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Theorem xpfi 6619
Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. Lemma 8.1.16 of [AczelRathjen], p. 74. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  X.  B
)  e.  Fin )

Proof of Theorem xpfi
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 4442 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  X.  B )  =  ( (/)  X.  B
) )
21eleq1d 2156 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  X.  B )  e.  Fin  <->  ( (/)  X.  B
)  e.  Fin )
)
32imbi2d 228 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  ( x  X.  B )  e.  Fin )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( (/)  X.  B
)  e.  Fin )
) )
4 xpeq1 4442 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  \  { z } )  ->  ( x  X.  B )  =  ( ( y  \  {
z } )  X.  B ) )
54eleq1d 2156 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  \  { z } )  ->  ( ( x  X.  B )  e. 
Fin 
<->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin ) )
65imbi2d 228 . . 3  |-  ( x  =  ( y  \  { z } )  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  (
x  X.  B )  e.  Fin )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( (
y  \  { z } )  X.  B
)  e.  Fin )
) )
7 xpeq1 4442 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  X.  B )  =  ( y  X.  B ) )
87eleq1d 2156 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  X.  B
)  e.  Fin  <->  ( y  X.  B )  e.  Fin ) )
98imbi2d 228 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( x  X.  B
)  e.  Fin )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( y  X.  B )  e.  Fin ) ) )
10 xpeq1 4442 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  X.  B )  =  ( A  X.  B ) )
1110eleq1d 2156 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  X.  B
)  e.  Fin  <->  ( A  X.  B )  e.  Fin ) )
1211imbi2d 228 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( x  X.  B
)  e.  Fin )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( A  X.  B )  e.  Fin ) ) )
13 0xp 4506 . . . . 5  |-  ( (/)  X.  B )  =  (/)
14 0fin 6580 . . . . 5  |-  (/)  e.  Fin
1513, 14eqeltri 2160 . . . 4  |-  ( (/)  X.  B )  e.  Fin
1615a1i 9 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( (/) 
X.  B )  e. 
Fin )
17 xpeq1 4442 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  X.  B )  =  ( (/)  X.  B
) )
1817, 15syl6eqel 2178 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  X.  B )  e. 
Fin )
1918a1i13 24 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( y  =  (/)  ->  ( A. z  e.  y  ( B  e. 
Fin  ->  ( ( y 
\  { z } )  X.  B )  e.  Fin )  -> 
( y  X.  B
)  e.  Fin )
) )
20 sneq 3452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  { z }  =  { w } )
2120difeq2d 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  (
y  \  { z } )  =  ( y  \  { w } ) )
2221xpeq1d 4451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  w  ->  (
( y  \  {
z } )  X.  B )  =  ( ( y  \  {
w } )  X.  B ) )
2322eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin 
<->  ( ( y  \  { w } )  X.  B )  e. 
Fin ) )
2423imbi2d 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( (
y  \  { w } )  X.  B
)  e.  Fin )
) )
2524rspcv 2718 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin )  ->  ( B  e.  Fin  ->  (
( y  \  {
w } )  X.  B )  e.  Fin ) ) )
2625adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( A. z  e.  y  ( B  e.  Fin  ->  (
( y  \  {
z } )  X.  B )  e.  Fin )  ->  ( B  e. 
Fin  ->  ( ( y 
\  { w }
)  X.  B )  e.  Fin ) ) )
27 pm2.27 39 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { w } )  X.  B )  e. 
Fin )  ->  (
( y  \  {
w } )  X.  B )  e.  Fin ) )
2827ad2antlr 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  (
( y  \  {
w } )  X.  B )  e.  Fin )  ->  ( ( y 
\  { w }
)  X.  B )  e.  Fin ) )
29 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  w  e. 
_V
3029snex 4011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { w }  e.  _V
31 xpexg 4540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { w }  e.  _V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { w }  X.  B )  e. 
