Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem3a 23523
 Description: Lemma for uniioombl 23528. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
uniioombl.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
uniioombl.m2 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝑀) − sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐶)
uniioombl.k 𝐾 = (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem3a (𝜑 → (𝐾 = 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)) ∧ (vol*‘𝐾) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐹   𝑗,𝐺,𝑥   𝑗,𝐾,𝑥   𝐴,𝑗,𝑥   𝐶,𝑗,𝑥   𝑗,𝑀,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥   𝑇,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑗)   𝐸(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem uniioombllem3a
StepHypRef Expression
1 uniioombl.k . . 3 𝐾 = (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀))
2 ioof 12435 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 uniioombl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
4 inss2 3965 . . . . . . . 8 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
5 rexpssxrxp 10247 . . . . . . . 8 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
64, 5sstri 3741 . . . . . . 7 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7 fss 6205 . . . . . . 7 ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐺:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
83, 6, 7sylancl 697 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
9 fco 6207 . . . . . 6 (((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ ∧ 𝐺:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐺):ℕ⟶𝒫 ℝ)
102, 8, 9sylancr 698 . . . . 5 (𝜑 → ((,) ∘ 𝐺):ℕ⟶𝒫 ℝ)
11 ffun 6197 . . . . 5 (((,) ∘ 𝐺):ℕ⟶𝒫 ℝ → Fun ((,) ∘ 𝐺))
12 funiunfv 6657 . . . . 5 (Fun ((,) ∘ 𝐺) → 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀)))
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (𝜑 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀)))
14 elfznn 12534 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ)
15 fvco3 6425 . . . . . 6 ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ((,)‘(𝐺𝑗)))
163, 14, 15syl2an 495 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ((,)‘(𝐺𝑗)))
1716iuneq2dv 4682 . . . 4 (𝜑 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)))
1813, 17eqtr3d 2784 . . 3 (𝜑 (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀)) = 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)))
191, 18syl5eq 2794 . 2 (𝜑𝐾 = 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)))
20 ffvelrn 6508 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺𝑗) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
213, 14, 20syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑗) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
224, 21sseldi 3730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑗) ∈ (ℝ × ℝ))
23 1st2nd2 7360 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑗) ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑗) = ⟨(1st ‘(𝐺𝑗)), (2nd ‘(𝐺𝑗))⟩)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑗) = ⟨(1st ‘(𝐺𝑗)), (2nd ‘(𝐺𝑗))⟩)
2524fveq2d 6344 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((,)‘(𝐺𝑗)) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺𝑗)), (2nd ‘(𝐺𝑗))⟩))
26 df-ov 6804 . . . . . . . 8 ((1st ‘(𝐺𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺𝑗))) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺𝑗)), (2nd ‘(𝐺𝑗))⟩)
2725, 26syl6eqr 2800 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((,)‘(𝐺𝑗)) = ((1st ‘(𝐺𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺𝑗))))
28 ioossre 12399 . . . . . . 7 ((1st ‘(𝐺𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺𝑗))) ⊆ ℝ
2927, 28syl6eqss 3784 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((,)‘(𝐺𝑗)) ⊆ ℝ)
3029ralrimiva 3092 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)) ⊆ ℝ)
31 iunss 4701 . . . . 5 ( 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)) ⊆ ℝ)
3230, 31sylibr 224 . . . 4 (𝜑 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)) ⊆ ℝ)
3319, 32eqsstrd 3768 . . 3 (𝜑𝐾 ⊆ ℝ)
34 fzfid 12937 . . . 4 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
3527fveq2d 6344 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))) = (vol*‘((1st ‘(𝐺𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺𝑗)))))
36 ovolfcl 23406 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝑗)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝑗))))
373, 14, 36syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((1st ‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝑗)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝑗))))
38 ovolioo 23507 . . . . . . 7 (((1st ‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝑗)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝑗))) → (vol*‘((1st ‘(𝐺𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺𝑗)))) = ((2nd ‘(𝐺𝑗)) − (1st ‘(𝐺𝑗))))
3937, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((1st ‘(𝐺𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺𝑗)))) = ((2nd ‘(𝐺𝑗)) − (1st ‘(𝐺𝑗))))
4035, 39eqtrd 2782 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))) = ((2nd ‘(𝐺𝑗)) − (1st ‘(𝐺𝑗))))
4137simp2d 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (2nd ‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ)
4237simp1d 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (1st ‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ)
4341, 42resubcld 10621 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((2nd ‘(𝐺𝑗)) − (1st ‘(𝐺𝑗))) ∈ ℝ)
4440, 43eqeltrd 2827 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))) ∈ ℝ)
4534, 44fsumrecl 14635 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))) ∈ ℝ)
4619fveq2d 6344 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘𝐾) = (vol*‘ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗))))
4729, 44jca 555 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (((,)‘(𝐺𝑗)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))) ∈ ℝ))
4847ralrimiva 3092 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,)‘(𝐺𝑗)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))) ∈ ℝ))
49 ovolfiniun 23440 . . . . 5 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,)‘(𝐺𝑗)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))) ∈ ℝ)) → (vol*‘ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗))) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))))
5034, 48, 49syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗))) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))))
5146, 50eqbrtrd 4814 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝐾) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))))
52 ovollecl 23422 . . 3 ((𝐾 ⊆ ℝ ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐾) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺𝑗)))) → (vol*‘𝐾) ∈ ℝ)
5333, 45, 51, 52syl3anc 1463 . 2 (𝜑 → (vol*‘𝐾) ∈ ℝ)
5419, 53jca 555 1 (𝜑 → (𝐾 = 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)) ∧ (vol*‘𝐾) ∈ ℝ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  ∀wral 3038   ∩ cin 3702   ⊆ wss 3703  𝒫 cpw 4290  ⟨cop 4315  ∪ cuni 4576  ∪ ciun 4660  Disj wdisj 4760   class class class wbr 4792   × cxp 5252  ran crn 5255   “ cima 5257   ∘ ccom 5258  Fun wfun 6031  ⟶wf 6033  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  1st c1st 7319  2nd c2nd 7320  Fincfn 8109  supcsup 8499  ℝcr 10098  1c1 10100   + caddc 10102  ℝ*cxr 10236   < clt 10237   ≤ cle 10238   − cmin 10429  ℕcn 11183  ℝ+crp 11996  (,)cioo 12339  ...cfz 12490  seqcseq 12966  abscabs 14144  Σcsu 14586  vol*covol 23402 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8470  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-ioo 12343  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-rest 16256  df-topgen 16277  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-top 20872  df-topon 20889  df-bases 20923  df-cmp 21363  df-ovol 23404  df-vol 23405 This theorem is referenced by:  uniioombllem3  23524
 Copyright terms: Public domain W3C validator