Theorem xpfi 6886

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. Lemma 8.1.16 of [AczelRathjen], p. 74. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A X. B ) e. Fin )

Proof of Theorem xpfi

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq1 4612	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x X. B ) = ( (/) X. B ) )
2	1	eleq1d 2233	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( (/) X. B ) e. Fin ) )
3	2	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( (/) X. B ) e. Fin ) ) )
4		xpeq1 4612	. . . . 5 |- ( x = ( y \ { z } ) -> ( x X. B ) = ( ( y \ { z } ) X. B ) )
5	4	eleq1d 2233	. . . 4 |- ( x = ( y \ { z } ) -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) )
6	5	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = ( y \ { z } ) -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) ) )
7		xpeq1 4612	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x X. B ) = ( y X. B ) )
8	7	eleq1d 2233	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( y X. B ) e. Fin ) )
9	8	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = y -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
10		xpeq1 4612	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x X. B ) = ( A X. B ) )
11	10	eleq1d 2233	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( A X. B ) e. Fin ) )
12	11	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( A X. B ) e. Fin ) ) )
13		0xp 4678	. . . . 5 |- ( (/) X. B ) = (/)
14		0fin 6841	. . . . 5 |- (/) e. Fin
15	13, 14	eqeltri 2237	. . . 4 |- ( (/) X. B ) e. Fin
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( (/) X. B ) e. Fin )
17		xpeq1 4612	. . . . . . . 8 |- ( y = (/) -> ( y X. B ) = ( (/) X. B ) )
18	17, 15	eqeltrdi 2255	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> ( y X. B ) e. Fin )
19	18	a1i13 24	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( y = (/) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
20		sneq 3581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = w -> { z } = { w } )
21	20	difeq2d 3235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = w -> ( y \ { z } ) = ( y \ { w } ) )
22	21	xpeq1d 4621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( ( y \ { z } ) X. B ) = ( ( y \ { w } ) X. B ) )
23	22	eleq1d 2233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin <-> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) )
24	23	imbi2d 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) ) )
25	24	rspcv 2821	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. y -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) ) )
26	25	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) ) )
27		pm2.27 40	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. Fin -> ( ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) )
28	27	ad2antlr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) )
29		vex 2724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- w e. _V
30	29	snex 4158	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { w } e. _V
31		xpexg 4712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { w } e. _V /\ B e. Fin ) -> ( { w } X. B ) e. _V )
32	30, 31	mpan 421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. Fin -> ( { w } X. B ) e. _V )
33		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. Fin -> B e. Fin )
34		2ndconst 6181	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. _V -> ( 2nd |` ( { w } X. B ) ) : ( { w } X. B ) -1-1-onto-> B )
35	29, 34	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. Fin -> ( 2nd |` ( { w } X. B ) ) : ( { w } X. B ) -1-1-onto-> B )
36		f1oen2g 6712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( { w } X. B ) e. _V /\ B e. Fin /\ ( 2nd |` ( { w } X. B ) ) : ( { w } X. B ) -1-1-onto-> B ) -> ( { w } X. B ) ~~ B )
37	32, 33, 35, 36	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. Fin -> ( { w } X. B ) ~~ B )
38		enfii 6831	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. Fin /\ ( { w } X. B ) ~~ B ) -> ( { w } X. B ) e. Fin )
39	37, 38	mpdan 418	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Fin -> ( { w } X. B ) e. Fin )
40	39	ad2antlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( { w } X. B ) e. Fin )
41		incom 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { w } i^i ( y \ { w } ) ) = ( ( y \ { w } ) i^i { w } )
42		disjdif 3476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { w } i^i ( y \ { w } ) ) = (/)
43	41, 42	eqtr3i 2187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y \ { w } ) i^i { w } ) = (/)
44		xpdisj1 5022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y \ { w } ) i^i { w } ) = (/) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) i^i ( { w } X. B ) ) = (/) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y \ { w } ) X. B ) i^i ( { w } X. B ) ) = (/)
46		unfidisj 6878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin /\ ( { w } X. B ) e. Fin /\ ( ( ( y \ { w } ) X. B ) i^i ( { w } X. B ) ) = (/) ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) e. Fin )
47	45, 46	mp3an3 1315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin /\ ( { w } X. B ) e. Fin ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) e. Fin )
48		xpundir 4655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y \ { w } ) u. { w } ) X. B ) = ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) )
49		fidifsnid 6828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. Fin /\ w e. y ) -> ( ( y \ { w } ) u. { w } ) = y )
50	49	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( y \ { w } ) u. { w } ) = y )
51	50	xpeq1d 4621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( y \ { w } ) u. { w } ) X. B ) = ( y X. B ) )
52	48, 51	eqtr3id 2211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) = ( y X. B ) )
53	52	eleq1d 2233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) e. Fin <-> ( y X. B ) e. Fin ) )
54	47, 53	syl5ib 153	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin /\ ( { w } X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) )
55	40, 54	mpan2d 425	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin -> ( y X. B ) e. Fin ) )
56	26, 28, 55	3syld 57	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) )
57	56	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( w e. y -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
58	57	exlimdv 1806	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( E. w w e. y -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
59		fin0or 6843	. . . . . . 7 |- ( y e. Fin -> ( y = (/) \/ E. w w e. y ) )
60	59	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( y = (/) \/ E. w w e. y ) )
61	19, 58, 60	mpjaod 708	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) )
62	61	ex 114	. . . 4 |- ( y e. Fin -> ( B e. Fin -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
63	62	com23 78	. . 3 |- ( y e. Fin -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( B e. Fin -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
64	3, 6, 9, 12, 16, 63	findcard 6845	. 2 |- ( A e. Fin -> ( B e. Fin -> ( A X. B ) e. Fin ) )
65	64	imp 123	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A X. B ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1342   E.wex 1479   e. wcel 2135   A.wral 2442   _Vcvv 2721   \ cdif 3108   u. cun 3109   i^i cin 3110   (/)c0 3404   {csn 3570   class class class wbr 3976   X. cxp 4596   |` cres 4600   -1-1-onto->wf1o 5181   2ndc2nd 6099   ~~ cen 6695   Fincfn 6697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-1o 6375  df-er 6492  df-en 6698  df-fin 6700

This theorem is referenced by:  3xpfi  6887  hashxp  10728  fsum2dlemstep  11361  fisumcom2  11365  fprod2dlemstep  11549  fprodcom2fi  11553  crth  12133  phimullem  12134