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Theorem hashxp 10222
Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
hashxp |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> (♯ ` ( A X. B ) ) = ( (♯ ` A ) x. (♯ ` B ) ) )
Proof of Theorem hashxp
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 4450 . . . 4 |- ( x = (/) -> ( x X. B ) = ( (/) X. B ) )
21fveq2d 5303 . . 3 |- ( x = (/) -> (♯ ` ( x X. B ) ) = (♯ ` ( (/) X. B ) ) )
3 fveq2 5299 . . . 4 |- ( x = (/) -> (♯ ` x ) = (♯ ` (/) ) )
43oveq1d 5659 . . 3 |- ( x = (/) -> ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) = ( (♯ ` (/) ) x. (♯ ` B ) ) )
52, 4eqeq12d 2102 . 2 |- ( x = (/) -> ( (♯ ` ( x X. B ) ) = ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) <-> (♯ ` ( (/) X. B ) ) = ( (♯ ` (/) ) x. (♯ ` B ) ) ) )
6 xpeq1 4450 . . . 4 |- ( x = y -> ( x X. B ) = ( y X. B ) )
76fveq2d 5303 . . 3 |- ( x = y -> (♯ ` ( x X. B ) ) = (♯ ` ( y X. B ) ) )
8 fveq2 5299 . . . 4 |- ( x = y -> (♯ ` x ) = (♯ ` y ) )
98oveq1d 5659 . . 3 |- ( x = y -> ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) )
107, 9eqeq12d 2102 . 2 |- ( x = y -> ( (♯ ` ( x X. B ) ) = ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) <-> (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) ) )
11 xpeq1 4450 . . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( x X. B ) = ( ( y u. { z } ) X. B ) )
1211fveq2d 5303 . . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> (♯ ` ( x X. B ) ) = (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) )
13 fveq2 5299 . . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> (♯ ` x ) = (♯ ` ( y u. { z } ) ) )
1413oveq1d 5659 . . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) )
1512, 14eqeq12d 2102 . 2 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( (♯ ` ( x X. B ) ) = ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) <-> (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) ) )
16 xpeq1 4450 . . . 4 |- ( x = A -> ( x X. B ) = ( A X. B ) )
1716fveq2d 5303 . . 3 |- ( x = A -> (♯ ` ( x X. B ) ) = (♯ ` ( A X. B ) ) )
18 fveq2 5299 . . . 4 |- ( x = A -> (♯ ` x ) = (♯ ` A ) )
1918oveq1d 5659 . . 3 |- ( x = A -> ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) = ( (♯ ` A ) x. (♯ ` B ) ) )
2017, 19eqeq12d 2102 . 2 |- ( x = A -> ( (♯ ` ( x X. B ) ) = ( (♯ ` x ) x. (♯ ` B ) ) <-> (♯ ` ( A X. B ) ) = ( (♯ ` A ) x. (♯ ` B ) ) ) )
21 hash0 10193 . . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
2221oveq1i 5654 . . . 4 |- ( (♯ ` (/) ) x. (♯ ` B ) ) = ( 0 x. (♯ ` B ) )
23 hashcl 10177 . . . . . . 7 |- ( B e. Fin -> (♯ ` B ) e. NN0 )
2423nn0cnd 8718 . . . . . 6 |- ( B e. Fin -> (♯ ` B ) e. CC )
2524mul02d 7860 . . . . 5 |- ( B e. Fin -> ( 0 x. (♯ ` B ) ) = 0 )
2625adantl 271 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( 0 x. (♯ ` B ) ) = 0 )
2722, 26syl5eq 2132 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( (♯ ` (/) ) x. (♯ ` B ) ) = 0 )
28 0xp 4514 . . . . 5 |- ( (/) X. B ) = (/)
2928fveq2i 5302 . . . 4 |- (♯ ` ( (/) X. B ) ) = (♯ ` (/) )
3029, 21eqtri 2108 . . 3 |- (♯ ` ( (/) X. B ) ) = 0
3127, 30syl6reqr 2139 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> (♯ ` ( (/) X. B ) ) = ( (♯ ` (/) ) x. (♯ ` B ) ) )
32 oveq1 5651 . . . . 5 |- ( (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) + (♯ ` B ) ) )
3332adantl 271 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) + (♯ ` B ) ) )
34 xpundir 4491 . . . . . . 7 |- ( ( y u. { z } ) X. B ) = ( ( y X. B ) u. ( { z } X. B ) )
3534fveq2i 5302 . . . . . 6 |- (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = (♯ ` ( ( y X. B ) u. ( { z } X. B ) ) )
36 simplr 497 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
37 simpllr 501 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> B e. Fin )
38 xpfi 6630 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin )
3936, 37, 38syl2anc 403 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y X. B ) e. Fin )
40 vex 2622 . . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
41 snfig 6521 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> { z } e. Fin )
4240, 41ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 |- { z } e. Fin
43 xpfi 6630 . . . . . . . . . 10 |- ( ( { z } e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( { z } X. B ) e. Fin )
4442, 43mpan 415 . . . . . . . . 9 |- ( B e. Fin -> ( { z } X. B ) e. Fin )
4544ad3antlr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( { z } X. B ) e. Fin )
46 simprr 499 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
4746eldifbd 3011 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
48 inxp 4566 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y X. B ) i^i ( { z } X. B ) ) = ( ( y i^i { z } ) X. ( B i^i B ) )
49 disjsn 3502 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
5049biimpri 131 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. z e. y -> ( y i^i { z } ) = (/) )
5150xpeq1d 4459 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. z e. y -> ( ( y i^i { z } ) X. ( B i^i B ) ) = ( (/) X. ( B i^i B ) ) )
52 0xp 4514 . . . . . . . . . . 11 |- ( (/) X. ( B i^i B ) ) = (/)
