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Theorem xpfi 6825
Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. Lemma 8.1.16 of [AczelRathjen], p. 74. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  X.  B
)  e.  Fin )

Proof of Theorem xpfi
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 4560 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  X.  B )  =  ( (/)  X.  B
) )
21eleq1d 2209 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  X.  B )  e.  Fin  <->  ( (/)  X.  B
)  e.  Fin )
)
32imbi2d 229 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  ( x  X.  B )  e.  Fin )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( (/)  X.  B
)  e.  Fin )
) )
4 xpeq1 4560 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  \  { z } )  ->  ( x  X.  B )  =  ( ( y  \  {
z } )  X.  B ) )
54eleq1d 2209 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  \  { z } )  ->  ( ( x  X.  B )  e. 
Fin 
<->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin ) )
65imbi2d 229 . . 3  |-  ( x  =  ( y  \  { z } )  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  (
x  X.  B )  e.  Fin )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( (
y  \  { z } )  X.  B
)  e.  Fin )
) )
7 xpeq1 4560 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  X.  B )  =  ( y  X.  B ) )
87eleq1d 2209 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  X.  B
)  e.  Fin  <->  ( y  X.  B )  e.  Fin ) )
98imbi2d 229 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( x  X.  B
)  e.  Fin )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( y  X.  B )  e.  Fin ) ) )
10 xpeq1 4560 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  X.  B )  =  ( A  X.  B ) )
1110eleq1d 2209 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  X.  B
)  e.  Fin  <->  ( A  X.  B )  e.  Fin ) )
1211imbi2d 229 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( x  X.  B
)  e.  Fin )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( A  X.  B )  e.  Fin ) ) )
13 0xp 4626 . . . . 5  |-  ( (/)  X.  B )  =  (/)
14 0fin 6785 . . . . 5  |-  (/)  e.  Fin
1513, 14eqeltri 2213 . . . 4  |-  ( (/)  X.  B )  e.  Fin
1615a1i 9 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( (/) 
X.  B )  e. 
Fin )
17 xpeq1 4560 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  X.  B )  =  ( (/)  X.  B
) )
1817, 15eqeltrdi 2231 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  X.  B )  e. 
Fin )
1918a1i13 24 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( y  =  (/)  ->  ( A. z  e.  y  ( B  e. 
Fin  ->  ( ( y 
\  { z } )  X.  B )  e.  Fin )  -> 
( y  X.  B
)  e.  Fin )
) )
20 sneq 3542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  { z }  =  { w } )
2120difeq2d 3198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  (
y  \  { z } )  =  ( y  \  { w } ) )
2221xpeq1d 4569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  w  ->  (
( y  \  {
z } )  X.  B )  =  ( ( y  \  {
w } )  X.  B ) )
2322eleq1d 2209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin 
<->  ( ( y  \  { w } )  X.  B )  e. 
Fin ) )
2423imbi2d 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( (
y  \  { w } )  X.  B
)  e.  Fin )
) )
2524rspcv 2788 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin )  ->  ( B  e.  Fin  ->  (
( y  \  {
w } )  X.  B )  e.  Fin ) ) )
2625adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( A. z  e.  y  ( B  e.  Fin  ->  (
( y  \  {
z } )  X.  B )  e.  Fin )  ->  ( B  e. 
Fin  ->  ( ( y 
\  { w }
)  X.  B )  e.  Fin ) ) )
27 pm2.27 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { w } )  X.  B )  e. 
Fin )  ->  (
( y  \  {
w } )  X.  B )  e.  Fin ) )
2827ad2antlr 481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  (
( y  \  {
w } )  X.  B )  e.  Fin )  ->  ( ( y 
\  { w }
)  X.  B )  e.  Fin ) )
29 vex 2692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  w  e. 
_V
3029snex 4116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { w }  e.  _V
31 xpexg 4660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { w }  e.  _V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { w }  X.  B )  e. 
