Theorem ex-mod 28230

Description: Example for df-mod 13241. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-mod	⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 11791	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2832	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq1i 7168	. . 3 ⊢ (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4		2nn0 11917	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		3nn 11719	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		2lt3 11812	. . . 4 ⊢ 2 < 3
7		addmodid 13290	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1457	. . 3 ⊢ ((3 + 2) mod 3) = 2
9	3, 8	eqtri 2846	. 2 ⊢ (5 mod 3) = 2
10		2re 11714	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2lt7 11830	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
12	10, 11	ltneii 10755	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
13		2nn 11713	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 11811	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
15		eluz2b2 12324	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
16	13, 14, 15	mpbir2an 709	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
17		7prm 16446	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
18		dvdsprm 16049	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
19	16, 17, 18	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
20	12, 19	nemtbir 3114	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
21		2z 12017	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		7nn 11732	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12009	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
24		dvdsnegb 15629	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
25	21, 23, 24	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
26	20, 25	mtbi 324	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∥ -7
27		znegcl 12020	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
28		mod2eq1n2dvds 15698	. . . 4 ⊢ (-7 ∈ ℤ → ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
29	23, 27, 28	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
30	26, 29	mpbir 233	. 2 ⊢ (-7 mod 2) = 1
31	9, 30	pm3.2i 473	1 ⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  1c1 10540   + caddc 10542   < clt 10677  -cneg 10873  ℕcn 11640  2c2 11695  3c3 11696  5c5 11698  7c7 11700  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246   mod cmo 13240   ∥ cdvds 15609  ℙcprime 16017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-fz 12896  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-dvds 15610  df-prm 16018

This theorem is referenced by: (None)