MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadasslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadasslem 15123
Description: Lemma for sadass 15124. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadasslem.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadasslem.2 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadasslem.3 (𝜑𝐶 ⊆ ℕ0)
sadasslem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadasslem (𝜑 → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))

Proof of Theorem sadasslem
Dummy variables 𝑐 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3816 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
2 sadasslem.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
31, 2syl5ss 3598 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
4 fzofi 12720 . . . . . . . . . . . 12 (0..^𝑁) ∈ Fin
54a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
6 inss2 3817 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
7 ssfi 8131 . . . . . . . . . . 11 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
85, 6, 7sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
9 elfpw 8219 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
103, 8, 9sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
11 bitsf1o 15098 . . . . . . . . . . 11 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
12 f1ocnv 6111 . . . . . . . . . . 11 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
13 f1of 6099 . . . . . . . . . . 11 ((bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
1514ffvelrni 6319 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
1610, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
1716nn0cnd 11304 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
18 inss1 3816 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐵
19 sadasslem.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
2018, 19syl5ss 3598 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
21 inss2 3817 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
22 ssfi 8131 . . . . . . . . . . 11 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
235, 21, 22sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
24 elfpw 8219 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
2520, 23, 24sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
2614ffvelrni 6319 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 11304 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
29 inss1 3816 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐶
30 sadasslem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ⊆ ℕ0)
3129, 30syl5ss 3598 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
32 inss2 3817 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
33 ssfi 8131 . . . . . . . . . . 11 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
345, 32, 33sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
35 elfpw 8219 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
3631, 34, 35sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
3714ffvelrni 6319 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
3938nn0cnd 11304 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
4017, 28, 39addassd 10013 . . . . . 6 (𝜑 → ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) = (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))))))
4140oveq1d 6625 . . . . 5 (𝜑 → (((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))))) mod (2↑𝑁)))
42 inss1 3816 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
43 sadcl 15115 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
442, 19, 43syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
4542, 44syl5ss 3598 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
46 inss2 3817 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
47 ssfi 8131 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
485, 46, 47sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
49 elfpw 8219 . . . . . . . . 9 (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
5045, 48, 49sylanbrc 697 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
5114ffvelrni 6319 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
5352nn0red 11303 . . . . . 6 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
5416nn0red 11303 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
5527nn0red 11303 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
5654, 55readdcld 10020 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
5738nn0red 11303 . . . . . 6 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
58 2rp 11788 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
5958a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
60 sadasslem.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6160nn0zd 11431 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
6259, 61rpexpcld 12979 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
63 eqid 2621 . . . . . . 7 seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
64 eqid 2621 . . . . . . 7 (bits ↾ ℕ0) = (bits ↾ ℕ0)
652, 19, 63, 60, 64sadadd3 15114 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
66 eqidd 2622 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
6753, 56, 57, 57, 62, 65, 66modadd12d 12673 . . . . 5 (𝜑 → ((((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = (((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
68 inss1 3816 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐵 sadd 𝐶)
69 sadcl 15115 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
7019, 30, 69syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
7168, 70syl5ss 3598 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
72 inss2 3817 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
73 ssfi 8131 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
745, 72, 73sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
75 elfpw 8219 . . . . . . . . 9 (((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
7671, 74, 75sylanbrc 697 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
7714ffvelrni 6319 . . . . . . . 8 (((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
7876, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
7978nn0red 11303 . . . . . 6 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
8055, 57readdcld 10020 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
81 eqidd 2622 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
82 eqid 2621 . . . . . . 7 seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐵, 𝑚𝐶, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐵, 𝑚𝐶, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
8319, 30, 82, 60, 64sadadd3 15114 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
8454, 54, 79, 80, 62, 81, 83modadd12d 12673 . . . . 5 (𝜑 → ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))))) mod (2↑𝑁)))
8541, 67, 843eqtr4d 2665 . . . 4 (𝜑 → ((((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
