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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > hashxp | Unicode version |
Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) |
Ref | Expression |
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hashxp |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | xpeq1 4561 |
. . . 4
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2 | 1 | fveq2d 5433 |
. . 3
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3 | fveq2 5429 |
. . . 4
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4 | 3 | oveq1d 5797 |
. . 3
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5 | 2, 4 | eqeq12d 2155 |
. 2
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6 | xpeq1 4561 |
. . . 4
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7 | 6 | fveq2d 5433 |
. . 3
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8 | fveq2 5429 |
. . . 4
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9 | 8 | oveq1d 5797 |
. . 3
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10 | 7, 9 | eqeq12d 2155 |
. 2
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11 | xpeq1 4561 |
. . . 4
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12 | 11 | fveq2d 5433 |
. . 3
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13 | fveq2 5429 |
. . . 4
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14 | 13 | oveq1d 5797 |
. . 3
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15 | 12, 14 | eqeq12d 2155 |
. 2
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16 | xpeq1 4561 |
. . . 4
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17 | 16 | fveq2d 5433 |
. . 3
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18 | fveq2 5429 |
. . . 4
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19 | 18 | oveq1d 5797 |
. . 3
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20 | 17, 19 | eqeq12d 2155 |
. 2
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21 | 0xp 4627 |
. . . . 5
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22 | 21 | fveq2i 5432 |
. . . 4
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23 | hash0 10575 |
. . . 4
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24 | 22, 23 | eqtri 2161 |
. . 3
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25 | 23 | oveq1i 5792 |
. . . 4
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26 | hashcl 10559 |
. . . . . . 7
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27 | 26 | nn0cnd 9056 |
. . . . . 6
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28 | 27 | mul02d 8178 |
. . . . 5
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29 | 28 | adantl 275 |
. . . 4
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30 | 25, 29 | syl5eq 2185 |
. . 3
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31 | 24, 30 | eqtr4id 2192 |
. 2
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32 | oveq1 5789 |
. . . . 5
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33 | 32 | adantl 275 |
. . . 4
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34 | xpundir 4604 |
. . . . . . 7
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35 | 34 | fveq2i 5432 |
. . . . . 6
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36 | simplr 520 |
. . . . . . . . 9
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37 | simpllr 524 |
. . . . . . . . 9
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38 | xpfi 6826 |
. . . . . . . . 9
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39 | 36, 37, 38 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
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40 | vex 2692 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | snfig 6716 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 40, 41 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
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43 | xpfi 6826 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 42, 43 | mpan 421 |
. . . . . . . . 9
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45 | 44 | ad3antlr 485 |
. . . . . . . 8
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46 | simprr 522 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 46 | eldifbd 3088 |
. . . . . . . . 9
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48 | inxp 4681 |
. . . . . . . . . 10
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49 | disjsn 3593 |
. . . . . . . . . . . . 13
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50 | 49 | biimpri 132 |
. . . . . . . . . . . 12
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51 | 50 | xpeq1d 4570 |
. . . . . . . . . . 11
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52 | 0xp 4627 |
. . . . . . . . . . 11
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53 | 51, 52 | eqtrdi 2189 |
. . . . . . . . . 10
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54 | 48, 53 | syl5eq 2185 |
. . . . . . . . 9
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55 | 47, 54 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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56 | hashun 10583 |
. . . . . . . 8
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57 | 39, 45, 55, 56 | syl3anc 1217 |
. . . . . . 7
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58 | 40 | snex 4117 |
. . . . . . . . . . . 12
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59 | 58 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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60 | xpcomeng 6730 |
. . . . . . . . . . 11
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61 | 59, 37, 60 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . 10
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62 | 40 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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63 | xpsneng 6724 |
. . . . . . . . . . 11
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64 | 37, 62, 63 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . 10
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65 | entr 6686 |
. . . . . . . . . 10
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67 | hashen 10562 |
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68 | 45, 37, 67 | syl2anc 409 |
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69 | 66, 68 | mpbird 166 |
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70 | 69 | oveq2d 5798 |
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71 | 57, 70 | eqtrd 2173 |
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79 | 78 | nn0cnd 9056 |
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80 | 36, 79 | syl 14 |
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82 | 80, 81 | adddirp1d 7816 |
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83 | 77, 82 | eqtrd 2173 |
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84 | 83 | adantr 274 |
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85 | 33, 73, 84 | 3eqtr4d 2183 |
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86 | 85 | ex 114 |
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87 | simpl 108 |
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88 | 5, 10, 15, 20, 31, 86, 87 | findcard2sd 6794 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-irdg 6275 df-frec 6296 df-1o 6321 df-oadd 6325 df-er 6437 df-en 6643 df-dom 6644 df-fin 6645 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-inn 8745 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-fz 9822 df-ihash 10554 |
This theorem is referenced by: crth 11936 phimullem 11937 |
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