ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashxp Unicode version

Theorem hashxp 10083
Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
hashxp  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( `  ( A  X.  B ) )  =  ( ( `  A
)  x.  ( `  B
) ) )

Proof of Theorem hashxp
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 4418 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  X.  B )  =  ( (/)  X.  B
) )
21fveq2d 5260 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( `  (
x  X.  B ) )  =  ( `  ( (/) 
X.  B ) ) )
3 fveq2 5256 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( `  x
)  =  ( `  (/) ) )
43oveq1d 5609 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( `  x )  x.  ( `  B ) )  =  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B )
) )
52, 4eqeq12d 2099 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( `  ( x  X.  B
) )  =  ( ( `  x )  x.  ( `  B )
)  <->  ( `  ( (/)  X.  B
) )  =  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B )
) ) )
6 xpeq1 4418 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  X.  B )  =  ( y  X.  B ) )
76fveq2d 5260 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( `  ( x  X.  B
) )  =  ( `  ( y  X.  B
) ) )
8 fveq2 5256 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( `  x )  =  ( `  y ) )
98oveq1d 5609 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( `  x )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )
107, 9eqeq12d 2099 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( `  x
)  x.  ( `  B
) )  <->  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) ) )
11 xpeq1 4418 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  X.  B )  =  ( ( y  u.  {
z } )  X.  B ) )
1211fveq2d 5260 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( `  ( x  X.  B ) )  =  ( `  ( (
y  u.  { z } )  X.  B
) ) )
13 fveq2 5256 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( `  x )  =  ( `  ( y  u.  { z } ) ) )
1413oveq1d 5609 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( `  x
)  x.  ( `  B
) )  =  ( ( `  ( y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B
) ) )
1512, 14eqeq12d 2099 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( `  (
x  X.  B ) )  =  ( ( `  x )  x.  ( `  B ) )  <->  ( `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B )
) ) )
16 xpeq1 4418 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  X.  B )  =  ( A  X.  B ) )
1716fveq2d 5260 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( `  ( x  X.  B
) )  =  ( `  ( A  X.  B
) ) )
18 fveq2 5256 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( `  x )  =  ( `  A ) )
1918oveq1d 5609 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( `  x )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( `  A )  x.  ( `  B ) ) )
2017, 19eqeq12d 2099 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( `  x
)  x.  ( `  B
) )  <->  ( `  ( A  X.  B ) )  =  ( ( `  A
)  x.  ( `  B
) ) ) )
21 hash0 10054 . . . . 5  |-  ( `  (/) )  =  0
2221oveq1i 5604 . . . 4  |-  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B ) )  =  ( 0  x.  ( `  B ) )
23 hashcl 10038 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( `  B )  e.  NN0 )
2423nn0cnd 8638 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( `  B )  e.  CC )
2524mul02d 7791 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
0  x.  ( `  B
) )  =  0 )
2625adantl 271 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( 0  x.  ( `  B ) )  =  0 )
2722, 26syl5eq 2129 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B )
)  =  0 )
28 0xp 4479 . . . . 5  |-  ( (/)  X.  B )  =  (/)
2928fveq2i 5259 . . . 4  |-  ( `  ( (/) 
X.  B ) )  =  ( `  (/) )
3029, 21eqtri 2105 . . 3  |-  ( `  ( (/) 
X.  B ) )  =  0
3127, 30syl6reqr 2136 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( `  ( (/)  X.  B
) )  =  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B )
) )
32 oveq1 5601 . . . . 5  |-  ( ( `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B )
)  ->  ( ( `  ( y  X.  B
) )  +  ( `  B ) )  =  ( ( ( `  y
)  x.  ( `  B
) )  +  ( `  B ) ) )
3332adantl 271 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )  ->  ( ( `  (
y  X.  B ) )  +  ( `  B
) )  =  ( ( ( `  y
)  x.  ( `  B
) )  +  ( `  B ) ) )
34 xpundir 4456 . . . . . . 7  |-  ( ( y  u.  { z } )  X.  B
)  =  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) )
3534fveq2i 5259 . . . . . 6  |-  ( `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( `  ( (
y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )
36 simplr 497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  y  e.  Fin )
37 simpllr 501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  B  e.  Fin )
38 xpfi 6568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
3936, 37, 38syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( y  X.  B )  e.  Fin )
40 vex 2617 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
41 snfig 6464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  { z }  e.  Fin )
4240, 41ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  Fin
43 xpfi 6568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z }  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { z }  X.  B )  e.  Fin )
4442, 43mpan 415 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( { z }  X.  B )  e.  Fin )
4544ad3antlr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( { z }  X.  B )  e.  Fin )
46 simprr 499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
4746eldifbd 2998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
48 inxp 4531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  ( ( y  i^i  { z } )  X.  ( B  i^i  B ) )
