Theorem xpfi 7239

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. Lemma 8.1.16 of [AczelRathjen], p. 74. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A X. B ) e. Fin )

Proof of Theorem xpfi

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq1 4788	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x X. B ) = ( (/) X. B ) )
2	1	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( (/) X. B ) e. Fin ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( (/) X. B ) e. Fin ) ) )
4		xpeq1 4788	. . . . 5 |- ( x = ( y \ { z } ) -> ( x X. B ) = ( ( y \ { z } ) X. B ) )
5	4	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = ( y \ { z } ) -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y \ { z } ) -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) ) )
7		xpeq1 4788	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x X. B ) = ( y X. B ) )
8	7	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( y X. B ) e. Fin ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
10		xpeq1 4788	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x X. B ) = ( A X. B ) )
11	10	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( A X. B ) e. Fin ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( A X. B ) e. Fin ) ) )
13		0xp 4855	. . . . 5 |- ( (/) X. B ) = (/)
14		0fi 7188	. . . . 5 |- (/) e. Fin
15	13, 14	eqeltri 2311	. . . 4 |- ( (/) X. B ) e. Fin
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( (/) X. B ) e. Fin )
17		xpeq1 4788	. . . . . . . 8 |- ( y = (/) -> ( y X. B ) = ( (/) X. B ) )
18	17, 15	eqeltrdi 2329	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> ( y X. B ) e. Fin )
19	18	a1i13 24	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( y = (/) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
20		sneq 3720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = w -> { z } = { w } )
21	20	difeq2d 3347	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = w -> ( y \ { z } ) = ( y \ { w } ) )
22	21	xpeq1d 4797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( ( y \ { z } ) X. B ) = ( ( y \ { w } ) X. B ) )
23	22	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin <-> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) )
24	23	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) ) )
25	24	rspcv 2925	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. y -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) ) )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) ) )
27		pm2.27 40	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. Fin -> ( ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) )
28	27	ad2antlr 493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) )
29		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- w e. _V
30	29	snex 4322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { w } e. _V
31		xpexg 4889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { w } e. _V /\ B e. Fin ) -> ( { w } X. B ) e. _V )
32	30, 31	mpan 428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. Fin -> ( { w } X. B ) e. _V )
33		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. Fin -> B e. Fin )
34		2ndconst 6458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. _V -> ( 2nd |` ( { w } X. B ) ) : ( { w } X. B ) -1-1-onto-> B )
35	29, 34	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. Fin -> ( 2nd |` ( { w } X. B ) ) : ( { w } X. B ) -1-1-onto-> B )
36		f1oen2g 7041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( { w } X. B ) e. _V /\ B e. Fin /\ ( 2nd |` ( { w } X. B ) ) : ( { w } X. B ) -1-1-onto-> B ) -> ( { w } X. B ) ~~ B )
37	32, 33, 35, 36	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. Fin -> ( { w } X. B ) ~~ B )
38		enfii 7176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. Fin /\ ( { w } X. B ) ~~ B ) -> ( { w } X. B ) e. Fin )
39	37, 38	mpdan 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Fin -> ( { w } X. B ) e. Fin )
40	39	ad2antlr 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( { w } X. B ) e. Fin )
41		incom 3421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { w } i^i ( y \ { w } ) ) = ( ( y \ { w } ) i^i { w } )
42		disjdif 3599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { w } i^i ( y \ { w } ) ) = (/)
43	41, 42	eqtr3i 2261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y \ { w } ) i^i { w } ) = (/)
44		xpdisj1 5212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y \ { w } ) i^i { w } ) = (/) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) i^i ( { w } X. B ) ) = (/) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y \ { w } ) X. B ) i^i ( { w } X. B ) ) = (/)
46		unfidisj 7229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin /\ ( { w } X. B ) e. Fin /\ ( ( ( y \ { w } ) X. B ) i^i ( { w } X. B ) ) = (/) ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) e. Fin )
47	45, 46	mp3an3 1367	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin /\ ( { w } X. B ) e. Fin ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) e. Fin )
48		xpundir 4832	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y \ { w } ) u. { w } ) X. B ) = ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) )
49		fidifsnid 7173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. Fin /\ w e. y ) -> ( ( y \ { w } ) u. { w } ) = y )
50	49	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( y \ { w } ) u. { w } ) = y )
51	50	xpeq1d 4797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( y \ { w } ) u. { w } ) X. B ) = ( y X. B ) )
52	48, 51	eqtr3id 2285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) = ( y X. B ) )
53	52	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) e. Fin <-> ( y X. B ) e. Fin ) )
54	47, 53	imbitrid 154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin /\ ( { w } X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) )
55	40, 54	mpan2d 432	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin -> ( y X. B ) e. Fin ) )
56	26, 28, 55	3syld 57	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) )
57	56	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( w e. y -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
58	57	exlimdv 1872	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( E. w w e. y -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
59		fin0or 7190	. . . . . . 7 |- ( y e. Fin -> ( y = (/) \/ E. w w e. y ) )
60	59	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( y = (/) \/ E. w w e. y ) )
61	19, 58, 60	mpjaod 730	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) )
62	61	ex 115	. . . 4 |- ( y e. Fin -> ( B e. Fin -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
63	62	com23 78	. . 3 |- ( y e. Fin -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( B e. Fin -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
64	3, 6, 9, 12, 16, 63	findcard 7192	. 2 |- ( A e. Fin -> ( B e. Fin -> ( A X. B ) e. Fin ) )
65	64	imp 124	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A X. B ) e. Fin )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219   (/)c0 3520   {csn 3709   class class class wbr 4130   X. cxp 4772   |` cres 4776   -1-1-onto->wf1o 5376   2ndc2nd 6373   ~~ cen 7020   Fincfn 7022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025

This theorem is used by:  3xpfi  7241  opabfi  7247  mapfi  7261  fsuppxpfi  7296  hashxp  11267  hashmap  11268  fsum2dlemstep  12201  fisumcom2  12205  fprod2dlemstep  12389  fprodcom2fi  12393  crth  13002  phimullem  13003  fsumdvdsmul  16105  lgsquadlem2  16197