ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashxp Unicode version

Theorem hashxp 10523
Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
hashxp  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( `  ( A  X.  B ) )  =  ( ( `  A
)  x.  ( `  B
) ) )

Proof of Theorem hashxp
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 4521 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  X.  B )  =  ( (/)  X.  B
) )
21fveq2d 5391 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( `  (
x  X.  B ) )  =  ( `  ( (/) 
X.  B ) ) )
3 fveq2 5387 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( `  x
)  =  ( `  (/) ) )
43oveq1d 5755 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( `  x )  x.  ( `  B ) )  =  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B )
) )
52, 4eqeq12d 2130 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( `  ( x  X.  B
) )  =  ( ( `  x )  x.  ( `  B )
)  <->  ( `  ( (/)  X.  B
) )  =  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B )
) ) )
6 xpeq1 4521 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  X.  B )  =  ( y  X.  B ) )
76fveq2d 5391 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( `  ( x  X.  B
) )  =  ( `  ( y  X.  B
) ) )
8 fveq2 5387 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( `  x )  =  ( `  y ) )
98oveq1d 5755 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( `  x )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )
107, 9eqeq12d 2130 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( `  x
)  x.  ( `  B
) )  <->  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) ) )
11 xpeq1 4521 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  X.  B )  =  ( ( y  u.  {
z } )  X.  B ) )
1211fveq2d 5391 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( `  ( x  X.  B ) )  =  ( `  ( (
y  u.  { z } )  X.  B
) ) )
13 fveq2 5387 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( `  x )  =  ( `  ( y  u.  { z } ) ) )
1413oveq1d 5755 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( `  x
)  x.  ( `  B
) )  =  ( ( `  ( y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B
) ) )
1512, 14eqeq12d 2130 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( `  (
x  X.  B ) )  =  ( ( `  x )  x.  ( `  B ) )  <->  ( `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B )
) ) )
16 xpeq1 4521 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  X.  B )  =  ( A  X.  B ) )
1716fveq2d 5391 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( `  ( x  X.  B
) )  =  ( `  ( A  X.  B
) ) )
18 fveq2 5387 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( `  x )  =  ( `  A ) )
1918oveq1d 5755 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( `  x )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( `  A )  x.  ( `  B ) ) )
2017, 19eqeq12d 2130 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( `  x
)  x.  ( `  B
) )  <->  ( `  ( A  X.  B ) )  =  ( ( `  A
)  x.  ( `  B
) ) ) )
21 hash0 10494 . . . . 5  |-  ( `  (/) )  =  0
2221oveq1i 5750 . . . 4  |-  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B ) )  =  ( 0  x.  ( `  B ) )
23 hashcl 10478 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( `  B )  e.  NN0 )
2423nn0cnd 8986 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( `  B )  e.  CC )
2524mul02d 8118 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
0  x.  ( `  B
) )  =  0 )
2625adantl 273 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( 0  x.  ( `  B ) )  =  0 )
2722, 26syl5eq 2160 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B )
)  =  0 )
28 0xp 4587 . . . . 5  |-  ( (/)  X.  B )  =  (/)
2928fveq2i 5390 . . . 4  |-  ( `  ( (/) 
X.  B ) )  =  ( `  (/) )
3029, 21eqtri 2136 . . 3  |-  ( `  ( (/) 
X.  B ) )  =  0
3127, 30syl6reqr 2167 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( `  ( (/)  X.  B
) )  =  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B )
) )
32 oveq1 5747 . . . . 5  |-  ( ( `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B )
)  ->  ( ( `  ( y  X.  B
) )  +  ( `  B ) )  =  ( ( ( `  y
)  x.  ( `  B
) )  +  ( `  B ) ) )
3332adantl 273 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )  ->  ( ( `  (
y  X.  B ) )  +  ( `  B
) )  =  ( ( ( `  y
)  x.  ( `  B
) )  +  ( `  B ) ) )
34 xpundir 4564 . . . . . . 7  |-  ( ( y  u.  { z } )  X.  B
)  =  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) )
3534fveq2i 5390 . . . . . 6  |-  ( `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( `  ( (
y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )
36 simplr 502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  y  e.  Fin )
37 simpllr 506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  B  e.  Fin )
38 xpfi 6784 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
3936, 37, 38syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( y  X.  B )  e.  Fin )
40 vex 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
41 snfig 6674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  { z }  e.  Fin )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  Fin
43 xpfi 6784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z }  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { z }  X.  B )  e.  Fin )
4442, 43mpan 418 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( { z }  X.  B )  e.  Fin )
4544ad3antlr 482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( { z }  X.  B )  e.  Fin )
46 simprr 504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
4746eldifbd 3051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
