Theorem logneg 25169

Description: The natural logarithm of a negative real number. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) + (i · π)))

Proof of Theorem logneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcl 25157	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 10666	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 10593	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4		picn 25043	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
5	3, 4	mulcli 10645	. . . . 5 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
6		efadd 15443	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐴) + (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))))
7	2, 5, 6	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘((log‘𝐴) + (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))))
8		efipi 25057	. . . . . 6 ⊢ (exp‘(i · π)) = -1
9	8	oveq2i 7164	. . . . 5 ⊢ ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · -1)
10		reeflog 25162	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
11	10	oveq1d 7168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((exp‘(log‘𝐴)) · -1) = (𝐴 · -1))
12	9, 11	syl5eq 2867	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))) = (𝐴 · -1))
13		rpcn 12397	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		neg1cn 11749	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
15		mulcom 10620	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
16	13, 14, 15	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
17	13	mulm1d 11089	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
18	16, 17	eqtrd 2855	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · -1) = -𝐴)
19	7, 12, 18	3eqtrd 2859	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘((log‘𝐴) + (i · π))) = -𝐴)
20	19	fveq2d 6671	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · π)))) = (log‘-𝐴))
21		addcl 10616	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ℂ)
22	2, 5, 21	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ℂ)
23		pipos 25044	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
24		pire 25042	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
25		lt0neg2 11144	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 < π ↔ -π < 0)
27	23, 26	mpbi 232	. . . . . 6 ⊢ -π < 0
28	24	renegcli 10944	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
29		0re 10640	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
30	28, 29, 24	lttri 10763	. . . . . 6 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
31	27, 23, 30	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ -π < π
32		crim 14470	. . . . . 6 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) = π)
33	1, 24, 32	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) = π)
34	31, 33	breqtrrid 5101	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))))
35	24	leidi 11171	. . . . 5 ⊢ π ≤ π
36	33, 35	eqbrtrdi 5102	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) ≤ π)
37		ellogrn 25141	. . . 4 ⊢ (((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) ≤ π))
38	22, 34, 36, 37	syl3anbrc 1338	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ran log)
39		logef 25163	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · π)))) = ((log‘𝐴) + (i · π)))
40	38, 39	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · π)))) = ((log‘𝐴) + (i · π)))
41	20, 40	eqtr3d 2857	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) + (i · π)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5063  ran crn 5553  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153  ℂcc 10532  ℝcr 10533  0cc0 10534  1c1 10535  ici 10536   + caddc 10537   · cmul 10539   < clt 10672   ≤ cle 10673  -cneg 10868  ℝ⁺crp 12387  ℑcim 14453  expce 15411  πcpi 15416  logclog 25136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-inf2 9101  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611  ax-pre-sup 10612  ax-addf 10613  ax-mulf 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-se 5512  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-of 7406  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-pm 8406  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-div 11295  df-nn 11636  df-2 11698  df-3 11699  df-4 11700  df-5 11701  df-6 11702  df-7 11703  df-8 11704  df-9 11705  df-n0 11896  df-z 11980  df-dec 12097  df-uz 12242  df-q 12347  df-rp 12388  df-xneg 12505  df-xadd 12506  df-xmul 12507  df-ioo 12740  df-ioc 12741  df-ico 12742  df-icc 12743  df-fz 12891  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-mod 13236  df-seq 13368  df-exp 13428  df-fac 13632  df-bc 13661  df-hash 13689  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20533  df-xmet 20534  df-met 20535  df-bl 20536  df-mopn 20537  df-fbas 20538  df-fg 20539  df-cnfld 20542  df-top 21498  df-topon 21515  df-topsp 21537  df-bases 21550  df-cld 21623  df-ntr 21624  df-cls 21625  df-nei 21702  df-lp 21740  df-perf 21741  df-cn 21831  df-cnp 21832  df-haus 21919  df-tx 22166  df-hmeo 22359  df-fil 22450  df-fm 22542  df-flim 22543  df-flf 22544  df-xms 22926  df-ms 22927  df-tms 22928  df-cncf 23482  df-limc 24462  df-dv 24463  df-log 25138

This theorem is referenced by:  logm1  25170  lognegb  25171  cxpsqrt  25284