Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkertrigeqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkertrigeqlem1 40633
 Description: Sum of an even number of alternating cos values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem1 (𝐾 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
Distinct variable group:   𝑛,𝐾

Proof of Theorem dirkertrigeqlem1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
21oveq2d 6706 . . . 4 (𝑥 = 1 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 1)))
32sumeq1d 14475 . . 3 (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)))
43eqeq1d 2653 . 2 (𝑥 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
5 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
65oveq2d 6706 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 𝑦)))
76sumeq1d 14475 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)))
87eqeq1d 2653 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
9 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑦 + 1)))
109oveq2d 6706 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · (𝑦 + 1))))
1110sumeq1d 14475 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)))
1211eqeq1d 2653 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
13 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝐾))
1413oveq2d 6706 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 𝐾)))
1514sumeq1d 14475 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)))
1615eqeq1d 2653 . 2 (𝑥 = 𝐾 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
17 ax-1cn 10032 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
18172timesi 11185 . . . . 5 (2 · 1) = (1 + 1)
1918oveq2i 6701 . . . 4 (1...(2 · 1)) = (1...(1 + 1))
2019sumeq1i 14472 . . 3 Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π))
21 1z 11445 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
22 uzid 11740 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ (ℤ‘1))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘1)
2423a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ (ℤ‘1))
25 elfzelz 12380 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(1 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
2625zcnd 11521 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(1 + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
2726adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
28 picn 24256 . . . . . . . . 9 π ∈ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → π ∈ ℂ)
3027, 29mulcld 10098 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
3130coscld 14905 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
32 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (1 + 1) → 𝑛 = (1 + 1))
33 1p1e2 11172 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
3432, 33syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝑛 = (1 + 1) → 𝑛 = 2)
3534oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑛 = (1 + 1) → (𝑛 · π) = (2 · π))
3635fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑛 = (1 + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘(2 · π)))
3724, 31, 36fsump1 14531 . . . . 5 (⊤ → Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π))))
3837trud 1533 . . . 4 Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π)))
39 coscl 14901 . . . . . . . 8 (π ∈ ℂ → (cos‘π) ∈ ℂ)
4028, 39ax-mp 5 . . . . . . 7 (cos‘π) ∈ ℂ
41 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (𝑛 · π) = (1 · π))
4228mulid2i 10081 . . . . . . . . . 10 (1 · π) = π
4341, 42syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (𝑛 · π) = π)
4443fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π))
4544fsum1 14520 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ (cos‘π) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π))
4621, 40, 45mp2an 708 . . . . . 6 Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π)
47 cospi 24269 . . . . . 6 (cos‘π) = -1
4846, 47eqtri 2673 . . . . 5 Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = -1
49 cos2pi 24273 . . . . 5 (cos‘(2 · π)) = 1
5048, 49oveq12i 6702 . . . 4 𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π))) = (-1 + 1)
51 neg1cn 11162 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
52 1pneg1e0 11167 . . . . 5 (1 + -1) = 0
5317, 51, 52addcomli 10266 . . . 4 (-1 + 1) = 0
5438, 50, 533eqtri 2677 . . 3 Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0
5520, 54eqtri 2673 . 2 Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0
5618oveq2i 6701 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑦) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1))
57 2cnd 11131 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
58 nncn 11066 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
5917a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
6057, 58, 59adddid 10102 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
6157, 58mulcld 10098 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
6261, 59, 59addassd 10100 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1)))
6356, 60, 623eqtr4a 2711 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = (((2 · 𝑦) + 1) + 1))
6463oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → (1...(2 · (𝑦 + 1))) = (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)))
6564sumeq1d 14475 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)))
6665adantr 480 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)))
67 1red 10093 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
68 2re 11128 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
70 nnre 11065 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
7169, 70remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ)
7271, 67readdcld 10107 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
73 2rp 11875 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
7473a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
75 nnrp 11880 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
7674, 75rpmulcld 11926 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ+)
7767, 76ltaddrp2d 11944 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑦) + 1))
7867, 72, 77ltled 10223 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1))
79 2z 11447 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
8079a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
81 nnz 11437 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
8280, 81zmulcld 11526 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
8382peano2zd 11523 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℤ)
84 eluz 11739 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1)))
8521, 83, 84sylancr 696 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1)))
8678, 85mpbird 247 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ‘1))
87 elfzelz 12380 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
8887zcnd 11521 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
8928a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → π ∈ ℂ)
9088, 89mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
9190coscld 14905 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
9291adantl 481 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
93 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑛 = (((2 · 𝑦) + 1) + 1) → (𝑛 · π) = ((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))
