MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relogcld 24085
Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
relogcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
relogcld (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcld
StepHypRef Expression
1 relogcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 relogcl 24038 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1975  cfv 5785  cr 9786  +crp 11659  logclog 24017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-inf2 8393  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-pre-sup 9865  ax-addf 9866  ax-mulf 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-iin 4447  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-se 4983  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-isom 5794  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-of 6767  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-supp 7155  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-2o 7420  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-pm 7719  df-ixp 7767  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-fsupp 8131  df-fi 8172  df-sup 8203  df-inf 8204  df-oi 8270  df-card 8620  df-cda 8845  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-7 10926  df-8 10927  df-9 10928  df-n0 11135  df-z 11206  df-dec 11321  df-uz 11515  df-q 11616  df-rp 11660  df-xneg 11773  df-xadd 11774  df-xmul 11775  df-ioo 12001  df-ioc 12002  df-ico 12003  df-icc 12004  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-fl 12405  df-mod 12481  df-seq 12614  df-exp 12673  df-fac 12873  df-bc 12902  df-hash 12930  df-shft 13596  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-sqrt 13764  df-abs 13765  df-limsup 13991  df-clim 14008  df-rlim 14009  df-sum 14206  df-ef 14578  df-sin 14580  df-cos 14581  df-pi 14583  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-starv 15724  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-ip 15727  df-tset 15728  df-ple 15729  df-ds 15732  df-unif 15733  df-hom 15734  df-cco 15735  df-rest 15847  df-topn 15848  df-0g 15866  df-gsum 15867  df-topgen 15868  df-pt 15869  df-prds 15872  df-xrs 15926  df-qtop 15931  df-imas 15932  df-xps 15934  df-mre 16010  df-mrc 16011  df-acs 16013  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-submnd 17100  df-mulg 17305  df-cntz 17514  df-cmn 17959  df-psmet 19500  df-xmet 19501  df-met 19502  df-bl 19503  df-mopn 19504  df-fbas 19505  df-fg 19506  df-cnfld 19509  df-top 20458  df-bases 20459  df-topon 20460  df-topsp 20461  df-cld 20570  df-ntr 20571  df-cls 20572  df-nei 20649  df-lp 20687  df-perf 20688  df-cn 20778  df-cnp 20779  df-haus 20866  df-tx 21112  df-hmeo 21305  df-fil 21397  df-fm 21489  df-flim 21490  df-flf 21491  df-xms 21871  df-ms 21872  df-tms 21873  df-cncf 22415  df-limc 23348  df-dv 23349  df-log 24019
This theorem is referenced by:  logcnlem3  24102  advlogexp  24113  logccv  24121  recxpcl  24133  cxpsqrt  24161  loglesqrt  24211  logbrec  24232  logbleb  24233  logblt  24234  ang180lem2  24252  isosctrlem2  24261  atanlogaddlem  24352  atantan  24362  birthdaylem2  24391  birthdaylem3  24392  amgmlem  24428  emcllem1  24434  emcllem2  24435  emcllem3  24436  emcllem4  24437  emcllem5  24438  emcllem6  24439  harmonicubnd  24448  fsumharmonic  24450  zetacvg  24453  lgamgulmlem3  24469  lgamgulmlem4  24470  lgamgulmlem5  24471  lgamgulmlem6  24472  lgamgulm2  24474  lgambdd  24475  lgamcvg2  24493  gamcvg  24494  gamcvg2lem  24497  relgamcl  24500  lgam1  24502  chtf  24546  efchtcl  24549  chtge0  24550  vmacl  24556  chtprm  24591  chtdif  24596  efchtdvds  24597  prmorcht  24616  vmalelog  24642  chtleppi  24647  chtublem  24648  fsumvma2  24651  pclogsum  24652  vmasum  24653  chpval2  24655  chpchtsum  24656  chpub  24657  logfacubnd  24658  logfaclbnd  24659  logexprlim  24662  logfacrlim2  24663  bposlem1  24721  bposlem9  24729  chebbnd1lem1  24870  chebbnd1lem2  24871  chebbnd1lem3  24872  chtppilimlem1  24874  chpchtlim  24880  vmadivsum  24883  vmadivsumb  24884  rplogsumlem1  24885  rplogsumlem2  24886  rpvmasumlem  24888  dchrvmasumlem1  24896  dchrvmasum2lem  24897  dchrvmasum2if  24898  dchrvmasumiflem1  24902  dchrvmasumiflem2  24903  rplogsum  24928  mulogsumlem  24932  mulogsum  24933  mulog2sumlem1  24935  mulog2sumlem2  24936  mulog2sumlem3  24937  vmalogdivsum2  24939  vmalogdivsum  24940  2vmadivsumlem  24941  logsqvma  24943  logsqvma2  24944  log2sumbnd  24945  selberglem2  24947  selbergb  24950  selberg2lem  24951  selberg2b  24953  chpdifbndlem1  24954  chpdifbndlem2  24955  logdivbnd  24957  selberg3lem1  24958  selberg3lem2  24959  selberg3  24960  selberg4lem1  24961  selberg4  24962  selberg3r  24970  selberg4r  24971  selberg34r  24972  pntsf  24974  pntsval2  24977  pntrlog2bndlem1  24978  pntrlog2bndlem2  24979  pntrlog2bndlem3  24980  pntrlog2bndlem4  24981  pntrlog2bndlem5  24982  pntrlog2bndlem6  24984  pntrlog2bnd  24985  pntpbnd1a  24986  pntpbnd2  24988  pntibndlem2  24992  pntlemb  24998  pntlemg  24999  pntlemh  25000  pntlemn  25001  pntlemr  25003  pntlemj  25004  pntlemf  25006  pntlemk  25007  pntlemo  25008  ostth2lem4  25037  ostth2  25038  ostth3  25039  xrge0iifcnv  29108  xrge0iifiso  29110  xrge0iifhom  29112  stirlinglem4  38769  stirlinglem11  38776  stirlinglem12  38777  stirlinglem13  38778  lighneallem2  39861  rege1logbrege0  42147  amgmwlem  42315
  Copyright terms: Public domain W3C validator