Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heibor1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heibor1 33227
Description: One half of heibor 33238, that does not require any Choice. A compact metric space is complete and totally bounded. We prove completeness in cmpcmet 23019 and total boundedness here, which follows trivially from the fact that the set of all 𝑟-balls is an open cover of 𝑋, so finitely many cover 𝑋. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
heibor1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋)))

Proof of Theorem heibor1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.1 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2 simpll 789 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (𝑥 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑥:ℕ⟶𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3 simplr 791 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (𝑥 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑥:ℕ⟶𝑋)) → 𝐽 ∈ Comp)
4 simprl 793 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (𝑥 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑥:ℕ⟶𝑋)) → 𝑥 ∈ (Cau‘𝐷))
5 simprr 795 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (𝑥 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑥:ℕ⟶𝑋)) → 𝑥:ℕ⟶𝑋)
61, 2, 3, 4, 5heibor1lem 33226 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ (𝑥 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑥:ℕ⟶𝑋)) → 𝑥 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
76expr 642 . . . 4 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (Cau‘𝐷)) → (𝑥:ℕ⟶𝑋𝑥 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
87ralrimiva 2965 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → ∀𝑥 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑥:ℕ⟶𝑋𝑥 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
9 nnuz 11667 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
10 1zzd 11353 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → 1 ∈ ℤ)
11 simpl 473 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
129, 1, 10, 11iscmet3 22994 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑥 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑥:ℕ⟶𝑋𝑥 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))))
138, 12mpbird 247 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
14 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐽 ∈ Comp)
15 metxmet 22044 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋𝑧𝑋)
17 rpxr 11784 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
181blopn 22210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
1915, 16, 17, 18syl3an 1365 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
20193com23 1268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+𝑧𝑋) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
21203expa 1262 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
22 eleq1a 2699 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 → (𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑦𝐽))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑦𝐽))
2423rexlimdva 3029 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑦𝐽))
2524adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑦𝐽))
2625abssdv 3660 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ⊆ 𝐽)
2715ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
281mopnuni 22151 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 = 𝐽)
30 blcntr 22123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
3115, 30syl3an1 1356 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
32313com23 1268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
33323expa 1262 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
34 ovex 6633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ V
3534elabrex 6456 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋 → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
37 elunii 4412 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑧(ball‘𝐷)𝑟) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) → 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
3833, 36, 37syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
3938ralrimiva 2965 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑧𝑋 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
4039adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑧𝑋 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
41 nfcv 2767 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑋
42 nfre1 3004 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)
4342nfab 2771 . . . . . . . . . . . 12 𝑧{𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}
4443nfuni 4413 . . . . . . . . . . 11 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}
4541, 44dfss3f 3580 . . . . . . . . . 10 (𝑋 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ↔ ∀𝑧𝑋 𝑧 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
4640, 45sylibr 224 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑋 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
4729, 46eqsstr3d 3624 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐽 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
4826unissd 4433 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ⊆ 𝐽)
4947, 48eqssd 3605 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐽 = {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
50 eqid 2626 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
5150cmpcov 21097 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Comp ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ⊆ 𝐽 𝐽 = {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) 𝐽 = 𝑥)
5214, 26, 49, 51syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) 𝐽 = 𝑥)
53 elin 3779 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝑥 ∈ Fin))
54 ancom 466 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}))
5553, 54bitri 264 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}))
5655anbi1i 730 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) ∧ 𝐽 = 𝑥))
57 anass 680 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) ∧ 𝐽 = 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥)))
5856, 57bitri 264 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) ∧ 𝐽 = 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥)))
5958rexbii2 3037 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ (𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∩ Fin) 𝐽 = 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ Fin (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥))
6052, 59sylib 208 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ Fin (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥))
61 ancom 466 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥) ↔ ( 𝐽 = 𝑥𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}))
62 eqcom 2633 . . . . . . . . . 10 ( 𝑥 = 𝑋𝑋 = 𝑥)
6329eqeq1d 2628 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑋 = 𝑥 𝐽 = 𝑥))
6462, 63syl5rbb 273 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ( 𝐽 = 𝑥 𝑥 = 𝑋))
6564anbi1d 740 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (( 𝐽 = 𝑥𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) ↔ ( 𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})))
6661, 65syl5bb 272 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥) ↔ ( 𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})))
67 elpwi 4145 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} → 𝑥 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)})
68 ssabral 3657 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ↔ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
6967, 68sylib 208 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} → ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))
7069anim2i 592 . . . . . . 7 (( 𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)}) → ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)))
7166, 70syl6bi 243 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥) → ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))))
7271reximdv 3015 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ Fin (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑦 ∣ ∃𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)} ∧ 𝐽 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ Fin ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))))
7360, 72mpd 15 . . . 4 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ Fin ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)))
7473ralrimiva 2965 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ Fin ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟)))
75 istotbnd 33186 . . 3 (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ Fin ( 𝑥 = 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑋 𝑦 = (𝑧(ball‘𝐷)𝑟))))
7611, 74, 75sylanbrc 697 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋))
7713, 76jca 554 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ Comp) → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  {cab 2612  wral 2912  wrex 2913  cin 3559  wss 3560  𝒫 cpw 4135   cuni 4407  dom cdm 5079  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  1c1 9882  *cxr 10018  cn 10965  +crp 11776  ∞Metcxmt 19645  Metcme 19646  ballcbl 19647  MetOpencmopn 19650  𝑡clm 20935  Compccmp 21094  Caucca 22954  CMetcms 22955  TotBndctotbnd 33183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cc 9202  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-omul 7511  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-acn 8713  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12120  df-fz 12266  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-rest 15999  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lm 20938  df-cmp 21095  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-cfil 22956  df-cau 22957  df-cmet 22958  df-totbnd 33185
This theorem is referenced by:  heibor  33238
  Copyright terms: Public domain W3C validator