_V )
3230, 31mpan 421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( { w }  X.  B )  e.  _V )
33 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  Fin  ->  B  e.  Fin )
34 2ndconst 6126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  _V  ->  ( 2nd  |`  ( { w }  X.  B ) ) : ( { w }  X.  B ) -1-1-onto-> B )
3529, 34mp1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( 2nd  |`  ( { w }  X.  B ) ) : ( { w }  X.  B ) -1-1-onto-> B )
36 f1oen2g 6656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( { w }  X.  B )  e.  _V  /\  B  e.  Fin  /\  ( 2nd  |`  ( {
w }  X.  B
) ) : ( { w }  X.  B ) -1-1-onto-> B )  ->  ( { w }  X.  B )  ~~  B
)
3732, 33, 35, 36syl3anc 1217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( { w }  X.  B )  ~~  B
)
38 enfii 6775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( { w }  X.  B )  ~~  B
)  ->  ( {
w }  X.  B
)  e.  Fin )
3937, 38mpdan 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( { w }  X.  B )  e.  Fin )
4039ad2antlr 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( {
w }  X.  B
)  e.  Fin )
41 incom 3272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { w }  i^i  (
y  \  { w } ) )  =  ( ( y  \  { w } )  i^i  { w }
)
42 disjdif 3439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { w }  i^i  (
y  \  { w } ) )  =  (/)
4341, 42eqtr3i 2163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  \  { w } )  i^i  {
w } )  =  (/)
44 xpdisj1 4970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  \  {
w } )  i^i 
{ w } )  =  (/)  ->  ( ( ( y  \  {
w } )  X.  B )  i^i  ( { w }  X.  B ) )  =  (/) )
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  \  {
w } )  X.  B )  i^i  ( { w }  X.  B ) )  =  (/)
46 unfidisj 6817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  \  { w } )  X.  B )  e. 
Fin  /\  ( {
w }  X.  B
)  e.  Fin  /\  ( ( ( y 
\  { w }
)  X.  B )  i^i  ( { w }  X.  B ) )  =  (/) )  ->  (
( ( y  \  { w } )  X.  B )  u.  ( { w }  X.  B ) )  e. 
Fin )
4745, 46mp3an3 1305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  \  { w } )  X.  B )  e. 
Fin  /\  ( {
w }  X.  B
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( y 
\  { w }
)  X.  B )  u.  ( { w }  X.  B ) )  e.  Fin )
48 xpundir 4603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  \  {
w } )  u. 
{ w } )  X.  B )  =  ( ( ( y 
\  { w }
)  X.  B )  u.  ( { w }  X.  B ) )
49 fidifsnid 6772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  w  e.  y )  ->  ( ( y  \  { w } )  u.  { w }
)  =  y )
5049adantlr 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( (
y  \  { w } )  u.  {
w } )  =  y )
5150xpeq1d 4569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( (
( y  \  {
w } )  u. 
{ w } )  X.  B )  =  ( y  X.  B
) )
5248, 51syl5eqr 2187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( (
( y  \  {
w } )  X.  B )  u.  ( { w }  X.  B ) )  =  ( y  X.  B
) )
5352eleq1d 2209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  \  { w } )  X.  B )  u.  ( { w }  X.  B ) )  e. 
Fin 
<->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
)
5447, 53syl5ib 153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  \  { w } )  X.  B )  e. 
Fin  /\  ( {
w }  X.  B
)  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
)
5540, 54mpan2d 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( (
( y  \  {
w } )  X.  B )  e.  Fin  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
)
5626, 28, 553syld 57 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( A. z  e.  y  ( B  e.  Fin  ->  (
( y  \  {
z } )  X.  B )  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B )  e.  Fin ) )
5756ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( w  e.  y  ->  ( A. z  e.  y  ( B  e.  Fin  ->  ( (
y  \  { z } )  X.  B
)  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
) )
5857exlimdv 1792 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( E. w  w  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin )  ->  (
y  X.  B )  e.  Fin ) ) )
59 fin0or 6787 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  =  (/)  \/  E. w  w  e.  y
) )
6059adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( y  =  (/)  \/ 
E. w  w  e.  y ) )
6119, 58, 60mpjaod 708 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A. z  e.  y  ( B  e. 
Fin  ->  ( ( y 
\  { z } )  X.  B )  e.  Fin )  -> 
( y  X.  B
)  e.  Fin )
)
6261ex 114 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( A. z  e.  y 
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin )  ->  (
y  X.  B )  e.  Fin ) ) )
6362com23 78 . . 3  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( A. z  e.  y 
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin )  ->  ( B  e.  Fin  ->  (
y  X.  B )  e.  Fin ) ) )
643, 6, 9, 12, 16, 63findcard 6789 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( A  X.  B )  e. 
Fin ) )
6564imp 123 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  X.  B
)  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 698    = wceq 1332   E.wex 1469    e. wcel 1481   A.wral 2417   _Vcvv 2689    \ cdif 3072    u. cun 3073    i^i cin 3074   (/)c0 3367   {csn 3531   class class class wbr 3936    X. cxp 4544    |` cres 4548   -1-1-onto->wf1o 5129   2ndc2nd 6044    ~~ cen 6639   Fincfn 6641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-1o 6320  df-er 6436  df-en 6642  df-fin 6644
This theorem is referenced by:  3xpfi  6826  hashxp  10603  fsum2dlemstep  11234  fisumcom2  11238  crth  11934  phimullem  11935
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