MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombl 23338
Description: A disjoint union of open intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 23302.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 214. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
uniioombl (𝜑 ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem uniioombl
Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 12256 . . . . 5 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2 uniioombl.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
3 inss2 3826 . . . . . . 7 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
4 rexpssxrxp 10069 . . . . . . 7 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
53, 4sstri 3604 . . . . . 6 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
6 fss 6043 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
72, 5, 6sylancl 693 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
8 fco 6045 . . . . 5 (((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ ∧ 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
91, 7, 8sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
10 frn 6040 . . . 4 (((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ → ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ)
12 sspwuni 4602 . . 3 (ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
1311, 12sylib 208 . 2 (𝜑 ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
14 elpwi 4159 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑧 ⊆ ℝ)
1514ad2antrl 763 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → 𝑧 ⊆ ℝ)
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑧 ⊆ ℝ)
17 simprr 795 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
1817adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
19 rphalfcl 11843 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
2019rphalfcld 11869 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
2120adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
22 eqid 2620 . . . . . . . . . 10 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
2322ovolgelb 23229 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))
2416, 18, 21, 23syl3anc 1324 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))
252ad3antrrr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
26 uniioombl.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
2726ad3antrrr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
28 uniioombl.3 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
29 eqid 2620 . . . . . . . . 9 ran ((,) ∘ 𝐹) = ran ((,) ∘ 𝐹)
3018adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
3119adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
3231adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
3332rphalfcld 11869 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
34 elmapi 7864 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
3534ad2antrl 763 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
36 simprrl 803 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓))
37 simprrr 804 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2)))
3825, 27, 28, 29, 30, 33, 35, 36, 22, 37uniioombllem6 23337 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))))
3924, 38rexlimddv 3031 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))))
40 rpcn 11826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℂ)
4140adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℂ)
42 2cnd 11078 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
43 2ne0 11098 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
4541, 42, 42, 44, 44divdiv1d 10817 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) = (𝑟 / (2 · 2)))
46 2t2e4 11162 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 2) = 4
4746oveq2i 6646 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 / (2 · 2)) = (𝑟 / 4)
4845, 47syl6eq 2670 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) = (𝑟 / 4))
4948oveq2d 6651 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · ((𝑟 / 2) / 2)) = (4 · (𝑟 / 4)))
50 4cn 11083 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 4 ∈ ℂ)
52 4ne0 11102 . . . . . . . . . . 11 4 ≠ 0
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 4 ≠ 0)
5441, 51, 53divcan2d 10788 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · (𝑟 / 4)) = 𝑟)
5549, 54eqtrd 2654 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · ((𝑟 / 2) / 2)) = 𝑟)
5655oveq2d 6651 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))) = ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
5739, 56breqtrd 4670 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
5857ralrimiva 2963 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
59 inss1 3825 . . . . . . . . 9 (𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧
6059a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧)
61 ovolsscl 23235 . . . . . . . 8 (((𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
6260, 15, 17, 61syl3anc 1324 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
63 difssd 3730 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧)
64 ovolsscl 23235 . . . . . . . 8 (((𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
6563, 15, 17, 64syl3anc 1324 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
6662, 65readdcld 10054 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ)
67 alrple 12022 . . . . . 6 ((((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟)))
6866, 17, 67syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟)))
6958, 68mpbird 247 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧))
7069expr 642 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧)))
7170ralrimiva 2963 . 2 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧)))
72 ismbl2 23276 . 2 ( ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ ( ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧))))
7313, 71, 72sylanbrc 697 1 (𝜑 ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  cdif 3564  cin 3566  wss 3567  𝒫 cpw 4149   cuni 4427  Disj wdisj 4611   class class class wbr 4644   × cxp 5102  dom cdm 5104  ran crn 5105  ccom 5108  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  𝑚 cmap 7842  supcsup 8331  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251   / cdiv 10669  cn 11005  2c2 11055  4c4 11057  +crp 11817  (,)cioo 12160  seqcseq 12784  abscabs 13955  vol*covol 23212  volcvol 23213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-disj 4612  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-acn 8753  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-rest 16064  df-topgen 16085  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-top 20680  df-topon 20697  df-bases 20731  df-cmp 21171  df-ovol 23214  df-vol 23215
This theorem is referenced by:  uniiccmbl  23339
  Copyright terms: Public domain W3C validator