MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpsqrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpsqrt 24366
Description: The complex exponential function with exponent 1 / 2 exactly matches the complex square root function (the branch cut is in the same place for both functions), and thus serves as a suitable generalization to other 𝑛-th roots and irrational roots. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpsqrt (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))

Proof of Theorem cxpsqrt
StepHypRef Expression
1 halfcn 11199 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℂ
2 halfre 11198 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
3 halfgt0 11200 . . . . . . 7 0 < (1 / 2)
42, 3gt0ne0ii 10516 . . . . . 6 (1 / 2) ≠ 0
5 0cxp 24329 . . . . . 6 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ≠ 0) → (0↑𝑐(1 / 2)) = 0)
61, 4, 5mp2an 707 . . . . 5 (0↑𝑐(1 / 2)) = 0
7 sqrt0 13924 . . . . 5 (√‘0) = 0
86, 7eqtr4i 2646 . . . 4 (0↑𝑐(1 / 2)) = (√‘0)
9 oveq1 6617 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (0↑𝑐(1 / 2)))
10 fveq2 6153 . . . 4 (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = (√‘0))
118, 9, 103eqtr4a 2681 . . 3 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
1211a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
13 ax-icn 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i ∈ ℂ
14 sqrtcl 14043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
1514ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
16 sqmul 12874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
1713, 15, 16sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
18 i2 12913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i↑2) = -1
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i↑2) = -1)
20 sqrtth 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
2120ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
2219, 21oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)) = (-1 · 𝐴))
23 mulm1 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
2423ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
2517, 22, 243eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴)
26 cxpsqrtlem 24365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℝ)
2726resqcld 12983 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
2825, 27eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
29 negeq0 10287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
3029necon3bid 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ -𝐴 ≠ 0))
3130biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ≠ 0)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ≠ 0)
3325, 32eqnetrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) ≠ 0)
34 sq0i 12904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i · (√‘𝐴)) = 0 → ((i · (√‘𝐴))↑2) = 0)
3534necon3i 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((i · (√‘𝐴))↑2) ≠ 0 → (i · (√‘𝐴)) ≠ 0)
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ≠ 0)
3726, 36sqgt0d 12985 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 < ((i · (√‘𝐴))↑2))
3837, 25breqtrd 4644 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 < -𝐴)
3928, 38elrpd 11821 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ+)
40 logneg 24255 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
42 negneg 10283 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
4342ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → --𝐴 = 𝐴)
4443fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘--𝐴) = (log‘𝐴))
4539relogcld 24290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘-𝐴) ∈ ℝ)
4645recnd 10020 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘-𝐴) ∈ ℂ)
47 picn 24132 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
4813, 47mulcli 9997 . . . . . . . . . . . . 13 (i · π) ∈ ℂ
49 addcom 10174 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘-𝐴) + (i · π)) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
5046, 48, 49sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((log‘-𝐴) + (i · π)) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
5141, 44, 503eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘𝐴) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
5251oveq2d 6626 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))))
53 adddi 9977 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ ∧ (log‘-𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
541, 48, 53mp3an12 1411 . . . . . . . . . . 11 ((log‘-𝐴) ∈ ℂ → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
5546, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
5652, 55eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
57 2cn 11043 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
58 2ne0 11065 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
59 divrec2 10654 . . . . . . . . . . . 12 (((i · π) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((i · π) / 2) = ((1 / 2) · (i · π)))
6048, 57, 58, 59mp3an 1421 . . . . . . . . . . 11 ((i · π) / 2) = ((1 / 2) · (i · π))
6113, 47, 57, 58divassi 10733 . . . . . . . . . . 11 ((i · π) / 2) = (i · (π / 2))
6260, 61eqtr3i 2645 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) · (i · π)) = (i · (π / 2))
6362oveq1i 6620 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))) = ((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))
6456, 63syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = ((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
6564fveq2d 6157 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
6647, 57, 58divcli 10719 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℂ
6713, 66mulcli 9997 . . . . . . . 8 (i · (π / 2)) ∈ ℂ
68 mulcl 9972 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘-𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ)
691, 46, 68sylancr 694 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ)
70 efadd 14760 . . . . . . . 8 (((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
