Theorem hashxp 10971

Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
hashxp	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> (♯ ` ( A X. B ) ) = ( (♯ ` A ) x. (♯ ` B ) ) )

Proof of Theorem hashxp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq1 4689	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( x X. B ) = ( (/) X. B ) )
2	1	fveq2d 5580	. . 3 |- ( x = (/) -> (♯ ` ( x X. B ) ) = (♯ ` ( (/) X. B ) ) )
3		fveq2 5576	. . . 4 |- ( x = (/) -> (♯ ` x ) = (♯ ` (/) ) )
4	3	oveq1d 5959	. . 3 |- ( x = (/) -> ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) = ( (♯ ` (/) ) x. (♯ ` B ) ) )
5	2, 4	eqeq12d 2220	. 2 |- ( x = (/) -> ( (♯ ` ( x X. B ) ) = ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) <-> (♯ ` ( (/) X. B ) ) = ( (♯ ` (/) ) x. (♯ ` B ) ) ) )
6		xpeq1 4689	. . . 4 |- ( x = y -> ( x X. B ) = ( y X. B ) )
7	6	fveq2d 5580	. . 3 |- ( x = y -> (♯ ` ( x X. B ) ) = (♯ ` ( y X. B ) ) )
8		fveq2 5576	. . . 4 |- ( x = y -> (♯ ` x ) = (♯ ` y ) )
9	8	oveq1d 5959	. . 3 |- ( x = y -> ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) )
10	7, 9	eqeq12d 2220	. 2 |- ( x = y -> ( (♯ ` ( x X. B ) ) = ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) <-> (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) ) )
11		xpeq1 4689	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( x X. B ) = ( ( y u. { z } ) X. B ) )
12	11	fveq2d 5580	. . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> (♯ ` ( x X. B ) ) = (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) )
13		fveq2 5576	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> (♯ ` x ) = (♯ ` ( y u. { z } ) ) )
14	13	oveq1d 5959	. . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2220	. 2 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( (♯ ` ( x X. B ) ) = ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) <-> (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) ) )
16		xpeq1 4689	. . . 4 |- ( x = A -> ( x X. B ) = ( A X. B ) )
17	16	fveq2d 5580	. . 3 |- ( x = A -> (♯ ` ( x X. B ) ) = (♯ ` ( A X. B ) ) )
18		fveq2 5576	. . . 4 |- ( x = A -> (♯ ` x ) = (♯ ` A ) )
19	18	oveq1d 5959	. . 3 |- ( x = A -> ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) = ( (♯ ` A ) x. (♯ ` B ) ) )
20	17, 19	eqeq12d 2220	. 2 |- ( x = A -> ( (♯ ` ( x X. B ) ) = ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) <-> (♯ ` ( A X. B ) ) = ( (♯ ` A ) x. (♯ ` B ) ) ) )
21		0xp 4755	. . . . 5 |- ( (/) X. B ) = (/)
22	21	fveq2i 5579	. . . 4 |- (♯ ` ( (/) X. B ) ) = (♯ ` (/) )
23		hash0 10941	. . . 4 |- (♯ ` (/) ) = 0
24	22, 23	eqtri 2226	. . 3 |- (♯ ` ( (/) X. B ) ) = 0
25	23	oveq1i 5954	. . . 4 |- ( (♯ ` (/) ) x. (♯ ` B ) ) = ( 0 x. (♯ ` B ) )
26		hashcl 10926	. . . . . . 7 |- ( B e. Fin -> (♯ ` B ) e. NN0 )
27	26	nn0cnd 9350	. . . . . 6 |- ( B e. Fin -> (♯ ` B ) e. CC )
28	27	mul02d 8464	. . . . 5 |- ( B e. Fin -> ( 0 x. (♯ ` B ) ) = 0 )
29	28	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( 0 x. (♯ ` B ) ) = 0 )
30	25, 29	eqtrid 2250	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( (♯ ` (/) ) x. (♯ ` B ) ) = 0 )
31	24, 30	eqtr4id 2257	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> (♯ ` ( (/) X. B ) ) = ( (♯ ` (/) ) x. (♯ ` B ) ) )
32		oveq1 5951	. . . . 5 |- ( (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) + (♯ ` B ) ) )
33	32	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) + (♯ ` B ) ) )
34		xpundir 4732	. . . . . . 7 |- ( ( y u. { z } ) X. B ) = ( ( y X. B ) u. ( { z } X. B ) )
35	34	fveq2i 5579	. . . . . 6 |- (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = (♯ ` ( ( y X. B ) u. ( { z } X. B ) ) )
36		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
37		simpllr 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> B e. Fin )
38		xpfi 7029	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin )
39	36, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y X. B ) e. Fin )
40		vex 2775	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
41		snfig 6906	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> { z } e. Fin )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- { z } e. Fin
43		xpfi 7029	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { z } e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( { z } X. B ) e. Fin )
44	42, 43	mpan 424	. . . . . . . . 9 |- ( B e. Fin -> ( { z } X. B ) e. Fin )
45	44	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( { z } X. B ) e. Fin )
46		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
47	46	eldifbd 3178	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
48		inxp 4812	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y X. B ) i^i ( { z } X. B ) ) = ( ( y i^i { z } ) X. ( B i^i B ) )
49		disjsn 3695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
50	49	biimpri 133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. z e. y -> ( y i^i { z } ) = (/) )
