Theorem xpfi 7192

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. Lemma 8.1.16 of [AczelRathjen], p. 74. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A X. B ) e. Fin )

Proof of Theorem xpfi

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq1 4763	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x X. B ) = ( (/) X. B ) )
2	1	eleq1d 2301	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( (/) X. B ) e. Fin ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( (/) X. B ) e. Fin ) ) )
4		xpeq1 4763	. . . . 5 |- ( x = ( y \ { z } ) -> ( x X. B ) = ( ( y \ { z } ) X. B ) )
5	4	eleq1d 2301	. . . 4 |- ( x = ( y \ { z } ) -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y \ { z } ) -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) ) )
7		xpeq1 4763	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x X. B ) = ( y X. B ) )
8	7	eleq1d 2301	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( y X. B ) e. Fin ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
10		xpeq1 4763	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x X. B ) = ( A X. B ) )
11	10	eleq1d 2301	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( A X. B ) e. Fin ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( A X. B ) e. Fin ) ) )
13		0xp 4830	. . . . 5 |- ( (/) X. B ) = (/)
14		0fi 7141	. . . . 5 |- (/) e. Fin
15	13, 14	eqeltri 2305	. . . 4 |- ( (/) X. B ) e. Fin
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( (/) X. B ) e. Fin )
17		xpeq1 4763	. . . . . . . 8 |- ( y = (/) -> ( y X. B ) = ( (/) X. B ) )
18	17, 15	eqeltrdi 2323	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> ( y X. B ) e. Fin )
19	18	a1i13 24	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( y = (/) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
20		sneq 3700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = w -> { z } = { w } )
21	20	difeq2d 3337	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = w -> ( y \ { z } ) = ( y \ { w } ) )
22	21	xpeq1d 4772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( ( y \ { z } ) X. B ) = ( ( y \ { w } ) X. B ) )
23	22	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin <-> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) )
24	23	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) ) )
25	24	rspcv 2917	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. y -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) ) )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) ) )
27		pm2.27 40	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. Fin -> ( ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) )
28	27	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) )
29		vex 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- w e. _V
30	29	snex 4298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { w } e. _V
31		xpexg 4864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { w } e. _V /\ B e. Fin ) -> ( { w } X. B ) e. _V )
32	30, 31	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. Fin -> ( { w } X. B ) e. _V )
33		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. Fin -> B e. Fin )
34		2ndconst 6418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. _V -> ( 2nd |` ( { w } X. B ) ) : ( { w } X. B ) -1-1-onto-> B )
35	29, 34	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. Fin -> ( 2nd |` ( { w } X. B ) ) : ( { w } X. B ) -1-1-onto-> B )
36		f1oen2g 6994	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( { w } X. B ) e. _V /\ B e. Fin /\ ( 2nd |` ( { w } X. B ) ) : ( { w } X. B ) -1-1-onto-> B ) -> ( { w } X. B ) ~~ B )
37	32, 33, 35, 36	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. Fin -> ( { w } X. B ) ~~ B )
38		enfii 7129	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. Fin /\ ( { w } X. B ) ~~ B ) -> ( { w } X. B ) e. Fin )
39	37, 38	mpdan 421	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Fin -> ( { w } X. B ) e. Fin )
40	39	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( { w } X. B ) e. Fin )
41		incom 3411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { w } i^i ( y \ { w } ) ) = ( ( y \ { w } ) i^i { w } )
42		disjdif 3581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { w } i^i ( y \ { w } ) ) = (/)
43	41, 42	eqtr3i 2255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y \ { w } ) i^i { w } ) = (/)
44		xpdisj1 5187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y \ { w } ) i^i { w } ) = (/) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) i^i ( { w } X. B ) ) = (/) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y \ { w } ) X. B ) i^i ( { w } X. B ) ) = (/)
46		unfidisj 7182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin /\ ( { w } X. B ) e. Fin /\ ( ( ( y \ { w } ) X. B ) i^i ( { w } X. B ) ) = (/) ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) e. Fin )
47	45, 46	mp3an3 1363	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin /\ ( { w } X. B ) e. Fin ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) e. Fin )
48		xpundir 4807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y \ { w } ) u. { w } ) X. B ) = ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) )
49		fidifsnid 7126	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. Fin /\ w e. y ) -> ( ( y \ { w } ) u. { w } ) = y )
50	49	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( y \ { w } ) u. { w } ) = y )
51	50	xpeq1d 4772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( y \ { w } ) u. { w } ) X. B ) = ( y X. B ) )
52	48, 51	eqtr3id 2279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) = ( y X. B ) )
53	52	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) e. Fin <-> ( y X. B ) e. Fin ) )
54	47, 53	imbitrid 154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin /\ ( { w } X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) )
55	40, 54	mpan2d 428	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin -> ( y X. B ) e. Fin ) )
56	26, 28, 55	3syld 57	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) )
57	56	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( w e. y -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
58	57	exlimdv 1868	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( E. w w e. y -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
59		fin0or 7143	. . . . . . 7 |- ( y e. Fin -> ( y = (/) \/ E. w w e. y ) )
60	59	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( y = (/) \/ E. w w e. y ) )
61	19, 58, 60	mpjaod 726	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) )
62	61	ex 115	. . . 4 |- ( y e. Fin -> ( B e. Fin -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
63	62	com23 78	. . 3 |- ( y e. Fin -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( B e. Fin -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
64	3, 6, 9, 12, 16, 63	findcard 7145	. 2 |- ( A e. Fin -> ( B e. Fin -> ( A X. B ) e. Fin ) )
65	64	imp 124	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A X. B ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   _Vcvv 2813   \ cdif 3208   u. cun 3209   i^i cin 3210   (/)c0 3508   {csn 3689   class class class wbr 4109   X. cxp 4747   |` cres 4751   -1-1-onto->wf1o 5351   2ndc2nd 6333   ~~ cen 6973   Fincfn 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978

This theorem is referenced by:  3xpfi  7194  opabfi  7200  mapfi  7214  fsuppxpfi  7249  hashxp  11191  hashmap  11192  fsum2dlemstep  12120  fisumcom2  12124  fprod2dlemstep  12308  fprodcom2fi  12312  crth  12921  phimullem  12922  fsumdvdsmul  15859  lgsquadlem2  15951