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Theorem hashxp 10848
Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
hashxp  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( `  ( A  X.  B ) )  =  ( ( `  A
)  x.  ( `  B
) ) )

Proof of Theorem hashxp
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 4661 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  X.  B )  =  ( (/)  X.  B
) )
21fveq2d 5541 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( `  (
x  X.  B ) )  =  ( `  ( (/) 
X.  B ) ) )
3 fveq2 5537 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( `  x
)  =  ( `  (/) ) )
43oveq1d 5915 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( `  x )  x.  ( `  B ) )  =  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B )
) )
52, 4eqeq12d 2204 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( `  ( x  X.  B
) )  =  ( ( `  x )  x.  ( `  B )
)  <->  ( `  ( (/)  X.  B
) )  =  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B )
) ) )
6 xpeq1 4661 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  X.  B )  =  ( y  X.  B ) )
76fveq2d 5541 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( `  ( x  X.  B
) )  =  ( `  ( y  X.  B
) ) )
8 fveq2 5537 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( `  x )  =  ( `  y ) )
98oveq1d 5915 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( `  x )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )
107, 9eqeq12d 2204 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( `  x
)  x.  ( `  B
) )  <->  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) ) )
11 xpeq1 4661 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  X.  B )  =  ( ( y  u.  {
z } )  X.  B ) )
1211fveq2d 5541 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( `  ( x  X.  B ) )  =  ( `  ( (
y  u.  { z } )  X.  B
) ) )
13 fveq2 5537 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( `  x )  =  ( `  ( y  u.  { z } ) ) )
1413oveq1d 5915 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( `  x
)  x.  ( `  B
) )  =  ( ( `  ( y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B
) ) )
1512, 14eqeq12d 2204 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( `  (
x  X.  B ) )  =  ( ( `  x )  x.  ( `  B ) )  <->  ( `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B )
) ) )
16 xpeq1 4661 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  X.  B )  =  ( A  X.  B ) )
1716fveq2d 5541 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( `  ( x  X.  B
) )  =  ( `  ( A  X.  B
) ) )
18 fveq2 5537 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( `  x )  =  ( `  A ) )
1918oveq1d 5915 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( `  x )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( `  A )  x.  ( `  B ) ) )
2017, 19eqeq12d 2204 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( `  x
)  x.  ( `  B
) )  <->  ( `  ( A  X.  B ) )  =  ( ( `  A
)  x.  ( `  B
) ) ) )
21 0xp 4727 . . . . 5  |-  ( (/)  X.  B )  =  (/)
2221fveq2i 5540 . . . 4  |-  ( `  ( (/) 
X.  B ) )  =  ( `  (/) )
23 hash0 10818 . . . 4  |-  ( `  (/) )  =  0
2422, 23eqtri 2210 . . 3  |-  ( `  ( (/) 
X.  B ) )  =  0
2523oveq1i 5910 . . . 4  |-  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B ) )  =  ( 0  x.  ( `  B ) )
26 hashcl 10803 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( `  B )  e.  NN0 )
2726nn0cnd 9267 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( `  B )  e.  CC )
2827mul02d 8385 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
0  x.  ( `  B
) )  =  0 )
2928adantl 277 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( 0  x.  ( `  B ) )  =  0 )
3025, 29eqtrid 2234 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B )
)  =  0 )
3124, 30eqtr4id 2241 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( `  ( (/)  X.  B
) )  =  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B )
) )
32 oveq1 5907 . . . . 5  |-  ( ( `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B )
)  ->  ( ( `  ( y  X.  B
) )  +  ( `  B ) )  =  ( ( ( `  y
)  x.  ( `  B
) )  +  ( `  B ) ) )
3332adantl 277 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )  ->  ( ( `  (
y  X.  B ) )  +  ( `  B
) )  =  ( ( ( `  y
)  x.  ( `  B
) )  +  ( `  B ) ) )
34 xpundir 4704 . . . . . . 7  |-  ( ( y  u.  { z } )  X.  B
)  =  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) )
3534fveq2i 5540 . . . . . 6  |-  ( `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( `  ( (
y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )
36 simplr 528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  y  e.  Fin )
37 simpllr 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  B  e.  Fin )
38 xpfi 6962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
3936, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( y  X.  B )  e.  Fin )
40 vex 2755 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
41 snfig 6844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  { z }  e.  Fin )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  Fin
43 xpfi 6962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z }  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { z }  X.  B )  e.  Fin )
4442, 43mpan 424 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( { z }  X.  B )  e.  Fin )
4544ad3antlr 493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( { z }  X.  B )  e.  Fin )
46 simprr 531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
4746eldifbd 3156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
48 inxp 4782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  ( ( y  i^i  { z } )  X.  ( B  i^i  B ) )
49 disjsn 3672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