86 eqid 2621 . . . . 5 seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), 𝑚𝐶, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), 𝑚𝐶, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
8744, 30, 86, 60, 64sadadd3 15114 . . . 4 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
88 eqid 2621 . . . . 5 seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚 ∈ (𝐵 sadd 𝐶), ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚 ∈ (𝐵 sadd 𝐶), ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
892, 70, 88, 60, 64sadadd3 15114 . . . 4 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
9085, 87, 893eqtr4d 2665 . . 3 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
91 inss1 3816 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶)
92 sadcl 15115 . . . . . . . . 9 (((𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
9344, 30, 92syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
9491, 93syl5ss 3598 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
95 inss2 3817 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
96 ssfi 8131 . . . . . . . 8 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
975, 95, 96sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
98 elfpw 8219 . . . . . . 7 ((((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
9994, 97, 98sylanbrc 697 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
10014ffvelrni 6319 . . . . . 6 ((((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
10199, 100syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
102101nn0red 11303 . . . 4 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
103101nn0ge0d 11305 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))))
104 fvres 6169 . . . . . . . . 9 (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))))
105101, 104syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))))
106 f1ocnvfv2 6493 . . . . . . . . 9 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))
10711, 99, 106sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))
108105, 107eqtr3d 2657 . . . . . . 7 (𝜑 → (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))
109108, 95syl6eqss 3639 . . . . . 6 (𝜑 → (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
110101nn0zd 11431 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
111 bitsfzo 15088 . . . . . . 7 ((((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
112110, 60, 111syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
113109, 112mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
114 elfzolt2 12427 . . . . 5 (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
115113, 114syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
116 modid 12642 . . . 4 (((((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∧ ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))))
117102, 62, 103, 115, 116syl22anc 1324 . . 3 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))))
118 inss1 3816 . . . . . . . 8 ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶))
119 sadcl 15115 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ⊆ ℕ0)
1202, 70, 119syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ⊆ ℕ0)
121118, 120syl5ss 3598 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
122 inss2 3817 . . . . . . . 8 ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
123 ssfi 8131 . . . . . . . 8 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1245, 122, 123sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
125 elfpw 8219 . . . . . . 7 (((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
126121, 124, 125sylanbrc 697 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
12714ffvelrni 6319 . . . . . 6 (((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
128126, 127syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
129128nn0red 11303 . . . 4 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
130 2nn 11136 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
131130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
132131, 60nnexpcld 12977 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
133132nnrpd 11821 . . . 4 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
134128nn0ge0d 11305 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
135 fvres 6169 . . . . . . . . 9 (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))))
136128, 135syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))))
137 f1ocnvfv2 6493 . . . . . . . . 9 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))
13811, 126, 137sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))
139136, 138eqtr3d 2657 . . . . . . 7 (𝜑 → (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))
140139, 122syl6eqss 3639 . . . . . 6 (𝜑 → (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
141128nn0zd 11431 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
142 bitsfzo 15088 . . . . . . 7 ((((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
143141, 60, 142syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
144140, 143mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
145 elfzolt2 12427 . . . . 5 (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
146144, 145syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
147 modid 12642 . . . 4 (((((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∧ ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
148129, 133, 134, 146, 147syl22anc 1324 . . 3 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
14990, 117, 1483eqtr3d 2663 . 2 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
150 f1of1 6098 . . . . 5 ((bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
15111, 12, 150mp2b 10 . . . 4 (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0
152 f1fveq 6479 . . . 4 (((bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0 ∧ ((((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
153151, 152mpan 705 . . 3 (((((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
15499, 126, 153syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
155149, 154mpbid 222 1 (𝜑 → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  caddwcad 1542  wcel 1987  cin 3558  wss 3559  c0 3896  ifcif 4063  𝒫 cpw 4135   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ccnv 5078  cres 5081  wf 5848  1-1wf1 5849  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  1𝑜c1o 7505  2𝑜c2o 7506  Fincfn 7906  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   < clt 10025  cle 10026  cmin 10217  cn 10971  2c2 11021  0cn0 11243  cz 11328  +crp 11783  ..^cfzo 12413   mod cmo 12615  seqcseq 12748  cexp 12807  bitscbits 15072   sadd csad 15073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-fal 1486  df-had 1530  df-cad 1543  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-xnn0 11315  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-sum 14358  df-dvds 14915  df-bits 15075  df-sad 15104
This theorem is referenced by:  sadass  15124
  Copyright terms: Public domain W3C validator