Theorem xpfi 7029

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. Lemma 8.1.16 of [AczelRathjen], p. 74. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A X. B ) e. Fin )

Proof of Theorem xpfi

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq1 4689	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x X. B ) = ( (/) X. B ) )
2	1	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( (/) X. B ) e. Fin ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( (/) X. B ) e. Fin ) ) )
4		xpeq1 4689	. . . . 5 |- ( x = ( y \ { z } ) -> ( x X. B ) = ( ( y \ { z } ) X. B ) )
5	4	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( x = ( y \ { z } ) -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y \ { z } ) -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) ) )
7		xpeq1 4689	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x X. B ) = ( y X. B ) )
8	7	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( y X. B ) e. Fin ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
10		xpeq1 4689	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x X. B ) = ( A X. B ) )
11	10	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( A X. B ) e. Fin ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( A X. B ) e. Fin ) ) )
13		0xp 4755	. . . . 5 |- ( (/) X. B ) = (/)
14		0fin 6981	. . . . 5 |- (/) e. Fin
15	13, 14	eqeltri 2278	. . . 4 |- ( (/) X. B ) e. Fin
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( (/) X. B ) e. Fin )
17		xpeq1 4689	. . . . . . . 8 |- ( y = (/) -> ( y X. B ) = ( (/) X. B ) )
18	17, 15	eqeltrdi 2296	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> ( y X. B ) e. Fin )
19	18	a1i13 24	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( y = (/) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
20		sneq 3644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = w -> { z } = { w } )
21	20	difeq2d 3291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = w -> ( y \ { z } ) = ( y \ { w } ) )
22	21	xpeq1d 4698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( ( y \ { z } ) X. B ) = ( ( y \ { w } ) X. B ) )
23	22	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin <-> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) )
24	23	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) ) )
25	24	rspcv 2873	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. y -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) ) )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) ) )
27		pm2.27 40	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. Fin -> ( ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) )
28	27	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) )
29		vex 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- w e. _V
30	29	snex 4229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { w } e. _V
31		xpexg 4789	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { w } e. _V /\ B e. Fin ) -> ( { w } X. B ) e. _V )
32	30, 31	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. Fin -> ( { w } X. B ) e. _V )
33		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. Fin -> B e. Fin )
34		2ndconst 6308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. _V -> ( 2nd |` ( { w } X. B ) ) : ( { w } X. B ) -1-1-onto-> B )
35	29, 34	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. Fin -> ( 2nd |` ( { w } X. B ) ) : ( { w } X. B ) -1-1-onto-> B )
36		f1oen2g 6846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( { w } X. B ) e. _V /\ B e. Fin /\ ( 2nd |` ( { w } X. B ) ) : ( { w } X. B ) -1-1-onto-> B ) -> ( { w } X. B ) ~~ B )
37	32, 33, 35, 36	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. Fin -> ( { w } X. B ) ~~ B )
38		enfii 6971	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. Fin /\ ( { w } X. B ) ~~ B ) -> ( { w } X. B ) e. Fin )
39	37, 38	mpdan 421	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Fin -> ( { w } X. B ) e. Fin )
40	39	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( { w } X. B ) e. Fin )
41		incom 3365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { w } i^i ( y \ { w } ) ) = ( ( y \ { w } ) i^i { w } )
42		disjdif 3533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { w } i^i ( y \ { w } ) ) = (/)
43	41, 42	eqtr3i 2228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y \ { w } ) i^i { w } ) = (/)
44		xpdisj1 5107	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y \ { w } ) i^i { w } ) = (/) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) i^i ( { w } X. B ) ) = (/) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y \ { w } ) X. B ) i^i ( { w } X. B ) ) = (/)
46		unfidisj 7019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin /\ ( { w } X. B ) e. Fin /\ ( ( ( y \ { w } ) X. B ) i^i ( { w } X. B ) ) = (/) ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) e. Fin )
47	45, 46	mp3an3 1339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin /\ ( { w } X. B ) e. Fin ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) e. Fin )
48		xpundir 4732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y \ { w } ) u. { w } ) X. B ) = ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) )
49		fidifsnid 6968	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. Fin /\ w e. y ) -> ( ( y \ { w } ) u. { w } ) = y )
50	49	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( y \ { w } ) u. { w } ) = y )
51	50	xpeq1d 4698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( y \ { w } ) u. { w } ) X. B ) = ( y X. B ) )
52	48, 51	eqtr3id 2252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) = ( y X. B ) )
53	52	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) e. Fin <-> ( y X. B ) e. Fin ) )
54	47, 53	imbitrid 154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin /\ ( { w } X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) )
55	40, 54	mpan2d 428	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin -> ( y X. B ) e. Fin ) )
56	26, 28, 55	3syld 57	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) )
57	56	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( w e. y -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
58	57	exlimdv 1842	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( E. w w e. y -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
59		fin0or 6983	. . . . . . 7 |- ( y e. Fin -> ( y = (/) \/ E. w w e. y ) )
60	59	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( y = (/) \/ E. w w e. y ) )
61	19, 58, 60	mpjaod 720	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) )
62	61	ex 115	. . . 4 |- ( y e. Fin -> ( B e. Fin -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
63	62	com23 78	. . 3 |- ( y e. Fin -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( B e. Fin -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
64	3, 6, 9, 12, 16, 63	findcard 6985	. 2 |- ( A e. Fin -> ( B e. Fin -> ( A X. B ) e. Fin ) )
65	64	imp 124	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A X. B ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   \ cdif 3163   u. cun 3164   i^i cin 3165   (/)c0 3460   {csn 3633   class class class wbr 4044   X. cxp 4673   |` cres 4677   -1-1-onto->wf1o 5270   2ndc2nd 6225   ~~ cen 6825   Fincfn 6827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-1o 6502  df-er 6620  df-en 6828  df-fin 6830

This theorem is referenced by:  3xpfi  7030  opabfi  7035  hashxp  10971  fsum2dlemstep  11745  fisumcom2  11749  fprod2dlemstep  11933  fprodcom2fi  11937  crth  12546  phimullem  12547  fsumdvdsmul  15463  lgsquadlem2  15555