MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmalelog Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vmalelog 24975
Description: The von Mangoldt function is less than the natural log. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmalelog (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴))

Proof of Theorem vmalelog
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4688 . 2 ((Λ‘𝐴) = 0 → ((Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴) ↔ 0 ≤ (log‘𝐴)))
2 isppw2 24886 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝𝑘)))
3 prmnn 15435 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
43nnrpd 11908 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ+)
54adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℝ+)
65relogcld 24414 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
7 nnre 11065 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
87adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
9 log1 24377 . . . . . . . . 9 (log‘1) = 0
103adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
1110nnge1d 11101 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑝)
12 1rp 11874 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
13 logleb 24394 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑝 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑝)))
1412, 5, 13sylancr 696 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑝 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑝)))
1511, 14mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘1) ≤ (log‘𝑝))
169, 15syl5eqbrr 4721 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (log‘𝑝))
17 nnge1 11084 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
1817adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑘)
196, 8, 16, 18lemulge12d 11000 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑝) ≤ (𝑘 · (log‘𝑝)))
20 vmappw 24887 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝𝑘)) = (log‘𝑝))
21 nnz 11437 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
22 relogexp 24387 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (log‘(𝑝𝑘)) = (𝑘 · (log‘𝑝)))
234, 21, 22syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(𝑝𝑘)) = (𝑘 · (log‘𝑝)))
2419, 20, 233brtr4d 4717 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘(𝑝𝑘)))
25 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑝𝑘) → (Λ‘𝐴) = (Λ‘(𝑝𝑘)))
26 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑝𝑘) → (log‘𝐴) = (log‘(𝑝𝑘)))
2725, 26breq12d 4698 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑝𝑘) → ((Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴) ↔ (Λ‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘(𝑝𝑘))))
2824, 27syl5ibrcom 237 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑝𝑘) → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴)))
2928rexlimivv 3065 . . . 4 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝𝑘) → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴))
302, 29syl6bi 243 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴)))
3130imp 444 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (Λ‘𝐴) ≠ 0) → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴))
32 nnge1 11084 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
33 nnrp 11880 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
34 logleb 24394 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
3512, 33, 34sylancr 696 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
3632, 35mpbid 222 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (log‘1) ≤ (log‘𝐴))
379, 36syl5eqbrr 4721 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ (log‘𝐴))
381, 31, 37pm2.61ne 2908 1 (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  cle 10113  cn 11058  cz 11415  +crp 11870  cexp 12900  cprime 15432  logclog 24346  Λcvma 24863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-vma 24869
This theorem is referenced by:  pntpbnd1a  25319  hgt750lemb  30862
  Copyright terms: Public domain W3C validator