5049biimpri 133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
5150xpeq1d 4670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (
(/)  X.  ( B  i^i  B ) ) )
52 0xp 4727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  X.  ( B  i^i  B
) )  =  (/)
5351, 52eqtrdi 2238 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (/) )
5448, 53eqtrid 2234 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )
5547, 54syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )
56 hashun 10827 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  X.  B
)  e.  Fin  /\  ( { z }  X.  B )  e.  Fin  /\  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )  =  ( ( `  (
y  X.  B ) )  +  ( `  ( { z }  X.  B ) ) ) )
5739, 45, 55, 56syl3anc 1249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  ( (
y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( `  ( y  X.  B ) )  +  ( `  ( {
z }  X.  B
) ) ) )
5840snex 4206 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z }  e.  _V
5958a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  { z }  e.  _V )
60 xpcomeng 6858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { z }  e.  _V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { z }  X.  B ) 
~~  ( B  X.  { z } ) )
6159, 37, 60syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( { z }  X.  B ) 
~~  ( B  X.  { z } ) )
6240a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  _V )
63 xpsneng 6852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  z  e.  _V )  ->  ( B  X.  {
z } )  ~~  B )
6437, 62, 63syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( B  X.  { z } ) 
~~  B )
65 entr 6814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { z }  X.  B )  ~~  ( B  X.  { z } )  /\  ( B  X.  { z } )  ~~  B )  ->  ( { z }  X.  B ) 
~~  B )
6661, 64, 65syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( { z }  X.  B ) 
~~  B )
67 hashen 10806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { z }  X.  B )  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( `  ( { z }  X.  B ) )  =  ( `  B
)  <->  ( { z }  X.  B ) 
~~  B ) )
6845, 37, 67syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  ( { z }  X.  B ) )  =  ( `  B )  <->  ( { z }  X.  B )  ~~  B
) )
6966, 68mpbird 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  ( {
z }  X.  B
) )  =  ( `  B ) )
7069oveq2d 5916 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  (
y  X.  B ) )  +  ( `  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( `  (
y  X.  B ) )  +  ( `  B
) ) )
7157, 70eqtrd 2222 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  ( (
y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( `  ( y  X.  B ) )  +  ( `  B )
) )
7235, 71eqtrid 2234 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  ( (
y  u.  { z } )  X.  B
) )  =  ( ( `  ( y  X.  B ) )  +  ( `  B )
) )
7372adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )  ->  ( `  ( (
y  u.  { z } )  X.  B
) )  =  ( ( `  ( y  X.  B ) )  +  ( `  B )
) )
74 hashunsng 10829 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  ->  (
( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  ->  ( `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( `  y
)  +  1 ) ) )
7540, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( `  y
)  +  1 ) )
7675oveq1d 5915 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( `  B
) )  =  ( ( ( `  y
)  +  1 )  x.  ( `  B
) ) )
7736, 47, 76syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( ( `  y )  +  1 )  x.  ( `  B )
) )
78 hashcl 10803 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( `  y )  e.  NN0 )
7978nn0cnd 9267 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( `  y )  e.  CC )
8036, 79syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  y )  e.  CC )
8137, 27syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  B )  e.  CC )
8280, 81adddirp1d 8020 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( ( `  y )  +  1 )  x.  ( `  B
) )  =  ( ( ( `  y
)  x.  ( `  B
) )  +  ( `  B ) ) )
8377, 82eqtrd 2222 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( ( `  y )  x.  ( `  B )
)  +  ( `  B
) ) )
8483adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )  ->  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( ( `  y )  x.  ( `  B )
)  +  ( `  B
) ) )
8533, 73, 843eqtr4d 2232 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )  ->  ( `  ( (
y  u.  { z } )  X.  B
) )  =  ( ( `  ( y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B
) ) )
8685ex 115 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) )  -> 
( `  ( ( y  u.  { z } )  X.  B ) )  =  ( ( `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( `  B
) ) ) )
87 simpl 109 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
885, 10, 15, 20, 31, 86, 87findcard2sd 6924 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( `  ( A  X.  B ) )  =  ( ( `  A
)  x.  ( `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   _Vcvv 2752    \ cdif 3141    u. cun 3142    i^i cin 3143    C_ wss 3144   (/)c0 3437   {csn 3610   class class class wbr 4021    X. cxp 4645   ` cfv 5238  (class class class)co 5900    ~~ cen 6768   Fincfn 6770   CCcc 7844   0cc0 7846   1c1 7847    + caddc 7849    x. cmul 7851  ♯chash 10797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-irdg 6399  df-frec 6420  df-1o 6445  df-oadd 6449  df-er 6563  df-en 6771  df-dom 6772  df-fin 6773  df-pnf 8030  df-mnf 8031  df-xr 8032  df-ltxr 8033  df-le 8034  df-sub 8166  df-neg 8167  df-inn 8956  df-n0 9213  df-z 9290  df-uz 9565  df-fz 10046  df-ihash 10798
This theorem is referenced by:  crth  12268  phimullem  12269
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