Theorem hashxp 10565

Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
hashxp	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> (♯ ` ( A X. B ) ) = ( (♯ ` A ) x. (♯ ` B ) ) )

Proof of Theorem hashxp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq1 4548	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( x X. B ) = ( (/) X. B ) )
2	1	fveq2d 5418	. . 3 |- ( x = (/) -> (♯ ` ( x X. B ) ) = (♯ ` ( (/) X. B ) ) )
3		fveq2 5414	. . . 4 |- ( x = (/) -> (♯ ` x ) = (♯ ` (/) ) )
4	3	oveq1d 5782	. . 3 |- ( x = (/) -> ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) = ( (♯ ` (/) ) x. (♯ ` B ) ) )
5	2, 4	eqeq12d 2152	. 2 |- ( x = (/) -> ( (♯ ` ( x X. B ) ) = ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) <-> (♯ ` ( (/) X. B ) ) = ( (♯ ` (/) ) x. (♯ ` B ) ) ) )
6		xpeq1 4548	. . . 4 |- ( x = y -> ( x X. B ) = ( y X. B ) )
7	6	fveq2d 5418	. . 3 |- ( x = y -> (♯ ` ( x X. B ) ) = (♯ ` ( y X. B ) ) )
8		fveq2 5414	. . . 4 |- ( x = y -> (♯ ` x ) = (♯ ` y ) )
9	8	oveq1d 5782	. . 3 |- ( x = y -> ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) )
10	7, 9	eqeq12d 2152	. 2 |- ( x = y -> ( (♯ ` ( x X. B ) ) = ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) <-> (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) ) )
11		xpeq1 4548	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( x X. B ) = ( ( y u. { z } ) X. B ) )
12	11	fveq2d 5418	. . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> (♯ ` ( x X. B ) ) = (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) )
13		fveq2 5414	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> (♯ ` x ) = (♯ ` ( y u. { z } ) ) )
14	13	oveq1d 5782	. . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2152	. 2 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( (♯ ` ( x X. B ) ) = ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) <-> (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) ) )
16		xpeq1 4548	. . . 4 |- ( x = A -> ( x X. B ) = ( A X. B ) )
17	16	fveq2d 5418	. . 3 |- ( x = A -> (♯ ` ( x X. B ) ) = (♯ ` ( A X. B ) ) )
18		fveq2 5414	. . . 4 |- ( x = A -> (♯ ` x ) = (♯ ` A ) )
19	18	oveq1d 5782	. . 3 |- ( x = A -> ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) = ( (♯ ` A ) x. (♯ ` B ) ) )
20	17, 19	eqeq12d 2152	. 2 |- ( x = A -> ( (♯ ` ( x X. B ) ) = ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) <-> (♯ ` ( A X. B ) ) = ( (♯ ` A ) x. (♯ ` B ) ) ) )
21		hash0 10536	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
22	21	oveq1i 5777	. . . 4 |- ( (♯ ` (/) ) x. (♯ ` B ) ) = ( 0 x. (♯ ` B ) )
23		hashcl 10520	. . . . . . 7 |- ( B e. Fin -> (♯ ` B ) e. NN0 )
24	23	nn0cnd 9025	. . . . . 6 |- ( B e. Fin -> (♯ ` B ) e. CC )
25	24	mul02d 8147	. . . . 5 |- ( B e. Fin -> ( 0 x. (♯ ` B ) ) = 0 )
26	25	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( 0 x. (♯ ` B ) ) = 0 )
27	22, 26	syl5eq 2182	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( (♯ ` (/) ) x. (♯ ` B ) ) = 0 )
28		0xp 4614	. . . . 5 |- ( (/) X. B ) = (/)
29	28	fveq2i 5417	. . . 4 |- (♯ ` ( (/) X. B ) ) = (♯ ` (/) )
30	29, 21	eqtri 2158	. . 3 |- (♯ ` ( (/) X. B ) ) = 0
31	27, 30	syl6reqr 2189	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> (♯ ` ( (/) X. B ) ) = ( (♯ ` (/) ) x. (♯ ` B ) ) )
32		oveq1 5774	. . . . 5 |- ( (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) + (♯ ` B ) ) )
33	32	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) + (♯ ` B ) ) )
34		xpundir 4591	. . . . . . 7 |- ( ( y u. { z } ) X. B ) = ( ( y X. B ) u. ( { z } X. B ) )
35	34	fveq2i 5417	. . . . . 6 |- (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = (♯ ` ( ( y X. B ) u. ( { z } X. B ) ) )
36		simplr 519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
37		simpllr 523	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> B e. Fin )
38		xpfi 6811	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin )
39	36, 37, 38	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y X. B ) e. Fin )
40		vex 2684	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
41		snfig 6701	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> { z } e. Fin )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- { z } e. Fin
43		xpfi 6811	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { z } e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( { z } X. B ) e. Fin )
44	42, 43	mpan 420	. . . . . . . . 9 |- ( B e. Fin -> ( { z } X. B ) e. Fin )
45	44	ad3antlr 484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( { z } X. B ) e. Fin )
46		simprr 521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
47	46	eldifbd 3078	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
48		inxp 4668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y X. B ) i^i ( { z } X. B ) ) = ( ( y i^i { z } ) X. ( B i^i B ) )
49		disjsn 3580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