48 inxp 4641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  ( ( y  i^i  { z } )  X.  ( B  i^i  B ) )
49 disjsn 3553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
5049biimpri 132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
5150xpeq1d 4530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (
(/)  X.  ( B  i^i  B ) ) )
52 0xp 4587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  X.  ( B  i^i  B
) )  =  (/)
5351, 52syl6eq 2164 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (/) )
5448, 53syl5eq 2160 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )
5547, 54syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )
56 hashun 10502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  X.  B
)  e.  Fin  /\  ( { z }  X.  B )  e.  Fin  /\  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )  =  ( ( `  (
y  X.  B ) )  +  ( `  ( { z }  X.  B ) ) ) )
5739, 45, 55, 56syl3anc 1199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  ( (
y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( `  ( y  X.  B ) )  +  ( `  ( {
z }  X.  B
) ) ) )
5840snex 4077 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z }  e.  _V
5958a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  { z }  e.  _V )
60 xpcomeng 6688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { z }  e.  _V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { z }  X.  B ) 
~~  ( B  X.  { z } ) )
6159, 37, 60syl2anc 406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( { z }  X.  B ) 
~~  ( B  X.  { z } ) )
6240a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  _V )
63 xpsneng 6682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  z  e.  _V )  ->  ( B  X.  {
z } )  ~~  B )
6437, 62, 63syl2anc 406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( B  X.  { z } ) 
~~  B )
65 entr 6644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { z }  X.  B )  ~~  ( B  X.  { z } )  /\  ( B  X.  { z } )  ~~  B )  ->  ( { z }  X.  B ) 
~~  B )
6661, 64, 65syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( { z }  X.  B ) 
~~  B )
67 hashen 10481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { z }  X.  B )  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( `  ( { z }  X.  B ) )  =  ( `  B
)  <->  ( { z }  X.  B ) 
~~  B ) )
6845, 37, 67syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  ( { z }  X.  B ) )  =  ( `  B )  <->  ( { z }  X.  B )  ~~  B
) )
6966, 68mpbird 166 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  ( {
z }  X.  B
) )  =  ( `  B ) )
7069oveq2d 5756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  (
y  X.  B ) )  +  ( `  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( `  (
y  X.  B ) )  +  ( `  B
) ) )
7157, 70eqtrd 2148 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  ( (
y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( `  ( y  X.  B ) )  +  ( `  B )
) )
7235, 71syl5eq 2160 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  ( (
y  u.  { z } )  X.  B
) )  =  ( ( `  ( y  X.  B ) )  +  ( `  B )
) )
7372adantr 272 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )  ->  ( `  ( (
y  u.  { z } )  X.  B
) )  =  ( ( `  ( y  X.  B ) )  +  ( `  B )
) )
74 hashunsng 10504 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  ->  (
( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  ->  ( `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( `  y
)  +  1 ) ) )
7540, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( `  y
)  +  1 ) )
7675oveq1d 5755 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( `  B
) )  =  ( ( ( `  y
)  +  1 )  x.  ( `  B
) ) )
7736, 47, 76syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( ( `  y )  +  1 )  x.  ( `  B )
) )
78 hashcl 10478 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( `  y )  e.  NN0 )
7978nn0cnd 8986 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( `  y )  e.  CC )
8036, 79syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  y )  e.  CC )
8137, 24syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  B )  e.  CC )
8280, 81adddirp1d 7756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( ( `  y )  +  1 )  x.  ( `  B
) )  =  ( ( ( `  y
)  x.  ( `  B
) )  +  ( `  B ) ) )
8377, 82eqtrd 2148 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( ( `  y )  x.  ( `  B )
)  +  ( `  B
) ) )
8483adantr 272 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )  ->  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( ( `  y )  x.  ( `  B )
)  +  ( `  B
) ) )
8533, 73, 843eqtr4d 2158 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )  ->  ( `  ( (
y  u.  { z } )  X.  B
) )  =  ( ( `  ( y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B
) ) )
8685ex 114 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) )  -> 
( `  ( ( y  u.  { z } )  X.  B ) )  =  ( ( `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( `  B
) ) ) )
87 simpl 108 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
885, 10, 15, 20, 31, 86, 87findcard2sd 6752 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( `  ( A  X.  B ) )  =  ( ( `  A
)  x.  ( `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   _Vcvv 2658    \ cdif 3036    u. cun 3037    i^i cin 3038    C_ wss 3039   (/)c0 3331   {csn 3495   class class class wbr 3897    X. cxp 4505   ` cfv 5091  (class class class)co 5740    ~~ cen 6598   Fincfn 6600   CCcc 7582   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    x. cmul 7589  ♯chash 10472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-fz 9742  df-ihash 10473
This theorem is referenced by:  crth  11806  phimullem  11807
  Copyright terms: Public domain W3C validator