MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfss 23319
Description: Change the domain of a measurability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfss.1 (𝜑𝐴𝐵)
mbfss.2 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
mbfss.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
mbfss.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
mbfss.5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfss (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfss
StepHypRef Expression
1 elun 3731 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)))
2 undif2 4016 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
3 mbfss.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
4 ssequn1 3761 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
53, 4sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐵) = 𝐵)
62, 5syl5eq 2667 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
76eleq2d 2684 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↔ 𝑥𝐵))
81, 7syl5bbr 274 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) ↔ 𝑥𝐵))
98biimpar 502 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)))
10 mbfss.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
11 mbfss.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
1210, 11mbfmptcl 23310 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13 mbfss.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
14 0cn 9976 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
1513, 14syl6eqel 2706 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
1612, 15jaodan 825 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
179, 16syldan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
1817recld 13868 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
19 eqid 2621 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) = (𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶))
2018, 19fmptd 6340 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
213resmptd 5411 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
2212ismbfcn2 23312 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
2310, 22mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn))
2423simpld 475 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
2521, 24eqeltrd 2698 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
26 difss 3715 . . . . . 6 (𝐵𝐴) ⊆ 𝐵
27 resmpt 5408 . . . . . 6 ((𝐵𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)))
2826, 27ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶))
2913fveq2d 6152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = (ℜ‘0))
30 re0 13826 . . . . . . 7 (ℜ‘0) = 0
3129, 30syl6eq 2671 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = 0)
3231mpteq2dva 4704 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
3328, 32syl5eq 2667 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
34 fconstmpt 5123 . . . . 5 ((𝐵𝐴) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0)
35 mbfss.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
3610, 11mbfdm2 23311 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
37 difmbl 23218 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐵𝐴) ∈ dom vol)
3835, 36, 37syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ dom vol)
39 mbfconst 23308 . . . . . 6 (((𝐵𝐴) ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
4038, 14, 39sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
4134, 40syl5eqelr 2703 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0) ∈ MblFn)
4233, 41eqeltrd 2698 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) ∈ MblFn)
4320, 25, 42, 6mbfres2 23318 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
4417imcld 13869 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
45 eqid 2621 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) = (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶))
4644, 45fmptd 6340 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
473resmptd 5411 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
4823simprd 479 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
4947, 48eqeltrd 2698 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
50 resmpt 5408 . . . . . 6 ((𝐵𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)))
5126, 50ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶))
5213fveq2d 6152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = (ℑ‘0))
53 im0 13827 . . . . . . 7 (ℑ‘0) = 0
5452, 53syl6eq 2671 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = 0)
5554mpteq2dva 4704 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
5651, 55syl5eq 2667 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
5756, 41eqeltrd 2698 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) ∈ MblFn)
5846, 49, 57, 6mbfres2 23318 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
5917ismbfcn2 23312 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
6043, 58, 59mpbir2and 956 1 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cdif 3552  cun 3553  wss 3555  {csn 4148  cmpt 4673   × cxp 5072  dom cdm 5074  cres 5076  cfv 5847  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  cre 13771  cim 13772  volcvol 23139  MblFncmbf 23289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-xmet 19658  df-met 19659  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294
This theorem is referenced by:  mbfi1flim  23396  itg2cnlem1  23434  iblss2  23478  ibladdlem  23492  itgaddlem1  23495  iblabslem  23500  itggt0  23514  itgcn  23515  ibladdnclem  33095  itgaddnclem1  33097  iblabsnclem  33102  ftc1anclem5  33118  ftc1anclem6  33119  ftc1anclem8  33121
  Copyright terms: Public domain W3C validator