MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombl 23076
Description: A disjoint union of open intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 23041.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 214. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
uniioombl (𝜑 ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem uniioombl
Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 12094 . . . . 5 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2 uniioombl.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
3 inss2 3791 . . . . . . 7 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
4 rexpssxrxp 9936 . . . . . . 7 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
53, 4sstri 3572 . . . . . 6 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
6 fss 5951 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
72, 5, 6sylancl 692 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
8 fco 5953 . . . . 5 (((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ ∧ 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
91, 7, 8sylancr 693 . . . 4 (𝜑 → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
10 frn 5948 . . . 4 (((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ → ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ)
12 sspwuni 4537 . . 3 (ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
1311, 12sylib 206 . 2 (𝜑 ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
14 elpwi 4112 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑧 ⊆ ℝ)
1514ad2antrl 759 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → 𝑧 ⊆ ℝ)
1615adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑧 ⊆ ℝ)
17 simprr 791 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
1817adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
19 rphalfcl 11686 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
2019rphalfcld 11712 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
2120adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
22 eqid 2605 . . . . . . . . . 10 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
2322ovolgelb 22968 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))
2416, 18, 21, 23syl3anc 1317 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))
252ad3antrrr 761 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
26 uniioombl.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
2726ad3antrrr 761 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
28 uniioombl.3 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
29 eqid 2605 . . . . . . . . 9 ran ((,) ∘ 𝐹) = ran ((,) ∘ 𝐹)
3018adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
3119adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
3231adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
3332rphalfcld 11712 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
34 elmapi 7738 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
3534ad2antrl 759 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
36 simprrl 799 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓))
37 simprrr 800 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2)))
3825, 27, 28, 29, 30, 33, 35, 36, 22, 37uniioombllem6 23075 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))))
3924, 38rexlimddv 3012 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))))
40 rpcn 11669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℂ)
4140adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℂ)
42 2cnd 10936 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
43 2ne0 10956 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
4541, 42, 42, 44, 44divdiv1d 10677 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) = (𝑟 / (2 · 2)))
46 2t2e4 11020 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 2) = 4
4746oveq2i 6534 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 / (2 · 2)) = (𝑟 / 4)
4845, 47syl6eq 2655 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) = (𝑟 / 4))
4948oveq2d 6539 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · ((𝑟 / 2) / 2)) = (4 · (𝑟 / 4)))
50 4cn 10941 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 4 ∈ ℂ)
52 4ne0 10960 . . . . . . . . . . 11 4 ≠ 0
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 4 ≠ 0)
5441, 51, 53divcan2d 10648 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · (𝑟 / 4)) = 𝑟)
5549, 54eqtrd 2639 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · ((𝑟 / 2) / 2)) = 𝑟)
5655oveq2d 6539 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))) = ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
5739, 56breqtrd 4599 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
5857ralrimiva 2944 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
59 inss1 3790 . . . . . . . . 9 (𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧
6059a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧)
61 ovolsscl 22974 . . . . . . . 8 (((𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
6260, 15, 17, 61syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
63 difssd 3695 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧)
64 ovolsscl 22974 . . . . . . . 8 (((𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
6563, 15, 17, 64syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
6662, 65readdcld 9921 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ)
67 alrple 11866 . . . . . 6 ((((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟)))
6866, 17, 67syl2anc 690 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟)))
6958, 68mpbird 245 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧))
7069expr 640 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧)))
7170ralrimiva 2944 . 2 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧)))
72 ismbl2 23015 . 2 ( ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ ( ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧))))
7313, 71, 72sylanbrc 694 1 (𝜑 ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wral 2891  wrex 2892  cdif 3532  cin 3534  wss 3535  𝒫 cpw 4103   cuni 4362  Disj wdisj 4543   class class class wbr 4573   × cxp 5022  dom cdm 5024  ran crn 5025  ccom 5028  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  𝑚 cmap 7717  supcsup 8202  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791   · cmul 9793  *cxr 9925   < clt 9926  cle 9927  cmin 10113   / cdiv 10529  cn 10863  2c2 10913  4c4 10915  +crp 11660  (,)cioo 11998  seqcseq 12614  abscabs 13764  vol*covol 22951  volcvol 22952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-disj 4544  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-acn 8624  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207  df-rest 15848  df-topgen 15869  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-cmp 20938  df-ovol 22953  df-vol 22954
This theorem is referenced by:  uniiccmbl  23077
  Copyright terms: Public domain W3C validator