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Theorem hashxp 10971
Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
hashxp  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( `  ( A  X.  B ) )  =  ( ( `  A
)  x.  ( `  B
) ) )

Proof of Theorem hashxp
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 4689 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  X.  B )  =  ( (/)  X.  B
) )
21fveq2d 5580 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( `  (
x  X.  B ) )  =  ( `  ( (/) 
X.  B ) ) )
3 fveq2 5576 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( `  x
)  =  ( `  (/) ) )
43oveq1d 5959 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( `  x )  x.  ( `  B ) )  =  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B )
) )
52, 4eqeq12d 2220 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( `  ( x  X.  B
) )  =  ( ( `  x )  x.  ( `  B )
)  <->  ( `  ( (/)  X.  B
) )  =  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B )
) ) )
6 xpeq1 4689 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  X.  B )  =  ( y  X.  B ) )
76fveq2d 5580 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( `  ( x  X.  B
) )  =  ( `  ( y  X.  B
) ) )
8 fveq2 5576 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( `  x )  =  ( `  y ) )
98oveq1d 5959 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( `  x )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )
107, 9eqeq12d 2220 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( `  x
)  x.  ( `  B
) )  <->  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) ) )
11 xpeq1 4689 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  X.  B )  =  ( ( y  u.  {
z } )  X.  B ) )
1211fveq2d 5580 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( `  ( x  X.  B ) )  =  ( `  ( (
y  u.  { z } )  X.  B
) ) )
13 fveq2 5576 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( `  x )  =  ( `  ( y  u.  { z } ) ) )
1413oveq1d 5959 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( `  x
)  x.  ( `  B
) )  =  ( ( `  ( y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B
) ) )
1512, 14eqeq12d 2220 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( `  (
x  X.  B ) )  =  ( ( `  x )  x.  ( `  B ) )  <->  ( `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B )
) ) )
16 xpeq1 4689 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  X.  B )  =  ( A  X.  B ) )
1716fveq2d 5580 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( `  ( x  X.  B
) )  =  ( `  ( A  X.  B
) ) )
18 fveq2 5576 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( `  x )  =  ( `  A ) )
1918oveq1d 5959 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( `  x )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( `  A )  x.  ( `  B ) ) )
2017, 19eqeq12d 2220 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( `  x
)  x.  ( `  B
) )  <->  ( `  ( A  X.  B ) )  =  ( ( `  A
)  x.  ( `  B
) ) ) )
21 0xp 4755 . . . . 5  |-  ( (/)  X.  B )  =  (/)
2221fveq2i 5579 . . . 4  |-  ( `  ( (/) 
X.  B ) )  =  ( `  (/) )
23 hash0 10941 . . . 4  |-  ( `  (/) )  =  0
2422, 23eqtri 2226 . . 3  |-  ( `  ( (/) 
X.  B ) )  =  0
2523oveq1i 5954 . . . 4  |-  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B ) )  =  ( 0  x.  ( `  B ) )
26 hashcl 10926 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( `  B )  e.  NN0 )
2726nn0cnd 9350 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( `  B )  e.  CC )
2827mul02d 8464 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
0  x.  ( `  B
) )  =  0 )
2928adantl 277 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( 0  x.  ( `  B ) )  =  0 )
3025, 29eqtrid 2250 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B )
)  =  0 )
3124, 30eqtr4id 2257 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( `  ( (/)  X.  B
) )  =  ( ( `  (/) )  x.  ( `  B )
) )
32 oveq1 5951 . . . . 5  |-  ( ( `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B )
)  ->  ( ( `  ( y  X.  B
) )  +  ( `  B ) )  =  ( ( ( `  y
)  x.  ( `  B
) )  +  ( `  B ) ) )
3332adantl 277 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )  ->  ( ( `  (
y  X.  B ) )  +  ( `  B
) )  =  ( ( ( `  y
)  x.  ( `  B
) )  +  ( `  B ) ) )
34 xpundir 4732 . . . . . . 7  |-  ( ( y  u.  { z } )  X.  B
)  =  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) )
3534fveq2i 5579 . . . . . 6  |-  ( `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( `  ( (
y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )
36 simplr 528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  y  e.  Fin )
37 simpllr 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  B  e.  Fin )
38 xpfi 7029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
3936, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( y  X.  B )  e.  Fin )
40 vex 2775 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
41 snfig 6906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  { z }  e.  Fin )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  Fin
43 xpfi 7029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z }  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { z }  X.  B )  e.  Fin )
4442, 43mpan 424 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( { z }  X.  B )  e.  Fin )
4544ad3antlr 493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( { z }  X.  B )  e.  Fin )
46 simprr 531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
4746eldifbd 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
48 inxp 4812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  ( ( y  i^i  { z } )  X.  ( B  i^i  B ) )
