MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmalelog Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vmalelog 24825
Description: The von Mangoldt function is less than the natural log. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmalelog (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴))

Proof of Theorem vmalelog
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4621 . 2 ((Λ‘𝐴) = 0 → ((Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴) ↔ 0 ≤ (log‘𝐴)))
2 isppw2 24736 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝𝑘)))
3 prmnn 15307 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
43nnrpd 11814 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ+)
54adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℝ+)
65relogcld 24268 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
7 nnre 10972 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
87adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
9 log1 24231 . . . . . . . . 9 (log‘1) = 0
103adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
1110nnge1d 11008 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑝)
12 1rp 11780 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
13 logleb 24248 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑝 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑝)))
1412, 5, 13sylancr 694 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑝 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑝)))
1511, 14mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘1) ≤ (log‘𝑝))
169, 15syl5eqbrr 4654 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (log‘𝑝))
17 nnge1 10991 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
1817adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑘)
196, 8, 16, 18lemulge12d 10907 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑝) ≤ (𝑘 · (log‘𝑝)))
20 vmappw 24737 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝𝑘)) = (log‘𝑝))
21 nnz 11344 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
22 relogexp 24241 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (log‘(𝑝𝑘)) = (𝑘 · (log‘𝑝)))
234, 21, 22syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(𝑝𝑘)) = (𝑘 · (log‘𝑝)))
2419, 20, 233brtr4d 4650 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘(𝑝𝑘)))
25 fveq2 6150 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑝𝑘) → (Λ‘𝐴) = (Λ‘(𝑝𝑘)))
26 fveq2 6150 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑝𝑘) → (log‘𝐴) = (log‘(𝑝𝑘)))
2725, 26breq12d 4631 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑝𝑘) → ((Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴) ↔ (Λ‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘(𝑝𝑘))))
2824, 27syl5ibrcom 237 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑝𝑘) → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴)))
2928rexlimivv 3034 . . . 4 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝𝑘) → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴))
302, 29syl6bi 243 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴)))
3130imp 445 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (Λ‘𝐴) ≠ 0) → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴))
32 nnge1 10991 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
33 nnrp 11786 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
34 logleb 24248 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
3512, 33, 34sylancr 694 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
3632, 35mpbid 222 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (log‘1) ≤ (log‘𝐴))
379, 36syl5eqbrr 4654 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ (log‘𝐴))
381, 31, 37pm2.61ne 2881 1 (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wrex 2913   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886  cle 10020  cn 10965  cz 11322  +crp 11776  cexp 12797  cprime 15304  logclog 24200  Λcvma 24713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ioc 12119  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-shft 13736  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-ef 14718  df-sin 14720  df-cos 14721  df-pi 14723  df-dvds 14903  df-gcd 15136  df-prm 15305  df-pc 15461  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584  df-limc 23531  df-dv 23532  df-log 24202  df-vma 24719
This theorem is referenced by:  pntpbnd1a  25169
  Copyright terms: Public domain W3C validator