MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recos4p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recos4p 14654
Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the cosine of a real number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efi4p.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
recos4p (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem recos4p
StepHypRef Expression
1 recosval 14651 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))
2 recn 9882 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 efi4p.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
43efi4p 14652 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
52, 4syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
65fveq2d 6092 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (ℜ‘(((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
7 1re 9895 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8 resqcl 12748 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
98rehalfcld 11126 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ)
10 resubcl 10196 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
117, 9, 10sylancr 693 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
1211recnd 9924 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
13 ax-icn 9851 . . . . . 6 i ∈ ℂ
14 3nn0 11157 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ0
15 reexpcl 12694 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
1614, 15mpan2 702 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
17 6re 10948 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℝ
18 6pos 10966 . . . . . . . . . . 11 0 < 6
1917, 18gt0ne0ii 10413 . . . . . . . . . 10 6 ≠ 0
20 redivcl 10593 . . . . . . . . . 10 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
2117, 19, 20mp3an23 1407 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
2216, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
23 resubcl 10196 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
2422, 23mpdan 698 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
2524recnd 9924 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ)
26 mulcl 9876 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) ∈ ℂ)
2713, 25, 26sylancr 693 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) ∈ ℂ)
2812, 27addcld 9915 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) ∈ ℂ)
29 mulcl 9876 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3013, 2, 29sylancr 693 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31 4nn0 11158 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
323eftlcl 14622 . . . . 5 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3330, 31, 32sylancl 692 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3428, 33readdd 13748 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))) = ((ℜ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
3511, 24crred 13765 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
3635oveq1d 6542 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((ℜ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
376, 34, 363eqtrd 2647 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
381, 37eqtrd 2643 1 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  ici 9794   + caddc 9795   · cmul 9797  cmin 10117   / cdiv 10533  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  6c6 10921  0cn0 11139  cuz 11519  cexp 12677  !cfa 12877  cre 13631  Σcsu 14210  expce 14577  cosccos 14580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-ico 12008  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-cos 14586
This theorem is referenced by:  cos01bnd  14701
  Copyright terms: Public domain W3C validator