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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > hashxp | Unicode version |
Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) |
Ref | Expression |
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hashxp |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | xpeq1 4636 |
. . . 4
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2 | 1 | fveq2d 5514 |
. . 3
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3 | fveq2 5510 |
. . . 4
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4 | 3 | oveq1d 5883 |
. . 3
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5 | 2, 4 | eqeq12d 2192 |
. 2
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6 | xpeq1 4636 |
. . . 4
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7 | 6 | fveq2d 5514 |
. . 3
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8 | fveq2 5510 |
. . . 4
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9 | 8 | oveq1d 5883 |
. . 3
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10 | 7, 9 | eqeq12d 2192 |
. 2
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11 | xpeq1 4636 |
. . . 4
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12 | 11 | fveq2d 5514 |
. . 3
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13 | fveq2 5510 |
. . . 4
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14 | 13 | oveq1d 5883 |
. . 3
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15 | 12, 14 | eqeq12d 2192 |
. 2
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16 | xpeq1 4636 |
. . . 4
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17 | 16 | fveq2d 5514 |
. . 3
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18 | fveq2 5510 |
. . . 4
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19 | 18 | oveq1d 5883 |
. . 3
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20 | 17, 19 | eqeq12d 2192 |
. 2
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21 | 0xp 4702 |
. . . . 5
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22 | 21 | fveq2i 5513 |
. . . 4
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23 | hash0 10747 |
. . . 4
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24 | 22, 23 | eqtri 2198 |
. . 3
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25 | 23 | oveq1i 5878 |
. . . 4
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26 | hashcl 10732 |
. . . . . . 7
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27 | 26 | nn0cnd 9207 |
. . . . . 6
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28 | 27 | mul02d 8326 |
. . . . 5
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29 | 28 | adantl 277 |
. . . 4
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30 | 25, 29 | eqtrid 2222 |
. . 3
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31 | 24, 30 | eqtr4id 2229 |
. 2
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32 | oveq1 5875 |
. . . . 5
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33 | 32 | adantl 277 |
. . . 4
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34 | xpundir 4679 |
. . . . . . 7
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35 | 34 | fveq2i 5513 |
. . . . . 6
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36 | simplr 528 |
. . . . . . . . 9
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37 | simpllr 534 |
. . . . . . . . 9
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38 | xpfi 6922 |
. . . . . . . . 9
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39 | 36, 37, 38 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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40 | vex 2740 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | snfig 6807 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 40, 41 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
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43 | xpfi 6922 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 42, 43 | mpan 424 |
. . . . . . . . 9
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45 | 44 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . 8
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46 | simprr 531 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 46 | eldifbd 3141 |
. . . . . . . . 9
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48 | inxp 4756 |
. . . . . . . . . 10
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49 | disjsn 3653 |
. . . . . . . . . . . . 13
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50 | 49 | biimpri 133 |
. . . . . . . . . . . 12
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51 | 50 | xpeq1d 4645 |
. . . . . . . . . . 11
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52 | 0xp 4702 |
. . . . . . . . . . 11
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53 | 51, 52 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . . . . 10
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54 | 48, 53 | eqtrid 2222 |
. . . . . . . . 9
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55 | 47, 54 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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56 | hashun 10756 |
. . . . . . . 8
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57 | 39, 45, 55, 56 | syl3anc 1238 |
. . . . . . 7
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58 | 40 | snex 4182 |
. . . . . . . . . . . 12
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59 | 58 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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60 | xpcomeng 6821 |
. . . . . . . . . . 11
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61 | 59, 37, 60 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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62 | 40 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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63 | xpsneng 6815 |
. . . . . . . . . . 11
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64 | 37, 62, 63 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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65 | entr 6777 |
. . . . . . . . . 10
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66 | 61, 64, 65 | syl2anc 411 |
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67 | hashen 10735 |
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68 | 45, 37, 67 | syl2anc 411 |
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69 | 66, 68 | mpbird 167 |
. . . . . . . 8
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70 | 69 | oveq2d 5884 |
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71 | 57, 70 | eqtrd 2210 |
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72 | 35, 71 | eqtrid 2222 |
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75 | 40, 74 | ax-mp 5 |
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76 | 75 | oveq1d 5883 |
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77 | 36, 47, 76 | syl2anc 411 |
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78 | hashcl 10732 |
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79 | 78 | nn0cnd 9207 |
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80 | 36, 79 | syl 14 |
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81 | 37, 27 | syl 14 |
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82 | 80, 81 | adddirp1d 7961 |
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83 | 77, 82 | eqtrd 2210 |
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84 | 83 | adantr 276 |
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85 | 33, 73, 84 | 3eqtr4d 2220 |
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86 | 85 | ex 115 |
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87 | simpl 109 |
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88 | 5, 10, 15, 20, 31, 86, 87 | findcard2sd 6885 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4205 ax-un 4429 ax-setind 4532 ax-iinf 4583 ax-cnex 7880 ax-resscn 7881 ax-1cn 7882 ax-1re 7883 ax-icn 7884 ax-addcl 7885 ax-addrcl 7886 ax-mulcl 7887 ax-addcom 7889 ax-mulcom 7890 ax-addass 7891 ax-mulass 7892 ax-distr 7893 ax-i2m1 7894 ax-0lt1 7895 ax-1rid 7896 ax-0id 7897 ax-rnegex 7898 ax-cnre 7900 ax-pre-ltirr 7901 ax-pre-ltwlin 7902 ax-pre-lttrn 7903 ax-pre-apti 7904 ax-pre-ltadd 7905 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4289 df-iord 4362 df-on 4364 df-ilim 4365 df-suc 4367 df-iom 4586 df-xp 4628 df-rel 4629 df-cnv 4630 df-co 4631 df-dm 4632 df-rn 4633 df-res 4634 df-ima 4635 df-iota 5173 df-fun 5213 df-fn 5214 df-f 5215 df-f1 5216 df-fo 5217 df-f1o 5218 df-fv 5219 df-riota 5824 df-ov 5871 df-oprab 5872 df-mpo 5873 df-1st 6134 df-2nd 6135 df-recs 6299 df-irdg 6364 df-frec 6385 df-1o 6410 df-oadd 6414 df-er 6528 df-en 6734 df-dom 6735 df-fin 6736 df-pnf 7971 df-mnf 7972 df-xr 7973 df-ltxr 7974 df-le 7975 df-sub 8107 df-neg 8108 df-inn 8896 df-n0 9153 df-z 9230 df-uz 9505 df-fz 9983 df-ihash 10727 |
This theorem is referenced by: crth 12194 phimullem 12195 |
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