MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logneg 24255
Description: The natural logarithm of a negative real number. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logneg (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) + (i · π)))

Proof of Theorem logneg
StepHypRef Expression
1 relogcl 24243 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
21recnd 10020 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
3 ax-icn 9947 . . . . . 6 i ∈ ℂ
4 picn 24132 . . . . . 6 π ∈ ℂ
53, 4mulcli 9997 . . . . 5 (i · π) ∈ ℂ
6 efadd 14760 . . . . 5 (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐴) + (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))))
72, 5, 6sylancl 693 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘((log‘𝐴) + (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))))
8 efipi 24146 . . . . . 6 (exp‘(i · π)) = -1
98oveq2i 6621 . . . . 5 ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · -1)
10 reeflog 24248 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
1110oveq1d 6625 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((exp‘(log‘𝐴)) · -1) = (𝐴 · -1))
129, 11syl5eq 2667 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))) = (𝐴 · -1))
13 rpcn 11793 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
14 neg1cn 11076 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
15 mulcom 9974 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
1613, 14, 15sylancl 693 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
1713mulm1d 10434 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
1816, 17eqtrd 2655 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · -1) = -𝐴)
197, 12, 183eqtrd 2659 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘((log‘𝐴) + (i · π))) = -𝐴)
2019fveq2d 6157 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · π)))) = (log‘-𝐴))
21 addcl 9970 . . . . 5 (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ℂ)
222, 5, 21sylancl 693 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ℂ)
23 pipos 24133 . . . . . . 7 0 < π
24 pire 24131 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
25 lt0neg2 10487 . . . . . . . 8 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 < π ↔ -π < 0)
2723, 26mpbi 220 . . . . . 6 -π < 0
2824renegcli 10294 . . . . . . 7 -π ∈ ℝ
29 0re 9992 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
3028, 29, 24lttri 10115 . . . . . 6 ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
3127, 23, 30mp2an 707 . . . . 5 -π < π
32 crim 13797 . . . . . 6 (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) = π)
331, 24, 32sylancl 693 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) = π)
3431, 33syl5breqr 4656 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))))
3524leidi 10514 . . . . 5 π ≤ π
3633, 35syl6eqbr 4657 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) ≤ π)
37 ellogrn 24227 . . . 4 (((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) ≤ π))
3822, 34, 36, 37syl3anbrc 1244 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ran log)
39 logef 24249 . . 3 (((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · π)))) = ((log‘𝐴) + (i · π)))
4038, 39syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · π)))) = ((log‘𝐴) + (i · π)))
4120, 40eqtr3d 2657 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) + (i · π)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  ran crn 5080  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889  ici 9890   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026  cle 10027  -cneg 10219  +crp 11784  cim 13780  expce 14728  πcpi 14733  logclog 24222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-sin 14736  df-cos 14737  df-pi 14739  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-log 24224
This theorem is referenced by:  logm1  24256  lognegb  24257  cxpsqrt  24366
  Copyright terms: Public domain W3C validator