Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellqrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellqrex 37945
Description: There is a nontrivial solution of a Pell equation in the first quadrant. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellqrex (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem pellqrex
Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3875 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
2 eldifn 3876 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ¬ 𝐷 ∈ ◻NN)
31anim1i 593 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → (𝐷 ∈ ℕ ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
4 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐷 → (√‘𝑎) = (√‘𝐷))
54eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷 → ((√‘𝑎) ∈ ℚ ↔ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
6 df-squarenn 37907 . . . . . 6 NN = {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ}
75, 6elrab2 3507 . . . . 5 (𝐷 ∈ ◻NN ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
83, 7sylibr 224 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → 𝐷 ∈ ◻NN)
92, 8mtand 694 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ)
10 pellex 37901 . . 3 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ∃𝑐 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
111, 9, 10syl2anc 696 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑐 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
12 simpll 807 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
13 nnnn0 11491 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ ℕ → 𝑐 ∈ ℕ0)
1413adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ ℕ0)
1514ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 𝑐 ∈ ℕ0)
16 nnnn0 11491 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
1716adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑑 ∈ ℕ0)
1817ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 𝑑 ∈ ℕ0)
19 simpr 479 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
20 pellqrexplicit 37943 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
2112, 15, 18, 19, 20syl31anc 1480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
22 1re 10231 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℝ)
2422, 22readdcli 10245 . . . . . . . 8 (1 + 1) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 + 1) ∈ ℝ)
26 nnre 11219 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ℕ → 𝑐 ∈ ℝ)
2726ad2antrl 766 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝑐 ∈ ℝ)
281adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝐷 ∈ ℕ)
2928nnrpd 12063 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
3029rpsqrtcld 14349 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
3130rpred 12065 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
32 nnre 11219 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℝ)
3332ad2antll 767 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝑑 ∈ ℝ)
3431, 33remulcld 10262 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((√‘𝐷) · 𝑑) ∈ ℝ)
3527, 34readdcld 10261 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ ℝ)
3622ltp1i 11119 . . . . . . . 8 1 < (1 + 1)
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 < (1 + 1))
38 nnge1 11238 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑐)
3938ad2antrl 766 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑐)
40 1t1e1 11367 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
41 nnge1 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐷)
42 sq1 13152 . . . . . . . . . . . . . 14 (1↑2) = 1
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → (1↑2) = 1)
44 nncn 11220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
4544sqsqrtd 14377 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
4641, 43, 453brtr4d 4836 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ → (1↑2) ≤ ((√‘𝐷)↑2))
4722a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
48 nnrp 12035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ+)
4948rpsqrtcld 14349 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ ℕ → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
5049rpred 12065 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
51 0le1 10743 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
5349rpge0d 12069 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → 0 ≤ (√‘𝐷))
5447, 50, 52, 53le2sqd 13238 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ → (1 ≤ (√‘𝐷) ↔ (1↑2) ≤ ((√‘𝐷)↑2)))
5546, 54mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℕ → 1 ≤ (√‘𝐷))
5628, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ (√‘𝐷))
57 nnge1 11238 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑑)
5857ad2antll 767 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑑)
5923, 51jctir 562 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
60 lemul12a 11073 . . . . . . . . . . 11 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (√‘𝐷) ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → ((1 ≤ (√‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝑑) → (1 · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑)))
6159, 31, 59, 33, 60syl22anc 1478 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((1 ≤ (√‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝑑) → (1 · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑)))
6256, 58, 61mp2and 717 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑))
6340, 62syl5eqbrr 4840 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑))
6423, 23, 27, 34, 39, 63le2addd 10838 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 + 1) ≤ (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
6523, 25, 35, 37, 64ltletrd 10389 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
6665adantr 472 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
67 breq2 4808 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) → (1 < 𝑥 ↔ 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
6867rspcev 3449 . . . . 5 (((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
6921, 66, 68syl2anc 696 . . . 4 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
7069ex 449 . . 3 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥))
7170rexlimdvva 3176 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑐 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥))
7211, 71mpd 15 1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  cdif 3712   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cq 11981  cexp 13054  csqrt 14172  NNcsquarenn 37902  Pell1QRcpell1qr 37903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-ico 12374  df-fz 12520  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-numer 15645  df-denom 15646  df-squarenn 37907  df-pell1qr 37908
This theorem is referenced by:  pellfundre  37947  pellfundge  37948  pellfundglb  37951
  Copyright terms: Public domain W3C validator