51	50	xpeq1d 4698	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. z e. y -> ( ( y i^i { z } ) X. ( B i^i B ) ) = ( (/) X. ( B i^i B ) ) )
52		0xp 4755	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) X. ( B i^i B ) ) = (/)
53	51, 52	eqtrdi 2254	. . . . . . . . . 10 |- ( -. z e. y -> ( ( y i^i { z } ) X. ( B i^i B ) ) = (/) )
54	48, 53	eqtrid 2250	. . . . . . . . 9 |- ( -. z e. y -> ( ( y X. B ) i^i ( { z } X. B ) ) = (/) )
55	47, 54	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( y X. B ) i^i ( { z } X. B ) ) = (/) )
56		hashun 10950	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y X. B ) e. Fin /\ ( { z } X. B ) e. Fin /\ ( ( y X. B ) i^i ( { z } X. B ) ) = (/) ) -> (♯ ` ( ( y X. B ) u. ( { z } X. B ) ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` ( { z } X. B ) ) ) )
57	39, 45, 55, 56	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` ( ( y X. B ) u. ( { z } X. B ) ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` ( { z } X. B ) ) ) )
58	40	snex 4229	. . . . . . . . . . . 12 |- { z } e. _V
59	58	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> { z } e. _V )
60		xpcomeng 6923	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { z } e. _V /\ B e. Fin ) -> ( { z } X. B ) ~~ ( B X. { z } ) )
61	59, 37, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( { z } X. B ) ~~ ( B X. { z } ) )
62	40	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. _V )
63		xpsneng 6917	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. Fin /\ z e. _V ) -> ( B X. { z } ) ~~ B )
64	37, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B X. { z } ) ~~ B )
65		entr 6876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( { z } X. B ) ~~ ( B X. { z } ) /\ ( B X. { z } ) ~~ B ) -> ( { z } X. B ) ~~ B )
66	61, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( { z } X. B ) ~~ B )
67		hashen 10929	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( { z } X. B ) e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( (♯ ` ( { z } X. B ) ) = (♯ ` B ) <-> ( { z } X. B ) ~~ B ) )
68	45, 37, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( (♯ ` ( { z } X. B ) ) = (♯ ` B ) <-> ( { z } X. B ) ~~ B ) )
69	66, 68	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` ( { z } X. B ) ) = (♯ ` B ) )
70	69	oveq2d 5960	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` ( { z } X. B ) ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) )
71	57, 70	eqtrd 2238	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` ( ( y X. B ) u. ( { z } X. B ) ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) )
72	35, 71	eqtrid 2250	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) )
73	72	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) ) -> (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) )
74		hashunsng 10952	. . . . . . . . 9 |- ( z e. _V -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
75	40, 74	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
76	75	oveq1d 5959	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. (♯ ` B ) ) )
77	36, 47, 76	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. (♯ ` B ) ) )
78		hashcl 10926	. . . . . . . . 9 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
79	78	nn0cnd 9350	. . . . . . . 8 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. CC )
80	36, 79	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` y ) e. CC )
81	37, 27	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` B ) e. CC )
82	80, 81	adddirp1d 8099	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) + (♯ ` B ) ) )
83	77, 82	eqtrd 2238	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) + (♯ ` B ) ) )
84	83	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) + (♯ ` B ) ) )
85	33, 73, 84	3eqtr4d 2248	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) ) -> (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) )
86	85	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) -> (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) ) )
87		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> A e. Fin )
88	5, 10, 15, 20, 31, 86, 87	findcard2sd 6989	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> (♯ ` ( A X. B ) ) = ( (♯ ` A ) x. (♯ ` B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   \ cdif 3163   u. cun 3164   i^i cin 3165   C_ wss 3166   (/)c0 3460   {csn 3633   class class class wbr 4044   X. cxp 4673   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   ~~ cen 6825   Fincfn 6827   CCcc 7923   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   x. cmul 7930  ♯chash 10920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-frec 6477  df-1o 6502  df-oadd 6506  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-ihash 10921

This theorem is referenced by:  crth  12546  phimullem  12547  lgsquadlem3  15556