_V )
3230, 31mpan 415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( { w }  X.  B )  e.  _V )
33 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  Fin  ->  B  e.  Fin )
34 2ndconst 5969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  _V  ->  ( 2nd  |`  ( { w }  X.  B ) ) : ( { w }  X.  B ) -1-1-onto-> B )
3529, 34mp1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( 2nd  |`  ( { w }  X.  B ) ) : ( { w }  X.  B ) -1-1-onto-> B )
36 f1oen2g 6452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( { w }  X.  B )  e.  _V  /\  B  e.  Fin  /\  ( 2nd  |`  ( {
w }  X.  B
) ) : ( { w }  X.  B ) -1-1-onto-> B )  ->  ( { w }  X.  B )  ~~  B
)
3732, 33, 35, 36syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( { w }  X.  B )  ~~  B
)
38 enfii 6570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( { w }  X.  B )  ~~  B
)  ->  ( {
w }  X.  B
)  e.  Fin )
3937, 38mpdan 412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( { w }  X.  B )  e.  Fin )
4039ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( {
w }  X.  B
)  e.  Fin )
41 incom 3190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { w }  i^i  (
y  \  { w } ) )  =  ( ( y  \  { w } )  i^i  { w }
)
42 disjdif 3352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { w }  i^i  (
y  \  { w } ) )  =  (/)
4341, 42eqtr3i 2110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  \  { w } )  i^i  {
w } )  =  (/)
44 xpdisj1 4842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  \  {
w } )  i^i 
{ w } )  =  (/)  ->  ( ( ( y  \  {
w } )  X.  B )  i^i  ( { w }  X.  B ) )  =  (/) )
4543, 44ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  \  {
w } )  X.  B )  i^i  ( { w }  X.  B ) )  =  (/)
46 unfidisj 6612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  \  { w } )  X.  B )  e. 
Fin  /\  ( {
w }  X.  B
)  e.  Fin  /\  ( ( ( y 
\  { w }
)  X.  B )  i^i  ( { w }  X.  B ) )  =  (/) )  ->  (
( ( y  \  { w } )  X.  B )  u.  ( { w }  X.  B ) )  e. 
Fin )
4745, 46mp3an3 1262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  \  { w } )  X.  B )  e. 
Fin  /\  ( {
w }  X.  B
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( y 
\  { w }
)  X.  B )  u.  ( { w }  X.  B ) )  e.  Fin )
48 xpundir 4483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  \  {
w } )  u. 
{ w } )  X.  B )  =  ( ( ( y 
\  { w }
)  X.  B )  u.  ( { w }  X.  B ) )
49 fidifsnid 6567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  w  e.  y )  ->  ( ( y  \  { w } )  u.  { w }
)  =  y )
5049adantlr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( (
y  \  { w } )  u.  {
w } )  =  y )
5150xpeq1d 4451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( (
( y  \  {
w } )  u. 
{ w } )  X.  B )  =  ( y  X.  B
) )
5248, 51syl5eqr 2134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( (
( y  \  {
w } )  X.  B )  u.  ( { w }  X.  B ) )  =  ( y  X.  B
) )
5352eleq1d 2156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  \  { w } )  X.  B )  u.  ( { w }  X.  B ) )  e. 
Fin 
<->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
)
5447, 53syl5ib 152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  \  { w } )  X.  B )  e. 
Fin  /\  ( {
w }  X.  B
)  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
)
5540, 54mpan2d 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( (
( y  \  {
w } )  X.  B )  e.  Fin  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
)
5626, 28, 553syld 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( A. z  e.  y  ( B  e.  Fin  ->  (
( y  \  {
z } )  X.  B )  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B )  e.  Fin ) )
5756ex 113 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( w  e.  y  ->  ( A. z  e.  y  ( B  e.  Fin  ->  ( (
y  \  { z } )  X.  B
)  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
) )
5857exlimdv 1747 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( E. w  w  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin )  ->  (
y  X.  B )  e.  Fin ) ) )
59 fin0or 6582 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  =  (/)  \/  E. w  w  e.  y
) )
6059adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( y  =  (/)  \/ 
E. w  w  e.  y ) )
6119, 58, 60mpjaod 673 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A. z  e.  y  ( B  e. 
Fin  ->  ( ( y 
\  { z } )  X.  B )  e.  Fin )  -> 
( y  X.  B
)  e.  Fin )
)
6261ex 113 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( A. z  e.  y 
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin )  ->  (
y  X.  B )  e.  Fin ) ) )
6362com23 77 . . 3  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( A. z  e.  y 
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin )  ->  ( B  e.  Fin  ->  (
y  X.  B )  e.  Fin ) ) )
643, 6, 9, 12, 16, 63findcard 6584 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( A  X.  B )  e. 
Fin ) )
6564imp 122 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  X.  B
)  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   _Vcvv 2619    \ cdif 2994    u. cun 2995    i^i cin 2996   (/)c0 3284   {csn 3441   class class class wbr 3837    X. cxp 4426    |` cres 4430   -1-1-onto->wf1o 5001   2ndc2nd 5892    ~~ cen 6435   Fincfn 6437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-1o 6163  df-er 6272  df-en 6438  df-fin 6440
This theorem is referenced by:  3xpfi  6620  hashxp  10199  fsum2dlemstep  10791  fisumcom2  10795  crth  11293  phimullem  11294
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