Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heibor1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heibor1 33739
 Description: One half of heibor 33750, that does not require any Choice. A compact metric space is complete and totally bounded. We prove completeness in cmpcmet 23162 and total boundedness here, which follows trivially from the fact that the set of all 𝑟-balls is an open cover of 𝑋, so finitely many cover 𝑋. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
heibor1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋)))

Proof of Theorem heibor1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.1 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2 simpll 805 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (𝑥 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑥:ℕ⟶𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3 simplr 807 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (𝑥 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑥:ℕ⟶𝑋)) → 𝐽 ∈ Comp)
4 simprl 809 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (𝑥 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑥:ℕ⟶𝑋)) → 𝑥 ∈ (Cau‘𝐷))
5 simprr 811 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (𝑥 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑥:ℕ⟶𝑋)) → 𝑥:ℕ⟶𝑋)
61, 2, 3, 4, 5heibor1lem 33738 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (𝑥 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑥:ℕ⟶𝑋)) → 𝑥 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
76expr 642 . . . 4 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (Cau‘𝐷)) → (𝑥:ℕ⟶𝑋𝑥 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
87ralrimiva 2995 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → ∀𝑥 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑥:ℕ⟶𝑋𝑥 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
9 nnuz 11761 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
10 1zzd 11446 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → 1 ∈ ℤ)
11 simpl 472 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
129, 1, 10, 11iscmet3 23137 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑥 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑥:ℕ⟶𝑋𝑥 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))))
138, 12mpbird 247 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
14 simplr 807 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐽 ∈ Comp)
15 metxmet 22186 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋𝑧𝑋)
17 rpxr 11878 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
181blopn 22352 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
1915, 16, 17, 18syl3an 1408 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
20193com23 1291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+𝑧𝑋) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
21203expa 1284 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
22 eleq1a 2725 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 → (𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑦𝐽))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑦𝐽))
2423rexlimdva 3060 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑦𝐽))
2524adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑦𝐽))
2625abssdv 3709 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ⊆ 𝐽)
2715ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
281mopnuni 22293 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 = 𝐽)
30 blcntr 22265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
3115, 30syl3an1 1399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
32313com23 1291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
33323expa 1284 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
34 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ V
3534elabrex 6541 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋 → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
3635adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
37 elunii 4473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) → 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
3833, 36, 37syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
3938ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑧𝑋 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
4039adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑧𝑋 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
41 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑋
42 nfre1 3034 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)
4342nfab 2798 . . . . . . . . . . . 12 𝑧{𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}
4443nfuni 4474 . . . . . . . . . . 11 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}
4541, 44dfss3f 3628 . . . . . . . . . 10 (𝑋 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ↔ ∀𝑧𝑋 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
4640, 45sylibr 224 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
4729, 46eqsstr3d 3673 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐽 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
4826unissd 4494 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ⊆ 𝐽)
4947, 48eqssd 3653 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐽 = {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
50 eqid 2651 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
5150cmpcov 21240 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Comp ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ⊆ 𝐽 𝐽 = {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) 𝐽 = 𝑥)
5214, 26, 49, 51syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) 𝐽 = 𝑥)
53 elin 3829 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝑥 ∈ Fin))
54 ancom 465 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}))
5553, 54bitri 264 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}))
5655anbi1i 731 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) ∧ 𝐽 = 𝑥))
57 anass 682 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) ∧ 𝐽 = 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥)))
5856, 57bitri 264 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥)))
5958rexbii2 3068 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) 𝐽 = 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ Fin (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥))
6052, 59sylib 208 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ Fin (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥))
61 ancom 465 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥) ↔ ( 𝐽 = 𝑥𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}))
62 eqcom 2658 . . . . . . . . . 10 ( 𝑥 = 𝑋𝑋 = 𝑥)
6329eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑋 = 𝑥 𝐽 = 𝑥))
6462, 63syl5rbb 273 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ( 𝐽 = 𝑥 𝑥 = 𝑋))
6564anbi1d 741 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (( 𝐽 = 𝑥𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) ↔ ( 𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})))
6661, 65syl5bb 272 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥) ↔ ( 𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})))
67 elpwi 4201 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} → 𝑥 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
68 ssabral 3706 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ↔ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
6967, 68sylib 208 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} → ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
7069anim2i 592 . . . . . . 7 (( 𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) → ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)))
7166, 70syl6bi 243 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥) → ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))))
7271reximdv 3045 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ Fin (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ Fin ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))))
7360, 72mpd 15 . . . 4 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ Fin ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)))
7473ralrimiva 2995 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ Fin ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)))
75 istotbnd 33698 . . 3 (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ Fin ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))))
7611, 74, 75sylanbrc 699 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋))
7713, 76jca 553 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191  ∪ cuni 4468  dom cdm 5143  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  1c1 9975  ℝ*cxr 10111  ℕcn 11058  ℝ+crp 11870  ∞Metcxmt 19779  Metcme 19780  ballcbl 19781  MetOpencmopn 19784  ⇝𝑡clm 21078  Compccmp 21237  Caucca 23097  CMetcms 23098  TotBndctotbnd 33695 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lm 21081  df-cmp 21238  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-totbnd 33697 This theorem is referenced by:  heibor  33750
 Copyright terms: Public domain W3C validator