Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpad 29910
Description: Extend an extended sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpad.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumpad.2 (𝜑𝐵𝑊)
esumpad.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumpad.4 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
esumpad (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem esumpad
StepHypRef Expression
1 nfv 1840 . . 3 𝑘𝜑
2 nfcv 2761 . . 3 𝑘𝐴
3 nfcv 2761 . . 3 𝑘(𝐵𝐴)
4 esumpad.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
5 elex 3198 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
7 esumpad.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
8 difexg 4770 . . . 4 (𝐵𝑊 → (𝐵𝐴) ∈ V)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ V)
10 disjdif 4014 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
12 esumpad.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
13 difssd 3718 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) ⊆ 𝐵)
1413sselda 3584 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑘𝐵)
15 esumpad.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 = 0)
16 0e0iccpnf 12228 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
1715, 16syl6eqel 2706 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
1814, 17syldan 487 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
191, 2, 3, 6, 9, 11, 12, 18esumsplit 29908 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴))𝐶 = (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶))
20 undif2 4018 . . . 4 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
21 esumeq1 29889 . . . 4 ((𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵) → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
2220, 21ax-mp 5 . . 3 Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶
2322a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
2414, 15syldan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
2524ralrimiva 2960 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0)
261, 25esumeq2d 29892 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)0)
273esum0 29904 . . . . . 6 ((𝐵𝐴) ∈ V → Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)0 = 0)
289, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)0 = 0)
2926, 28eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0)
3029oveq2d 6623 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 0))
31 iccssxr 12201 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3212ralrimiva 2960 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
332esumcl 29885 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
344, 32, 33syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3531, 34sseldi 3582 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ℝ*)
36 xaddid1 12018 . . . 4 *𝑘𝐴𝐶 ∈ ℝ* → (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 0) = Σ*𝑘𝐴𝐶)
3735, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 0) = Σ*𝑘𝐴𝐶)
3830, 37eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶) = Σ*𝑘𝐴𝐶)
3919, 23, 383eqtr3d 2663 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  cdif 3553  cun 3554  cin 3555  c0 3893  (class class class)co 6607  0cc0 9883  +∞cpnf 10018  *cxr 10020   +𝑒 cxad 11891  [,]cicc 12123  Σ*cesum 29882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ioo 12124  df-ioc 12125  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-mod 12612  df-seq 12745  df-exp 12804  df-fac 13004  df-bc 13033  df-hash 13061  df-shft 13744  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-limsup 14139  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-ef 14726  df-sin 14728  df-cos 14729  df-pi 14731  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-hom 15890  df-cco 15891  df-rest 16007  df-topn 16008  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-topgen 16028  df-pt 16029  df-prds 16032  df-ordt 16085  df-xrs 16086  df-qtop 16091  df-imas 16092  df-xps 16094  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-ps 17124  df-tsr 17125  df-plusf 17165  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-mhm 17259  df-submnd 17260  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-mulg 17465  df-subg 17515  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-cring 18474  df-subrg 18702  df-abv 18741  df-lmod 18789  df-scaf 18790  df-sra 19094  df-rgmod 19095  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-fbas 19665  df-fg 19666  df-cnfld 19669  df-top 20621  df-topon 20638  df-topsp 20651  df-bases 20664  df-cld 20736  df-ntr 20737  df-cls 20738  df-nei 20815  df-lp 20853  df-perf 20854  df-cn 20944  df-cnp 20945  df-haus 21032  df-tx 21278  df-hmeo 21471  df-fil 21563  df-fm 21655  df-flim 21656  df-flf 21657  df-tmd 21789  df-tgp 21790  df-tsms 21843  df-trg 21876  df-xms 22038  df-ms 22039  df-tms 22040  df-nm 22300  df-ngp 22301  df-nrg 22303  df-nlm 22304  df-ii 22593  df-cncf 22594  df-limc 23543  df-dv 23544  df-log 24214  df-esum 29883
This theorem is referenced by:  esumpad2  29911  carsggect  30173
  Copyright terms: Public domain W3C validator