MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgaddlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgaddlem1 23634
Description: Lemma for itgadd 23636. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgadd.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgadd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
itgadd.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
itgadd.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgadd.6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
itgadd.7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
itgadd.8 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
itgaddlem1 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgaddlem1
StepHypRef Expression
1 itgadd.5 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 itgadd.6 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 10107 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4 itgadd.1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
5 itgadd.2 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
6 itgadd.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
7 itgadd.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
84, 5, 6, 7ibladd 23632 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
9 itgadd.7 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10 itgadd.8 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
111, 2, 9, 10addge0d 10641 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (𝐵 + 𝐶))
123, 8, 11itgposval 23607 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
131, 5, 9itgposval 23607 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
142, 7, 10itgposval 23607 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))))
1513, 14oveq12d 6708 . . 3 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))))
161, 9iblpos 23604 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
175, 16mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
1817simpld 474 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
1918, 1mbfdm2 23450 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
20 mblss 23345 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
22 rembl 23354 . . . . . 6 ℝ ∈ dom vol
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
24 elrege0 12316 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
251, 9, 24sylanbrc 699 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
26 0e0icopnf 12320 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,)+∞)
2726a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
2825, 27ifclda 4153 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
2928adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
30 eldifn 3766 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
3130adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
3231iffalsed 4130 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 0)
33 iftrue 4125 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
3433mpteq2ia 4773 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥𝐴𝐵)
3534, 18syl5eqel 2734 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
3621, 23, 29, 32, 35mbfss 23458 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
3728adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
38 eqid 2651 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
3937, 38fmptd 6425 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
4017simprd 478 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
41 elrege0 12316 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
422, 10, 41sylanbrc 699 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
4342, 27ifclda 4153 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
4443adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
4531iffalsed 4130 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
46 iftrue 4125 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
4746mpteq2ia 4773 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥𝐴𝐶)
482, 10iblpos 23604 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)))
497, 48mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ))
5049simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
5147, 50syl5eqel 2734 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ MblFn)
5221, 23, 44, 45, 51mbfss 23458 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ MblFn)
5343adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
54 eqid 2651 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
5553, 54fmptd 6425 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
5649simprd 478 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)
5736, 39, 40, 52, 55, 56itg2add 23571 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))))
58 reex 10065 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
5958a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
60 eqidd 2652 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
61 eqidd 2652 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
6259, 37, 53, 60, 61offval2 6956 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))))
6333, 46oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝐵 + 𝐶))
64 iftrue 4125 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = (𝐵 + 𝐶))
6563, 64eqtr4d 2688 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
66 iffalse 4128 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 0)
67 iffalse 4128 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
6866, 67oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (0 + 0))
69 00id 10249 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
7068, 69syl6eq 2701 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = 0)
71 iffalse 4128 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = 0)
7270, 71eqtr4d 2688 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
7365, 72pm2.61i 176 . . . . . 6 (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)
7473mpteq2i 4774 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
7562, 74syl6eq 2701 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)))
7675fveq2d 6233 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
7715, 57, 763eqtr2d 2691 . 2 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
7812, 77eqtr4d 2688 1 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977  +∞cpnf 10109  cle 10113  [,)cico 12215  volcvol 23278  MblFncmbf 23428  2citg2 23430  𝐿1cibl 23431  citg 23432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482
This theorem is referenced by:  itgaddlem2  23635
  Copyright terms: Public domain W3C validator