9493fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑛 = (((2 · 𝑦) + 1) + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)))
9586, 92, 94fsump1 14531 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))))
9695adantr 480 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))))
97 1lt2 11232 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
9897a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 1 < 2)
99 2t1e2 11214 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 1) = 2
100 nnge1 11084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
10167, 70, 74lemul2d 11954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑦 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑦)))
102100, 101mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑦))
10399, 102syl5eqbrr 4721 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · 𝑦))
10467, 69, 71, 98, 103ltletrd 10235 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑦))
10567, 71, 104ltled 10223 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ (2 · 𝑦))
106 eluz 11739 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑦)))
10721, 82, 106sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑦)))
108105, 107mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ (ℤ‘1))
109 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
110109zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
11128a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → π ∈ ℂ)
112110, 111mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
113112coscld 14905 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
114113adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
115 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((2 · 𝑦) + 1) → (𝑛 · π) = (((2 · 𝑦) + 1) · π))
116115fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((2 · 𝑦) + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)))
117108, 114, 116fsump1 14531 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))))
11833, 99eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = (2 · 1)
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (1 + 1) = (2 · 1))
120119oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
121120, 62, 603eqtr4d 2695 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = (2 · (𝑦 + 1)))
122121oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π) = ((2 · (𝑦 + 1)) · π))
123122fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)) = (cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)))
12458, 59addcld 10097 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
12528a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
12657, 124, 125mulassd 10101 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · π) = (2 · ((𝑦 + 1) · π)))
127126oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) = ((2 · ((𝑦 + 1) · π)) / (2 · π)))
128124, 125mulcld 10098 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) · π) ∈ ℂ)
129 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
130 pipos 24257 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < π
131129, 130gtneii 10187 . . . . . . . . . . . . 13 π ≠ 0
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → π ≠ 0)
13374rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
134128, 125, 57, 132, 133divcan5d 10865 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · ((𝑦 + 1) · π)) / (2 · π)) = (((𝑦 + 1) · π) / π))
135124, 125, 132divcan4d 10845 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 + 1) · π) / π) = (𝑦 + 1))
136127, 134, 1353eqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) = (𝑦 + 1))
13781peano2zd 11523 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
138136, 137eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ)
139 peano2cn 10246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
14058, 139syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
14157, 140mulcld 10098 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℂ)
142141, 125mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · π) ∈ ℂ)
143 coseq1 24319 . . . . . . . . . 10 (((2 · (𝑦 + 1)) · π) ∈ ℂ → ((cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1 ↔ (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ))
144142, 143syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1 ↔ (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ))
145138, 144mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1)
146123, 145eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)) = 1)
147117, 146oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1))
148147adantr 480 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1))
149 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
15061, 59, 125adddird 10103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) · π) = (((2 · 𝑦) · π) + (1 · π)))
15161, 125mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) ∈ ℂ)
15242, 125syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (1 · π) ∈ ℂ)
153151, 152addcomd 10276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) · π) + (1 · π)) = ((1 · π) + ((2 · 𝑦) · π)))
15442a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (1 · π) = π)
15557, 58mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) = (𝑦 · 2))
156155oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) = ((𝑦 · 2) · π))
15758, 57, 125mulassd 10101 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) · π) = (𝑦 · (2 · π)))
158156, 157eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) = (𝑦 · (2 · π)))
159154, 158oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((1 · π) + ((2 · 𝑦) · π)) = (π + (𝑦 · (2 · π))))
160150, 153, 1593eqtrd 2689 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) · π) = (π + (𝑦 · (2 · π))))
161160fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))))
162 cosper 24279 . . . . . . . . . . 11 ((π ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))) = (cos‘π))
16328, 81, 162sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))) = (cos‘π))
16447a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘π) = -1)
165161, 163, 1643eqtrd 2689 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = -1)
166165adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = -1)
167149, 166oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) = (0 + -1))
168167oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1) = ((0 + -1) + 1))
16951addid2i 10262 . . . . . . . 8 (0 + -1) = -1
170169oveq1i 6700 . . . . . . 7 ((0 + -1) + 1) = (-1 + 1)
171170, 53eqtri 2673 . . . . . 6 ((0 + -1) + 1) = 0
172168, 171syl6eq 2701 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1) = 0)
173148, 172eqtrd 2685 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = 0)
17466, 96, 1733eqtrd 2689 . . 3 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
175174ex 449 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
1764, 8, 12, 16, 55, 175nnind 11076 1 (𝐾 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113  -cneg 10305   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ℝ+crp 11870  ...cfz 12364  Σcsu 14460  cosccos 14839  πcpi 14841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676 This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  40635
 Copyright terms: Public domain W3C validator