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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > hashxp | Unicode version |
Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) |
Ref | Expression |
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hashxp |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | xpeq1 4450 |
. . . 4
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2 | 1 | fveq2d 5303 |
. . 3
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3 | fveq2 5299 |
. . . 4
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4 | 3 | oveq1d 5659 |
. . 3
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5 | 2, 4 | eqeq12d 2102 |
. 2
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6 | xpeq1 4450 |
. . . 4
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7 | 6 | fveq2d 5303 |
. . 3
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8 | fveq2 5299 |
. . . 4
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9 | 8 | oveq1d 5659 |
. . 3
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10 | 7, 9 | eqeq12d 2102 |
. 2
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11 | xpeq1 4450 |
. . . 4
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12 | 11 | fveq2d 5303 |
. . 3
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13 | fveq2 5299 |
. . . 4
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14 | 13 | oveq1d 5659 |
. . 3
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15 | 12, 14 | eqeq12d 2102 |
. 2
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16 | xpeq1 4450 |
. . . 4
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17 | 16 | fveq2d 5303 |
. . 3
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18 | fveq2 5299 |
. . . 4
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19 | 18 | oveq1d 5659 |
. . 3
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20 | 17, 19 | eqeq12d 2102 |
. 2
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21 | hash0 10193 |
. . . . 5
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22 | 21 | oveq1i 5654 |
. . . 4
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23 | hashcl 10177 |
. . . . . . 7
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24 | 23 | nn0cnd 8718 |
. . . . . 6
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25 | 24 | mul02d 7860 |
. . . . 5
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26 | 25 | adantl 271 |
. . . 4
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27 | 22, 26 | syl5eq 2132 |
. . 3
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28 | 0xp 4514 |
. . . . 5
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29 | 28 | fveq2i 5302 |
. . . 4
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30 | 29, 21 | eqtri 2108 |
. . 3
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31 | 27, 30 | syl6reqr 2139 |
. 2
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32 | oveq1 5651 |
. . . . 5
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33 | 32 | adantl 271 |
. . . 4
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34 | xpundir 4491 |
. . . . . . 7
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35 | 34 | fveq2i 5302 |
. . . . . 6
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36 | simplr 497 |
. . . . . . . . 9
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37 | simpllr 501 |
. . . . . . . . 9
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38 | xpfi 6630 |
. . . . . . . . 9
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39 | 36, 37, 38 | syl2anc 403 |
. . . . . . . 8
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40 | vex 2622 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | snfig 6521 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 40, 41 | ax-mp 7 |
. . . . . . . . . 10
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43 | xpfi 6630 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 42, 43 | mpan 415 |
. . . . . . . . 9
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45 | 44 | ad3antlr 477 |
. . . . . . . 8
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46 | simprr 499 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 46 | eldifbd 3011 |
. . . . . . . . 9
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48 | inxp 4566 |
. . . . . . . . . 10
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49 | disjsn 3502 |
. . . . . . . . . . . . 13
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50 | 49 | biimpri 131 |
. . . . . . . . . . . 12
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51 | 50 | xpeq1d 4459 |
. . . . . . . . . . 11
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52 | 0xp 4514 |
. . . . . . . . . . 11
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53 | 51, 52 | syl6eq 2136 |
. . . . . . . . . 10