7167, 69, 70sylancr 694 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
72 efhalfpi 24144 . . . . . . . . 9 (exp‘(i · (π / 2))) = i
7372a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘(i · (π / 2))) = i)
74 negcl 10233 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
7574ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
761a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
77 cxpef 24328 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0 ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
7875, 32, 76, 77syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
79 ax-1cn 9946 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
80 2halves 11212 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
8281oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . 12 (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (-𝐴𝑐1)
83 cxp1 24334 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴𝑐1) = -𝐴)
8475, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐1) = -𝐴)
8582, 84syl5eq 2667 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = -𝐴)
86 rpcxpcl 24339 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
8739, 2, 86sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
8887rpcnd 11826 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
8988sqvald 12953 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((-𝐴𝑐(1 / 2)) · (-𝐴𝑐(1 / 2))))
90 cxpadd 24342 . . . . . . . . . . . . 13 (((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((-𝐴𝑐(1 / 2)) · (-𝐴𝑐(1 / 2))))
9175, 32, 76, 76, 90syl211anc 1329 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((-𝐴𝑐(1 / 2)) · (-𝐴𝑐(1 / 2))))
9289, 91eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))))
9375sqsqrtd 14120 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘-𝐴)↑2) = -𝐴)
9485, 92, 933eqtr4d 2665 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2))
9587rprege0d 11831 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (-𝐴𝑐(1 / 2))))
9639rpsqrtcld 14092 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘-𝐴) ∈ ℝ+)
9796rprege0d 11831 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘-𝐴)))
98 sq11 12884 . . . . . . . . . . 11 ((((-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (-𝐴𝑐(1 / 2))) ∧ ((√‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘-𝐴))) → (((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2) ↔ (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴)))
9995, 97, 98syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2) ↔ (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴)))
10094, 99mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴))
10178, 100eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))) = (√‘-𝐴))
10273, 101oveq12d 6628 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = (i · (√‘-𝐴)))
10365, 71, 1023eqtrd 2659 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = (i · (√‘-𝐴)))
104 cxpef 24328 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
1051, 104mp3an3 1410 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
106105adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
10743fveq2d 6157 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘--𝐴) = (√‘𝐴))
10839rpge0d 11828 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 ≤ -𝐴)
10928, 108sqrtnegd 14102 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘--𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
110107, 109eqtr3d 2657 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
111103, 106, 1103eqtr4d 2665 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
112111ex 450 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
11381oveq2i 6621 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴𝑐1)
114 cxpadd 24342 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
1151, 1, 114mp3an23 1413 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
116 cxp1 24334 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
117116adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
118113, 115, 1173eqtr3a 2679 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))) = 𝐴)
119 cxpcl 24337 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
1201, 119mpan2 706 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
121120sqvald 12953 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
122121adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
12320adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
124118, 122, 1233eqtr4d 2665 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
125 sqeqor 12926 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2) ↔ ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴))))
126120, 14, 125syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2) ↔ ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴))))
127126biimpa 501 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2)) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
128124, 127syldan 487 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
129128ord 392 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
130129con1d 139 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
131112, 130pm2.61d 170 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
132131ex 450 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
13312, 132pm2.61dne 2876 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889  ici 9890   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026  cle 10027  -cneg 10219   / cdiv 10636  2c2 11022  +crp 11784  cexp 12808  csqrt 13915  expce 14728  πcpi 14733  logclog 24222  𝑐ccxp 24223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-sin 14736  df-cos 14737  df-pi 14739  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-log 24224  df-cxp 24225
This theorem is referenced by:  logsqrt  24367  dvsqrt  24400  dvcnsqrt  24402  resqrtcn  24407  sqrtcn  24408  efiatan  24556  efiatan2  24561  sqrtlim  24616  chpchtlim  25085
  Copyright terms: Public domain W3C validator