Theorem fzss1 12319

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss1	⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 12277	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		uztrn 11648	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anr 495	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		elfzuz3 12278	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6	5	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
7		elfzuzb 12275	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
8	4, 6, 7	sylanbrc 697	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
9	8	ex 450	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
10	9	ssrdv 3594	1 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1992   ⊆ wss 3560  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℤ_≥cuz 11631  ...cfz 12265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-neg 10214  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266

This theorem is referenced by:  fzssnn  12324  fzp1ss  12331  ige2m1fz  12368  fzoss1  12433  fzossnn0  12437  sermono  12770  seqsplit  12771  seqf1olem2  12778  seqz  12786  bcpasc  13045  seqcoll2  13184  swrd0fv0  13373  swrd0fvlsw  13376  swrdswrd  13393  swrdccatin2  13419  swrdccatin12lem2c  13420  swrdccatin12  13423  mertenslem1  14536  reumodprminv  15428  prmgaplcmlem1  15674  structfn  15792  strleun  15888  efgsres  18067  efgredlemd  18073  efgredlem  18076  chfacfpmmulgsum2  20584  cpmadugsumlemF  20595  ply1termlem  23858  dvply1  23938  dvtaylp  24023  taylthlem2  24027  basellem5  24706  ppisval2  24726  ppiltx  24798  chtlepsi  24826  chtublem  24831  chpub  24840  gausslemma2dlem3  24988  2lgslem1a  25011  chtppilimlem1  25057  pntlemq  25185  pntlemf  25189  axlowdimlem16  25732  axlowdimlem17  25733  axlowdim  25736  crctcshwlkn0lem3  26567  esumpmono  29914  ballotlem2  30323  ballotlemfc0  30327  ballotlemfcc  30328  ballotlemfrci  30362  ballotlemfrceq  30363  bcprod  31324  poimirlem1  33028  poimirlem2  33029  poimirlem4  33031  poimirlem6  33033  poimirlem7  33034  poimirlem14  33041  poimirlem15  33042  poimirlem16  33043  poimirlem19  33046  poimirlem20  33047  poimirlem23  33050  poimirlem27  33054  poimirlem31  33058  poimirlem32  33059  fdc  33159  jm2.23  37029  stoweidlem11  39522  elaa2lem  39744  iccpartgel  40651  pfxfv0  40687  pfxfvlsw  40690  pfxccatin12  40712  pfxccatpfx2  40715