49 disjsn 3481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
5049biimpri 131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
5150xpeq1d 4427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (
(/)  X.  ( B  i^i  B ) ) )
52 0xp 4479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  X.  ( B  i^i  B
) )  =  (/)
5351, 52syl6eq 2133 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (/) )
5448, 53syl5eq 2129 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )
5547, 54syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )
56 hashun 10062 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  X.  B
)  e.  Fin  /\  ( { z }  X.  B )  e.  Fin  /\  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )  =  ( ( `  (
y  X.  B ) )  +  ( `  ( { z }  X.  B ) ) ) )
5739, 45, 55, 56syl3anc 1172 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  ( (
y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( `  ( y  X.  B ) )  +  ( `  ( {
z }  X.  B
) ) ) )
5840snex 3987 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z }  e.  _V
5958a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  { z }  e.  _V )
60 xpcomeng 6477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { z }  e.  _V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { z }  X.  B ) 
~~  ( B  X.  { z } ) )
6159, 37, 60syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( { z }  X.  B ) 
~~  ( B  X.  { z } ) )
6240a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  _V )
63 xpsneng 6471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  z  e.  _V )  ->  ( B  X.  {
z } )  ~~  B )
6437, 62, 63syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( B  X.  { z } ) 
~~  B )
65 entr 6434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { z }  X.  B )  ~~  ( B  X.  { z } )  /\  ( B  X.  { z } )  ~~  B )  ->  ( { z }  X.  B ) 
~~  B )
6661, 64, 65syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( { z }  X.  B ) 
~~  B )
67 hashen 10041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { z }  X.  B )  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( `  ( { z }  X.  B ) )  =  ( `  B
)  <->  ( { z }  X.  B ) 
~~  B ) )
6845, 37, 67syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  ( { z }  X.  B ) )  =  ( `  B )  <->  ( { z }  X.  B )  ~~  B
) )
6966, 68mpbird 165 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  ( {
z }  X.  B
) )  =  ( `  B ) )
7069oveq2d 5610 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  (
y  X.  B ) )  +  ( `  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( `  (
y  X.  B ) )  +  ( `  B
) ) )
7157, 70eqtrd 2117 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  ( (
y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( `  ( y  X.  B ) )  +  ( `  B )
) )
7235, 71syl5eq 2129 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  ( (
y  u.  { z } )  X.  B
) )  =  ( ( `  ( y  X.  B ) )  +  ( `  B )
) )
7372adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )  ->  ( `  ( (
y  u.  { z } )  X.  B
) )  =  ( ( `  ( y  X.  B ) )  +  ( `  B )
) )
74 hashunsng 10064 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  ->  (
( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  ->  ( `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( `  y
)  +  1 ) ) )
7540, 74ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( `  y
)  +  1 ) )
7675oveq1d 5609 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( `  B
) )  =  ( ( ( `  y
)  +  1 )  x.  ( `  B
) ) )
7736, 47, 76syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( ( `  y )  +  1 )  x.  ( `  B )
) )
78 hashcl 10038 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( `  y )  e.  NN0 )
7978nn0cnd 8638 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( `  y )  e.  CC )
8036, 79syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  y )  e.  CC )
8137, 24syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  B )  e.  CC )
8280, 81adddirp1d 7435 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( ( `  y )  +  1 )  x.  ( `  B
) )  =  ( ( ( `  y
)  x.  ( `  B
) )  +  ( `  B ) ) )
8377, 82eqtrd 2117 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( ( `  y )  x.  ( `  B )
)  +  ( `  B
) ) )
8483adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )  ->  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( ( `  y )  x.  ( `  B )
)  +  ( `  B
) ) )
8533, 73, 843eqtr4d 2127 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )  ->  ( `  ( (
y  u.  { z } )  X.  B
) )  =  ( ( `  ( y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B
) ) )
8685ex 113 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) )  -> 
( `  ( ( y  u.  { z } )  X.  B ) )  =  ( ( `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( `  B
) ) ) )
87 simpl 107 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
885, 10, 15, 20, 31, 86, 87findcard2sd 6541 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( `  ( A  X.  B ) )  =  ( ( `  A
)  x.  ( `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   _Vcvv 2614    \ cdif 2983    u. cun 2984    i^i cin 2985    C_ wss 2986   (/)c0 3272   {csn 3425   class class class wbr 3814    X. cxp 4402   ` cfv 4972  (class class class)co 5594    ~~ cen 6388   Fincfn 6390   CCcc 7269   0cc0 7271   1c1 7272    + caddc 7274    x. cmul 7276  ♯chash 10032
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-irdg 6070  df-frec 6091  df-1o 6116  df-oadd 6120  df-er 6225  df-en 6391  df-dom 6392  df-fin 6393  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-fz 9334  df-ihash 10033
This theorem is referenced by:  crth  10994  phimullem  10995
  Copyright terms: Public domain W3C validator