5351, 52syl6eq 2136 . . . . . . . . . 10 |- ( -. z e. y -> ( ( y i^i { z } ) X. ( B i^i B ) ) = (/) )
5448, 53syl5eq 2132 . . . . . . . . 9 |- ( -. z e. y -> ( ( y X. B ) i^i ( { z } X. B ) ) = (/) )
5547, 54syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( y X. B ) i^i ( { z } X. B ) ) = (/) )
56 hashun 10201 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y X. B ) e. Fin /\ ( { z } X. B ) e. Fin /\ ( ( y X. B ) i^i ( { z } X. B ) ) = (/) ) -> (♯ ` ( ( y X. B ) u. ( { z } X. B ) ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` ( { z } X. B ) ) ) )
5739, 45, 55, 56syl3anc 1174 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` ( ( y X. B ) u. ( { z } X. B ) ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` ( { z } X. B ) ) ) )
5840snex 4018 . . . . . . . . . . . 12 |- { z } e. _V
5958a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> { z } e. _V )
60 xpcomeng 6534 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( { z } e. _V /\ B e. Fin ) -> ( { z } X. B ) ~~ ( B X. { z } ) )
6159, 37, 60syl2anc 403 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( { z } X. B ) ~~ ( B X. { z } ) )
6240a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. _V )
63 xpsneng 6528 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. Fin /\ z e. _V ) -> ( B X. { z } ) ~~ B )
6437, 62, 63syl2anc 403 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B X. { z } ) ~~ B )
65 entr 6491 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( { z } X. B ) ~~ ( B X. { z } ) /\ ( B X. { z } ) ~~ B ) -> ( { z } X. B ) ~~ B )
6661, 64, 65syl2anc 403 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( { z } X. B ) ~~ B )
67 hashen 10180 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( { z } X. B ) e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( (♯ ` ( { z } X. B ) ) = (♯ ` B ) <-> ( { z } X. B ) ~~ B ) )
6845, 37, 67syl2anc 403 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( (♯ ` ( { z } X. B ) ) = (♯ ` B ) <-> ( { z } X. B ) ~~ B ) )
6966, 68mpbird 165 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` ( { z } X. B ) ) = (♯ ` B ) )
7069oveq2d 5660 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` ( { z } X. B ) ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) )
7157, 70eqtrd 2120 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` ( ( y X. B ) u. ( { z } X. B ) ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) )
7235, 71syl5eq 2132 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) )
7372adantr 270 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) ) -> (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = ( (♯ ` ( y X. B ) ) + (♯ ` B ) ) )
74 hashunsng 10203 . . . . . . . . 9 |- ( z e. _V -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
7540, 74ax-mp 7 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
7675oveq1d 5659 . . . . . . 7 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. (♯ ` B ) ) )
7736, 47, 76syl2anc 403 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. (♯ ` B ) ) )
78 hashcl 10177 . . . . . . . . 9 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
7978nn0cnd 8718 . . . . . . . 8 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. CC )
8036, 79syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` y ) e. CC )
8137, 24syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` B ) e. CC )
8280, 81adddirp1d 7504 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) + (♯ ` B ) ) )
8377, 82eqtrd 2120 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) + (♯ ` B ) ) )
8483adantr 270 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) = ( ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) + (♯ ` B ) ) )
8533, 73, 843eqtr4d 2130 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) ) -> (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) )
8685ex 113 . 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( (♯ ` ( y X. B ) ) = ( (♯ ` y ) x. (♯ ` B ) ) -> (♯ ` ( ( y u. { z } ) X. B ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. (♯ ` B ) ) ) )
87 simpl 107 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> A e. Fin )
885, 10, 15, 20, 31, 86, 87findcard2sd 6598 1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> (♯ ` ( A X. B ) ) = ( (♯ ` A ) x. (♯ ` B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   \ cdif 2996   u. cun 2997   i^i cin 2998   C_ wss 2999   (/)c0 3286   {csn 3444   class class class wbr 3843   X. cxp 4434   ` cfv 5010  (class class class)co 5644   ~~ cen 6445   Fincfn 6447   CCcc 7338   0cc0 7340   1c1 7341   + caddc 7343   x. cmul 7345  ♯chash 10171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-mulcom 7436  ax-addass 7437  ax-mulass 7438  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-1rid 7442  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-frec 6148  df-1o 6173  df-oadd 6177  df-er 6282  df-en 6448  df-dom 6449  df-fin 6450  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-inn 8413  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010  df-fz 9415  df-ihash 10172
This theorem is referenced by:  crth  11465  phimullem  11466
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