49 disjsn 3695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
5049biimpri 133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
5150xpeq1d 4698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (
(/)  X.  ( B  i^i  B ) ) )
52 0xp 4755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  X.  ( B  i^i  B
) )  =  (/)
5351, 52eqtrdi 2254 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (/) )
5448, 53eqtrid 2250 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )
5547, 54syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )
56 hashun 10950 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  X.  B
)  e.  Fin  /\  ( { z }  X.  B )  e.  Fin  /\  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )  =  ( ( `  (
y  X.  B ) )  +  ( `  ( { z }  X.  B ) ) ) )
5739, 45, 55, 56syl3anc 1250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  ( (
y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( `  ( y  X.  B ) )  +  ( `  ( {
z }  X.  B
) ) ) )
5840snex 4229 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z }  e.  _V
5958a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  { z }  e.  _V )
60 xpcomeng 6923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { z }  e.  _V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { z }  X.  B ) 
~~  ( B  X.  { z } ) )
6159, 37, 60syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( { z }  X.  B ) 
~~  ( B  X.  { z } ) )
6240a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  _V )
63 xpsneng 6917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  z  e.  _V )  ->  ( B  X.  {
z } )  ~~  B )
6437, 62, 63syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( B  X.  { z } ) 
~~  B )
65 entr 6876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { z }  X.  B )  ~~  ( B  X.  { z } )  /\  ( B  X.  { z } )  ~~  B )  ->  ( { z }  X.  B ) 
~~  B )
6661, 64, 65syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( { z }  X.  B ) 
~~  B )
67 hashen 10929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { z }  X.  B )  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( `  ( { z }  X.  B ) )  =  ( `  B
)  <->  ( { z }  X.  B ) 
~~  B ) )
6845, 37, 67syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  ( { z }  X.  B ) )  =  ( `  B )  <->  ( { z }  X.  B )  ~~  B
) )
6966, 68mpbird 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  ( {
z }  X.  B
) )  =  ( `  B ) )
7069oveq2d 5960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  (
y  X.  B ) )  +  ( `  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( `  (
y  X.  B ) )  +  ( `  B
) ) )
7157, 70eqtrd 2238 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  ( (
y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( `  ( y  X.  B ) )  +  ( `  B )
) )
7235, 71eqtrid 2250 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  ( (
y  u.  { z } )  X.  B
) )  =  ( ( `  ( y  X.  B ) )  +  ( `  B )
) )
7372adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )  ->  ( `  ( (
y  u.  { z } )  X.  B
) )  =  ( ( `  ( y  X.  B ) )  +  ( `  B )
) )
74 hashunsng 10952 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  ->  (
( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  ->  ( `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( `  y
)  +  1 ) ) )
7540, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( `  y
)  +  1 ) )
7675oveq1d 5959 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( `  B
) )  =  ( ( ( `  y
)  +  1 )  x.  ( `  B
) ) )
7736, 47, 76syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( ( `  y )  +  1 )  x.  ( `  B )
) )
78 hashcl 10926 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( `  y )  e.  NN0 )
7978nn0cnd 9350 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( `  y )  e.  CC )
8036, 79syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  y )  e.  CC )
8137, 27syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( `  B )  e.  CC )
8280, 81adddirp1d 8099 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( ( `  y )  +  1 )  x.  ( `  B
) )  =  ( ( ( `  y
)  x.  ( `  B
) )  +  ( `  B ) ) )
8377, 82eqtrd 2238 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( ( `  y )  x.  ( `  B )
)  +  ( `  B
) ) )
8483adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )  ->  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B )
)  =  ( ( ( `  y )  x.  ( `  B )
)  +  ( `  B
) ) )
8533, 73, 843eqtr4d 2248 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) ) )  ->  ( `  ( (
y  u.  { z } )  X.  B
) )  =  ( ( `  ( y  u.  { z } ) )  x.  ( `  B
) ) )
8685ex 115 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( `  (
y  X.  B ) )  =  ( ( `  y )  x.  ( `  B ) )  -> 
( `  ( ( y  u.  { z } )  X.  B ) )  =  ( ( `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( `  B
) ) ) )
87 simpl 109 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
885, 10, 15, 20, 31, 86, 87findcard2sd 6989 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( `  ( A  X.  B ) )  =  ( ( `  A
)  x.  ( `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1373    e. wcel 2176   _Vcvv 2772    \ cdif 3163    u. cun 3164    i^i cin 3165    C_ wss 3166   (/)c0 3460   {csn 3633   class class class wbr 4044    X. cxp 4673   ` cfv 5271  (class class class)co 5944    ~~ cen 6825   Fincfn 6827   CCcc 7923   0cc0 7925   1c1 7926    + caddc 7928    x. cmul 7930  ♯chash 10920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-frec 6477  df-1o 6502  df-oadd 6506  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-ihash 10921
This theorem is referenced by:  crth  12546  phimullem  12547  lgsquadlem3  15556
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