Theorem axpow 221

Description: Axiom of Power Sets. An axiom of Zermelo-Fraenkel set theory. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
axpow.1	⊢ A:(α → ∗)

Assertion

Ref	Expression
axpow	⊢ ⊤⊧(∃λy:((α → ∗) → ∗) (∀λz:(α → ∗) [(∀λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]))

Distinct variable groups:   x,y   y,A   y,z,α

Proof of Theorem axpow

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wtru 43	. . . . 5 ⊢ ⊤:∗
2		wal 134	. . . . . 6 ⊢ ∀:((α → ∗) → ∗)
3		wim 137	. . . . . . . 8 ⊢ ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
4		wv 64	. . . . . . . . 9 ⊢ z:(α → ∗):(α → ∗)
5		wv 64	. . . . . . . . 9 ⊢ x:α:α
6	4, 5	wc 50	. . . . . . . 8 ⊢ (z:(α → ∗)x:α):∗
7		axpow.1	. . . . . . . . 9 ⊢ A:(α → ∗)
8	7, 5	wc 50	. . . . . . . 8 ⊢ (Ax:α):∗
9	3, 6, 8	wov 72	. . . . . . 7 ⊢ [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]:∗
10	9	wl 66	. . . . . 6 ⊢ λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]:(α → ∗)
11	2, 10	wc 50	. . . . 5 ⊢ (∀λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]):∗
12	1, 11	simpl 22	. . . 4 ⊢ (⊤, (∀λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]))⊧⊤
13	12	ex 158	. . 3 ⊢ ⊤⊧[(∀λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤]
14	13	alrimiv 151	. 2 ⊢ ⊤⊧(∀λz:(α → ∗) [(∀λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤])
15		wal 134	. . . 4 ⊢ ∀:(((α → ∗) → ∗) → ∗)
16		wv 64	. . . . . . 7 ⊢ y:((α → ∗) → ∗):((α → ∗) → ∗)
17	16, 4	wc 50	. . . . . 6 ⊢ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗)):∗
18	3, 11, 17	wov 72	. . . . 5 ⊢ [(∀λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]:∗
19	18	wl 66	. . . 4 ⊢ λz:(α → ∗) [(∀λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]:((α → ∗) → ∗)
20	15, 19	wc 50	. . 3 ⊢ (∀λz:(α → ∗) [(∀λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]):∗
21	1	wl 66	. . 3 ⊢ λp:(α → ∗) ⊤:((α → ∗) → ∗)
22	16, 21	weqi 76	. . . . . . . . 9 ⊢ [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]:∗
23	22	id 25	. . . . . . . 8 ⊢ [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]
24	16, 4, 23	ceq1 89	. . . . . . 7 ⊢ [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[(y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗)) = (λp:(α → ∗) ⊤z:(α → ∗))]
25		wv 64	. . . . . . . . . . 11 ⊢ p:(α → ∗):(α → ∗)
26	25, 4	weqi 76	. . . . . . . . . 10 ⊢ [p:(α → ∗) = z:(α → ∗)]:∗
27	26, 1	eqid 83	. . . . . . . . 9 ⊢ [p:(α → ∗) = z:(α → ∗)]⊧[⊤ = ⊤]
28	1, 4, 27	cl 116	. . . . . . . 8 ⊢ ⊤⊧[(λp:(α → ∗) ⊤z:(α → ∗)) = ⊤]
29	22, 28	a1i 28	. . . . . . 7 ⊢ [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[(λp:(α → ∗) ⊤z:(α → ∗)) = ⊤]
30	17, 24, 29	eqtri 95	. . . . . 6 ⊢ [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[(y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗)) = ⊤]
31	3, 11, 17, 30	oveq2 101	. . . . 5 ⊢ [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[[(∀λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))] = [(∀λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤]]
32	18, 31	leq 91	. . . 4 ⊢ [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[λz:(α → ∗) [(∀λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))] = λz:(α → ∗) [(∀λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤]]
33	15, 19, 32	ceq2 90	. . 3 ⊢ [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[(∀λz:(α → ∗) [(∀λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]) = (∀λz:(α → ∗) [(∀λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤])]
34	20, 21, 33	cla4ev 169	. 2 ⊢ (∀λz:(α → ∗) [(∀λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤])⊧(∃λy:((α → ∗) → ∗) (∀λz:(α → ∗) [(∀λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]))
35	14, 34	syl 16	1 ⊢ ⊤⊧(∃λy:((α → ∗) → ∗) (∀λz:(α → ∗) [(∀λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]))

Syntax hints:  tv 1   → ht 2  ∗hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  ⊤kt 8  [kbr 9  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12   ⇒ tim 121  ∀tal 122  ∃tex 123

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-an 128  df-im 129  df-ex 131

This theorem is referenced by: (None)