50	49	biimpri 132	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. z e. y -> ( y i^i { z } ) = (/) )
51	50	xpeq1d 4557	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. z e. y -> ( ( y i^i { z } ) X. ( B i^i B ) ) = ( (/) X. ( B i^i B ) ) )
52		0xp 4614	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) X. ( B i^i B ) ) = (/)
53	51, 52	syl6eq 2186	. . . . . . . . . 10 |- ( -. z e. y -> ( ( y i^i { z } ) X. ( B i^i B ) ) = (/) )
54	48, 53	syl5eq 2182	. . . . . . . . 9 |- ( -. z e. y -> ( ( y X. B ) i^i ( { z } X. B ) ) = (/) )
55	47, 54	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( y X. B ) i^i ( { z } X. B ) ) = (/) )
56		hashun 10544	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y X. B ) e. Fin /\ ( { z } X. B ) e. Fin /\ ( ( y X. B ) i^i ( { z } X. B ) ) = (/) ) -> (♯ ` ( ( y X. B ) u. ( { z } X. B ) ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` ( { z } X. B ) ) ) )
57	39, 45, 55, 56	syl3anc 1216	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` ( ( y X. B ) u. ( { z } X. B ) ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` ( { z } X. B ) ) ) )
58	40	snex 4104	. . . . . . . . . . . 12 |- { z } e. _V
59	58	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> { z } e. _V )
60		xpcomeng 6715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { z } e. _V /\ B e. Fin ) -> ( { z } X. B ) ~~ ( B X. { z } ) )
61	59, 37, 60	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( { z } X. B ) ~~ ( B X. { z } ) )
62	40	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. _V )
63		xpsneng 6709	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. Fin /\ z e. _V ) -> ( B X. { z } ) ~~ B )
64	37, 62, 63	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B X. { z } ) ~~ B )
65		entr 6671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( { z } X. B ) ~~ ( B X. { z } ) /\ ( B X. { z } ) ~~ B ) -> ( { z } X. B ) ~~ B )
66	61, 64, 65	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( { z } X. B ) ~~ B )
67		hashen 10523	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( { z } X. B ) e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( (♯ ` ( { z } X. B ) ) = (♯ ` B ) <-> ( { z } X. B ) ~~ B ) )
68	45, 37, 67	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( (♯ ` ( { z } X. B ) ) = (♯ ` B ) <-> ( { z } X. B ) ~~ B ) )
69	66, 68	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` ( { z } X. B ) ) = (♯ ` B ) )
70	69	oveq2d 5783	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` ( { z } X. B ) ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) )
71	57, 70	eqtrd 2170	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` ( ( y X. B ) u. ( { z } X. B ) ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) )
72	35, 71	syl5eq 2182	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) )
73	72	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) ) -> (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) )
74		hashunsng 10546	. . . . . . . . 9 |- ( z e. _V -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
75	40, 74	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
76	75	oveq1d 5782	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. (♯ ` B ) ) )
77	36, 47, 76	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. (♯ ` B ) ) )
78		hashcl 10520	. . . . . . . . 9 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
79	78	nn0cnd 9025	. . . . . . . 8 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. CC )
80	36, 79	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` y ) e. CC )
81	37, 24	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` B ) e. CC )
82	80, 81	adddirp1d 7785	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) + (♯ ` B ) ) )
83	77, 82	eqtrd 2170	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) + (♯ ` B ) ) )
84	83	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) + (♯ ` B ) ) )
85	33, 73, 84	3eqtr4d 2180	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) ) -> (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) )
86	85	ex 114	. 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) -> (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) ) )
87		simpl 108	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> A e. Fin )
88	5, 10, 15, 20, 31, 86, 87	findcard2sd 6779	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> (♯ ` ( A X. B ) ) = ( (♯ ` A ) x. (♯ ` B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   \ cdif 3063   u. cun 3064   i^i cin 3065   C_ wss 3066   (/)c0 3358   {csn 3522   class class class wbr 3924   X. cxp 4532   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   ~~ cen 6625   Fincfn 6627   CCcc 7611   0cc0 7613   1c1 7614   + caddc 7616   x. cmul 7618  ♯chash 10514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-ihash 10515

This theorem is referenced by:  crth  11889  phimullem  11890