MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos01bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos01bnd 14960
Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
cos01bnd (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))

Proof of Theorem cos01bnd
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 10124 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
2 1re 10077 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
3 elioc2 12274 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
41, 2, 3mp2an 708 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
54simp1bi 1096 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
76recos4p 14913 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
85, 7syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
98eqcomd 2657 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) = (cos‘𝐴))
105recoscld 14918 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
1110recnd 10106 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
125resqcld 13075 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
1312rehalfcld 11317 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ)
14 resubcl 10383 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
152, 13, 14sylancr 696 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
1615recnd 10106 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
17 ax-icn 10033 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
185recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
19 mulcl 10058 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
2017, 18, 19sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
21 4nn0 11349 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
226eftlcl 14881 . . . . . . . . 9 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2320, 21, 22sylancl 695 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2423recld 13978 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
2524recnd 10106 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℂ)
2611, 16, 25subaddd 10448 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2))) = (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ↔ ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) = (cos‘𝐴)))
279, 26mpbird 247 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2))) = (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
2827fveq2d 6233 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) = (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
2925abscld 14219 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ∈ ℝ)
3023abscld 14219 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
31 6nn 11227 . . . . 5 6 ∈ ℕ
32 nndivre 11094 . . . . 5 (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℝ)
3312, 31, 32sylancl 695 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℝ)
34 absrele 14092 . . . . 5 𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
3523, 34syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
36 reexpcl 12917 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
375, 21, 36sylancl 695 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
38 nndivre 11094 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
3937, 31, 38sylancl 695 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
406ef01bndlem 14958 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
41 2nn0 11347 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
4241a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 2 ∈ ℕ0)
43 4z 11449 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
44 2re 11128 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
45 4re 11135 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
46 2lt4 11236 . . . . . . . . . 10 2 < 4
4744, 45, 46ltleii 10198 . . . . . . . . 9 2 ≤ 4
48 2z 11447 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
4948eluz1i 11733 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
5043, 47, 49mpbir2an 975 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘2)
5150a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ (ℤ‘2))
524simp2bi 1097 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
53 0re 10078 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
54 ltle 10164 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5553, 5, 54sylancr 696 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5652, 55mpd 15 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
574simp3bi 1098 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
585, 42, 51, 56, 57leexp2rd 13082 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2))
59 6re 11139 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
6059a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 6 ∈ ℝ)
61 6pos 11157 . . . . . . . 8 0 < 6
6261a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 6)
63 lediv1 10926 . . . . . . 7 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6)))
6437, 12, 60, 62, 63syl112anc 1370 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6)))
6558, 64mpbid 222 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6))
6630, 39, 33, 40, 65ltletrd 10235 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑2) / 6))
6729, 30, 33, 35, 66lelttrd 10233 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) < ((𝐴↑2) / 6))
6828, 67eqbrtrd 4707 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6))
6910, 15, 33absdifltd 14216 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6) ↔ (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)))))
70 1cnd 10094 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 1 ∈ ℂ)
7113recnd 10106 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
7233recnd 10106 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℂ)
7370, 71, 72subsub4d 10461 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6))))
74 halfpm6th 11291 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
7574simpri 477 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
7675oveq2i 6701 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = ((𝐴↑2) · (2 / 3))
7712recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
78 2cn 11129 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
79 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
8078, 79reccli 10793 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ ℂ
81 6cn 11140 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
8231nnne0i 11093 . . . . . . . . . . . 12 6 ≠ 0
8381, 82reccli 10793 . . . . . . . . . . 11 (1 / 6) ∈ ℂ
84 adddi 10063 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
8580, 83, 84mp3an23 1456 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
8677, 85syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
8776, 86syl5eqr 2699 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
88 3cn 11133 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
89 3ne0 11153 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
9088, 89pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
91 div12 10745 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
9278, 90, 91mp3an13 1455 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
9377, 92syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
94 divrec 10739 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
9578, 79, 94mp3an23 1456 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
9677, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
97 divrec 10739 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
9881, 82, 97mp3an23 1456 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
9977, 98syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
10096, 99oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
10187, 93, 1003eqtr4rd 2696 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6)) = (2 · ((𝐴↑2) / 3)))
102101oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6))) = (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
10373, 102eqtrd 2685 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
104103breq1d 4695 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ↔ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)))
10570, 71, 72subsubd 10458 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6))) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)))
10674simpli 473 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
107106oveq2i 6701 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = ((𝐴↑2) · (1 / 3))
108 subdi 10501 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
10980, 83, 108mp3an23 1456 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
11077, 109syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
111107, 110syl5eqr 2699 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (1 / 3)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
112 divrec 10739 . . . . . . . . . 10 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
11388, 89, 112mp3an23 1456 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
11477, 113syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
11596, 99oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
116111, 114, 1153eqtr4rd 2696 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6)) = ((𝐴↑2) / 3))
117116oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6))) = (1 − ((𝐴↑2) / 3)))
118105, 117eqtr3d 2687 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − ((𝐴↑2) / 3)))
119118breq2d 4697 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)) ↔ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))
120104, 119anbi12d 747 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6))) ↔ ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3)))))
12169, 120bitrd 268 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6) ↔ ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3)))))
12268, 121mpbid 222 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ici 9976   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  6c6 11112  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  (,]cioc 12214  cexp 12900  !cfa 13100  cre 13881  abscabs 14018  Σcsu 14460  cosccos 14839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-cos 14845
This theorem is referenced by:  cos1bnd  14961  cos01gt0  14965  tangtx  24302
  Copyright terms: Public domain W3C validator