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54 | 48, 53 | syl5eq 2132 |
. . . . . . . . 9
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55 | 47, 54 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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56 | hashun 10201 |
. . . . . . . 8
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57 | 39, 45, 55, 56 | syl3anc 1174 |
. . . . . . 7
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58 | 40 | snex 4018 |
. . . . . . . . . . . 12
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59 | 58 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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60 | xpcomeng 6534 |
. . . . . . . . . . 11
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61 | 59, 37, 60 | syl2anc 403 |
. . . . . . . . . 10
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62 | 40 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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63 | xpsneng 6528 |
. . . . . . . . . . 11
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64 | 37, 62, 63 | syl2anc 403 |
. . . . . . . . . 10
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65 | entr 6491 |
. . . . . . . . . 10
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66 | 61, 64, 65 | syl2anc 403 |
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67 | hashen 10180 |
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68 | 45, 37, 67 | syl2anc 403 |
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69 | 66, 68 | mpbird 165 |
. . . . . . . 8
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70 | 69 | oveq2d 5660 |
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71 | 57, 70 | eqtrd 2120 |
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72 | 35, 71 | syl5eq 2132 |
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75 | 40, 74 | ax-mp 7 |
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76 | 75 | oveq1d 5659 |
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77 | 36, 47, 76 | syl2anc 403 |
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78 | hashcl 10177 |
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79 | 78 | nn0cnd 8718 |
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80 | 36, 79 | syl 14 |
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82 | 80, 81 | adddirp1d 7504 |
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83 | 77, 82 | eqtrd 2120 |
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84 | 83 | adantr 270 |
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85 | 33, 73, 84 | 3eqtr4d 2130 |
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86 | 85 | ex 113 |
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87 | simpl 107 |
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88 | 5, 10, 15, 20, 31, 86, 87 | findcard2sd 6598 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 579 ax-in2 580 ax-io 665 ax-5 1381 ax-7 1382 ax-gen 1383 ax-ie1 1427 ax-ie2 1428 ax-8 1440 ax-10 1441 ax-11 1442 ax-i12 1443 ax-bndl 1444 ax-4 1445 ax-13 1449 ax-14 1450 ax-17 1464 ax-i9 1468 ax-ial 1472 ax-i5r 1473 ax-ext 2070 ax-coll 3952 ax-sep 3955 ax-nul 3963 ax-pow 4007 ax-pr 4034 ax-un 4258 ax-setind 4351 ax-iinf 4401 ax-cnex 7426 ax-resscn 7427 ax-1cn 7428 ax-1re 7429 ax-icn 7430 ax-addcl 7431 ax-addrcl 7432 ax-mulcl 7433 ax-addcom 7435 ax-mulcom 7436 ax-addass 7437 ax-mulass 7438 ax-distr 7439 ax-i2m1 7440 ax-0lt1 7441 ax-1rid 7442 ax-0id 7443 ax-rnegex 7444 ax-cnre 7446 ax-pre-ltirr 7447 ax-pre-ltwlin 7448 ax-pre-lttrn 7449 ax-pre-apti 7450 ax-pre-ltadd 7451 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 781 df-3or 925 df-3an 926 df-tru 1292 df-fal 1295 df-nf 1395 df-sb 1693 df-eu 1951 df-mo 1952 df-clab 2075 df-cleq 2081 df-clel 2084 df-nfc 2217 df-ne 2256 df-nel 2351 df-ral 2364 df-rex 2365 df-reu 2366 df-rab 2368 df-v 2621 df-sbc 2841 df-csb 2934 df-dif 3001 df-un 3003 df-in 3005 df-ss 3012 df-nul 3287 df-if 3392 df-pw 3429 df-sn 3450 df-pr 3451 df-op 3453 df-uni 3652 df-int 3687 df-iun 3730 df-br 3844 df-opab 3898 df-mpt 3899 df-tr 3935 df-id 4118 df-iord 4191 df-on 4193 df-ilim 4194 df-suc 4196 df-iom 4404 df-xp 4442 df-rel 4443 df-cnv 4444 df-co 4445 df-dm 4446 df-rn 4447 df-res 4448 df-ima 4449 df-iota 4975 df-fun 5012 df-fn 5013 df-f 5014 df-f1 5015 df-fo 5016 df-f1o 5017 df-fv 5018 df-riota 5600 df-ov 5647 df-oprab 5648 df-mpt2 5649 df-1st 5903 df-2nd 5904 df-recs 6062 df-irdg 6127 df-frec 6148 df-1o 6173 df-oadd 6177 df-er 6282 df-en 6448 df-dom 6449 df-fin 6450 df-pnf 7514 df-mnf 7515 df-xr 7516 df-ltxr 7517 df-le 7518 df-sub 7645 df-neg 7646 df-inn 8413 df-n0 8664 df-z 8741 df-uz 9010 df-fz 9415 df-ihash 10172 |
This theorem is referenced by: crth 11465 phimullem 11466 |
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