MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgaddlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgaddlem1 23312
Description: Lemma for itgadd 23314. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgadd.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgadd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
itgadd.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
itgadd.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgadd.6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
itgadd.7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
itgadd.8 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
itgaddlem1 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgaddlem1
StepHypRef Expression
1 itgadd.5 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 itgadd.6 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 9925 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4 itgadd.1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
5 itgadd.2 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
6 itgadd.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
7 itgadd.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
84, 5, 6, 7ibladd 23310 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
9 itgadd.7 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10 itgadd.8 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
111, 2, 9, 10addge0d 10452 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (𝐵 + 𝐶))
123, 8, 11itgposval 23285 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
131, 5, 9itgposval 23285 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
142, 7, 10itgposval 23285 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))))
1513, 14oveq12d 6545 . . 3 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))))
161, 9iblpos 23282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
175, 16mpbid 220 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
1817simpld 473 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
1918, 1mbfdm2 23128 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
20 mblss 23023 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
22 rembl 23032 . . . . . 6 ℝ ∈ dom vol
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
24 elrege0 12105 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
251, 9, 24sylanbrc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
26 0e0icopnf 12109 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,)+∞)
2726a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
2825, 27ifclda 4069 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
2928adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
30 eldifn 3694 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
3130adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
3231iffalsed 4046 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 0)
33 iftrue 4041 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
3433mpteq2ia 4662 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥𝐴𝐵)
3534, 18syl5eqel 2691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
3621, 23, 29, 32, 35mbfss 23136 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
3728adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
38 eqid 2609 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
3937, 38fmptd 6277 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
4017simprd 477 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
41 elrege0 12105 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
422, 10, 41sylanbrc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
4342, 27ifclda 4069 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
4443adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
4531iffalsed 4046 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
46 iftrue 4041 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
4746mpteq2ia 4662 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥𝐴𝐶)
482, 10iblpos 23282 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)))
497, 48mpbid 220 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ))
5049simpld 473 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
5147, 50syl5eqel 2691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ MblFn)
5221, 23, 44, 45, 51mbfss 23136 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ MblFn)
5343adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
54 eqid 2609 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
5553, 54fmptd 6277 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
5649simprd 477 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)
5736, 39, 40, 52, 55, 56itg2add 23249 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))))
58 reex 9883 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
5958a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
60 eqidd 2610 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
61 eqidd 2610 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
6259, 37, 53, 60, 61offval2 6789 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))))
6333, 46oveq12d 6545 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝐵 + 𝐶))
64 iftrue 4041 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = (𝐵 + 𝐶))
6563, 64eqtr4d 2646 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
66 iffalse 4044 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 0)
67 iffalse 4044 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
6866, 67oveq12d 6545 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (0 + 0))
69 00id 10062 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
7068, 69syl6eq 2659 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = 0)
71 iffalse 4044 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = 0)
7270, 71eqtr4d 2646 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
7365, 72pm2.61i 174 . . . . . 6 (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)
7473mpteq2i 4663 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
7562, 74syl6eq 2659 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)))
7675fveq2d 6092 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
7715, 57, 763eqtr2d 2649 . 2 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
7812, 77eqtr4d 2646 1 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  cdif 3536  wss 3539  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cmpt 4637  dom cdm 5028  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6770  cr 9791  0cc0 9792   + caddc 9795  +∞cpnf 9927  cle 9931  [,)cico 12004  volcvol 22956  MblFncmbf 23106  2citg2 23108  𝐿1cibl 23109  citg 23110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cc 9117  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-ofr 6773  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-rest 15852  df-topgen 15873  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-cmp 20942  df-ovol 22957  df-vol 22958  df-mbf 23111  df-itg1 23112  df-itg2 23113  df-ibl 23114  df-itg 23115  df-0p 23160
This theorem is referenced by:  itgaddlem2  23313
  Copyright terms: Public domain W3C validator