 4603 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐹𝑄)) ≤ (𝐹𝑄))
155 breq1 4580 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)) → ((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄) ↔ (𝑡 · (𝐹𝑄)) ≤ (𝐹𝑄)))
156154, 155syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
157156rexlimdva 3012 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
158 0elunit 12117 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ (0[,]1)
159 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑃) = 0 ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹𝑃) = 0)
16048mul02d 10085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (0 · (𝐹𝑄)) = 0)
161160adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑃) = 0 ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (0 · (𝐹𝑄)) = 0)
162159, 161eqtr4d 2646 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) = 0 ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹𝑃) = (0 · (𝐹𝑄)))
163 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 0 → (𝑡 · (𝐹𝑄)) = (0 · (𝐹𝑄)))
164163eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 0 → ((𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)) ↔ (𝐹𝑃) = (0 · (𝐹𝑄))))
165164rspcev 3281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ (𝐹𝑃) = (0 · (𝐹𝑄))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)))
166158, 162, 165sylancr 693 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑃) = 0 ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)))
167166adantrl 747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑃) = 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)))
168167a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑃) = 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → ((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄))))
169168ex 448 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑃) = 0 → (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)))))
170 simp3 1055 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄))
17141adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
1721713ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
17340simprbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑃))
174173adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑃))
1751743ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → 0 ≤ (𝐹𝑃))
17647adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹𝑄) ∈ ℝ)
1771763ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑄) ∈ ℝ)
178 0red 9897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → 0 ∈ ℝ)
179 simp1 1053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑃) ≠ 0)
180172, 175, 179ne0gt0d 10025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → 0 < (𝐹𝑃))
181178, 172, 177, 180, 170ltletrd 10048 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → 0 < (𝐹𝑄))
182 divelunit 12141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑃)) ∧ ((𝐹𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑄))) → (((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) ∈ (0[,]1) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
183172, 175, 177, 181, 182syl22anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) ∈ (0[,]1) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
184170, 183mpbird 245 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → ((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) ∈ (0[,]1))
185433ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑃) ∈ ℂ)
186493ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑄) ∈ ℂ)
187181gt0ne0d 10441 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑄) ≠ 0)
188185, 186, 187divcan1d 10651 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) · (𝐹𝑄)) = (𝐹𝑃))
189188eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → (𝐹𝑃) = (((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) · (𝐹𝑄)))
190 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = ((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) → (𝑡 · (𝐹𝑄)) = (((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) · (𝐹𝑄)))
191190eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = ((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) → ((𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)) ↔ (𝐹𝑃) = (((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) · (𝐹𝑄))))
192191rspcev 3281 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) ∈ (0[,]1) ∧ (𝐹𝑃) = (((𝐹𝑃) / (𝐹𝑄)) · (𝐹𝑄))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)))
193184, 189, 192syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑃) ≠ 0 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)))
1941933exp 1255 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑃) ≠ 0 → (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)))))
195169, 194pm2.61ine 2864 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄))))
196157, 195impbid 200 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
197196adantl 480 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(𝐹𝑃) = (𝑡 · (𝐹𝑄)) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
198143, 197bitrd 266 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
19926, 198sylan9bbr 732 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
200199anasss 676 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))) ∧ (𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
20118, 200sylan2b 490 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))) ∧ ((𝐹𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (((1 − (𝐹𝑄)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑄) · (𝑈𝑖)))))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
20214, 201syldan 485 . 2 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑃𝐷𝑄𝐷)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑄𝑖))) ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
20310, 202bitrd 266 1 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑃𝐷𝑄𝐷)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑍, 𝑄⟩ ↔ (𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  {crab 2899  cop 4130   class class class wbr 4577  {copab 4636  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  +∞cpnf 9927   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  [,)cico 12004  [,]cicc 12005  ...cfz 12152  𝔼cee 25486   Btwn cbtwn 25487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-z 11211  df-uz 11520  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-ee 25489  df-btwn 25490
This theorem is referenced by:  axcontlem9  25570
  Copyright terms: Public domain W3C validator