Theorem ho0val 29527

Description: Value of the zero Hilbert space operator (null projector). Remark in [Beran] p. 111. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ho0val	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝐴) = 0ℎ)

Proof of Theorem ho0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		choc1 29104	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘ ℋ) = 0ℋ
2	1	fveq2i 6673	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘(⊥‘ ℋ)) = (projℎ‘0ℋ)
3		df-h0op 29525	. . . . 5 ⊢ 0hop = (projℎ‘0ℋ)
4	2, 3	eqtr4i 2847	. . . 4 ⊢ (projℎ‘(⊥‘ ℋ)) = 0hop
5	4	fveq1i 6671	. . 3 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘ ℋ))‘𝐴) = ( 0hop ‘𝐴)
6		helch 29020	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
7		pjo 29448	. . . 4 ⊢ (( ℋ ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(⊥‘ ℋ))‘𝐴) = (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)))
8	6, 7	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((projℎ‘(⊥‘ ℋ))‘𝐴) = (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)))
9	5, 8	syl5eqr 2870	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝐴) = (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)))
10	6	pjhcli 29195	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) ∈ ℋ)
11		hvsubid 28803	. . 3 ⊢ (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) ∈ ℋ → (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)) = 0ℎ)
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)) = 0ℎ)
13	9, 12	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝐴) = 0ℎ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ℋchba 28696  0_ℎc0v 28701   −_ℎ cmv 28702   C_ℋ cch 28706  ⊥cort 28707  0_ℋc0h 28712  proj_ℎcpjh 28714   0_hop ch0o 28720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cc 9857  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617  ax-hilex 28776  ax-hfvadd 28777  ax-hvcom 28778  ax-hvass 28779  ax-hv0cl 28780  ax-hvaddid 28781  ax-hfvmul 28782  ax-hvmulid 28783  ax-hvmulass 28784  ax-hvdistr1 28785  ax-hvdistr2 28786  ax-hvmul0 28787  ax-hfi 28856  ax-his1 28859  ax-his2 28860  ax-his3 28861  ax-his4 28862  ax-hcompl 28979

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-omul 8107  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-acn 9371  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-lm 21837  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cfil 23858  df-cau 23859  df-cmet 23860  df-grpo 28270  df-gid 28271  df-ginv 28272  df-gdiv 28273  df-ablo 28322  df-vc 28336  df-nv 28369  df-va 28372  df-ba 28373  df-sm 28374  df-0v 28375  df-vs 28376  df-nmcv 28377  df-ims 28378  df-dip 28478  df-ssp 28499  df-ph 28590  df-cbn 28640  df-hnorm 28745  df-hba 28746  df-hvsub 28748  df-hlim 28749  df-hcau 28750  df-sh 28984  df-ch 28998  df-oc 29029  df-ch0 29030  df-shs 29085  df-pjh 29172  df-h0op 29525

This theorem is referenced by:  df0op2  29529  hoaddid1i  29563  ho0coi  29565  0cnop  29756  0hmop  29760  nmop0  29763  adj0  29771  nmlnop0iALT  29772  lnopco0i  29781  lnopeq0i  29784  nmopcoi  29872  leop3  29902  leoprf2  29904  leoprf  29905  idleop  29908  pjorthcoi  29946