Theorem coseq1 25110

Description: A complex number whose cosine is one is an integer multiple of 2π. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coseq1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))

Proof of Theorem coseq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 11713	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		2ne0 11742	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
3		divcan2 11306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
4	1, 2, 3	mp3an23 1449	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
5	4	fveq2d 6674	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
6		halfcl 11863	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
7		cos2tsin 15532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
9	5, 8	eqtr3d 2858	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
10	9	eqeq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))) = 1))
11	6	sincld 15483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
12	11	sqcld 13509	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
13		mulcl 10621	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
14	1, 12, 13	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
15		ax-1cn 10595	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		subsub23 10891	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))) = 1 ↔ (1 − 1) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
17	15, 15, 16	mp3an13 1448	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ → ((1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))) = 1 ↔ (1 − 1) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
18	14, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))) = 1 ↔ (1 − 1) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))))
19		eqcom 2828	. . . . . 6 ⊢ ((1 − 1) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ↔ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = (1 − 1))
20		1m1e0 11710	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
21	20	eqeq2i 2834	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = (1 − 1) ↔ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0)
22	19, 21	bitri 277	. . . . 5 ⊢ ((1 − 1) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) ↔ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0)
23	18, 22	syl6bb 289	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))) = 1 ↔ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0))
24	10, 23	bitrd 281	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0))
25		mul0or 11280	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ) → ((2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0)))
26	1, 12, 25	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0)))
27	2	neii 3018	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 = 0
28		biorf 933	. . . . 5 ⊢ (¬ 2 = 0 → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0)))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0))
30	26, 29	syl6bbr 291	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘(𝐴 / 2))↑2)) = 0 ↔ ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0))
31		sqeq0 13487	. . . 4 ⊢ ((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0 ↔ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0))
32	11, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = 0 ↔ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0))
33	24, 30, 32	3bitrd 307	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0))
34		sineq0 25109	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ ((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ))
35	6, 34	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ ((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ))
36	1, 2	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
37		picn 25045	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℂ
38		pire 25044	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
39		pipos 25046	. . . . . 6 ⊢ 0 < π
40	38, 39	gt0ne0ii 11176	. . . . 5 ⊢ π ≠ 0
41	37, 40	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
42		divdiv1 11351	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → ((𝐴 / 2) / π) = (𝐴 / (2 · π)))
43	36, 41, 42	mp3an23 1449	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / π) = (𝐴 / (2 · π)))
44	43	eleq1d 2897	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
45	33, 35, 44	3bitrd 307	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542   − cmin 10870   / cdiv 11297  2c2 11693  ℤcz 11982  ↑cexp 13430  sincsin 15417  cosccos 15418  πcpi 15420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24464  df-dv 24465

This theorem is referenced by:  cos02pilt1  25111  taupilem1  34605  dirkertrigeqlem1  42403  dirkertrigeq  42406