MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relogcld 24350
Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
relogcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
relogcld (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcld
StepHypRef Expression
1 relogcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 relogcl 24303 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1988  cfv 5876  cr 9920  +crp 11817  logclog 24282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-bc 13073  df-hash 13101  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-ef 14779  df-sin 14781  df-cos 14782  df-pi 14784  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-haus 21100  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cncf 22662  df-limc 23611  df-dv 23612  df-log 24284
This theorem is referenced by:  logcnlem3  24371  advlogexp  24382  logccv  24390  recxpcl  24402  cxpsqrt  24430  loglesqrt  24480  logbrec  24501  logbleb  24502  logblt  24503  ang180lem2  24521  isosctrlem2  24530  atanlogaddlem  24621  atantan  24631  birthdaylem2  24660  birthdaylem3  24661  amgmlem  24697  emcllem1  24703  emcllem2  24704  emcllem3  24705  emcllem4  24706  emcllem5  24707  emcllem6  24708  harmonicubnd  24717  fsumharmonic  24719  zetacvg  24722  lgamgulmlem3  24738  lgamgulmlem4  24739  lgamgulmlem5  24740  lgamgulmlem6  24741  lgamgulm2  24743  lgambdd  24744  lgamcvg2  24762  gamcvg  24763  gamcvg2lem  24766  relgamcl  24769  lgam1  24771  chtf  24815  efchtcl  24818  chtge0  24819  vmacl  24825  chtprm  24860  chtdif  24865  efchtdvds  24866  prmorcht  24885  vmalelog  24911  chtleppi  24916  chtublem  24917  fsumvma2  24920  pclogsum  24921  vmasum  24922  chpval2  24924  chpchtsum  24925  chpub  24926  logfacubnd  24927  logfaclbnd  24928  logexprlim  24931  logfacrlim2  24932  bposlem1  24990  bposlem9  24998  chebbnd1lem1  25139  chebbnd1lem2  25140  chebbnd1lem3  25141  chtppilimlem1  25143  chpchtlim  25149  vmadivsum  25152  vmadivsumb  25153  rplogsumlem1  25154  rplogsumlem2  25155  rpvmasumlem  25157  dchrvmasumlem1  25165  dchrvmasum2lem  25166  dchrvmasum2if  25167  dchrvmasumiflem1  25171  dchrvmasumiflem2  25172  rplogsum  25197  mulogsumlem  25201  mulogsum  25202  mulog2sumlem1  25204  mulog2sumlem2  25205  mulog2sumlem3  25206  vmalogdivsum2  25208  vmalogdivsum  25209  2vmadivsumlem  25210  logsqvma  25212  logsqvma2  25213  log2sumbnd  25214  selberglem2  25216  selbergb  25219  selberg2lem  25220  selberg2b  25222  chpdifbndlem1  25223  chpdifbndlem2  25224  logdivbnd  25226  selberg3lem1  25227  selberg3lem2  25228  selberg3  25229  selberg4lem1  25230  selberg4  25231  selberg3r  25239  selberg4r  25240  selberg34r  25241  pntsf  25243  pntsval2  25246  pntrlog2bndlem1  25247  pntrlog2bndlem2  25248  pntrlog2bndlem3  25249  pntrlog2bndlem4  25250  pntrlog2bndlem5  25251  pntrlog2bndlem6  25253  pntrlog2bnd  25254  pntpbnd1a  25255  pntpbnd2  25257  pntibndlem2  25261  pntlemb  25267  pntlemg  25268  pntlemh  25269  pntlemn  25270  pntlemr  25272  pntlemj  25273  pntlemf  25275  pntlemk  25276  pntlemo  25277  ostth2lem4  25306  ostth2  25307  ostth3  25308  xrge0iifcnv  29953  xrge0iifiso  29955  xrge0iifhom  29957  hgt750lemd  30700  logdivsqrle  30702  hgt750lem  30703  hgt750lemb  30708  hgt750leme  30710  tgoldbachgtde  30712  stirlinglem4  40057  stirlinglem11  40064  stirlinglem12  40065  stirlinglem13  40066  lighneallem2  41288  rege1logbrege0  42117  amgmwlem  42313
  Copyright terms: Public domain W3C validator