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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > hashxp | Unicode version |
Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) |
Ref | Expression |
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hashxp |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | xpeq1 4661 |
. . . 4
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2 | 1 | fveq2d 5541 |
. . 3
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3 | fveq2 5537 |
. . . 4
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4 | 3 | oveq1d 5915 |
. . 3
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5 | 2, 4 | eqeq12d 2204 |
. 2
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6 | xpeq1 4661 |
. . . 4
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7 | 6 | fveq2d 5541 |
. . 3
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8 | fveq2 5537 |
. . . 4
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9 | 8 | oveq1d 5915 |
. . 3
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10 | 7, 9 | eqeq12d 2204 |
. 2
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11 | xpeq1 4661 |
. . . 4
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12 | 11 | fveq2d 5541 |
. . 3
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13 | fveq2 5537 |
. . . 4
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14 | 13 | oveq1d 5915 |
. . 3
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15 | 12, 14 | eqeq12d 2204 |
. 2
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16 | xpeq1 4661 |
. . . 4
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17 | 16 | fveq2d 5541 |
. . 3
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18 | fveq2 5537 |
. . . 4
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19 | 18 | oveq1d 5915 |
. . 3
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20 | 17, 19 | eqeq12d 2204 |
. 2
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21 | 0xp 4727 |
. . . . 5
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22 | 21 | fveq2i 5540 |
. . . 4
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23 | hash0 10818 |
. . . 4
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24 | 22, 23 | eqtri 2210 |
. . 3
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25 | 23 | oveq1i 5910 |
. . . 4
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26 | hashcl 10803 |
. . . . . . 7
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27 | 26 | nn0cnd 9267 |
. . . . . 6
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28 | 27 | mul02d 8385 |
. . . . 5
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29 | 28 | adantl 277 |
. . . 4
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30 | 25, 29 | eqtrid 2234 |
. . 3
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31 | 24, 30 | eqtr4id 2241 |
. 2
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32 | oveq1 5907 |
. . . . 5
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33 | 32 | adantl 277 |
. . . 4
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34 | xpundir 4704 |
. . . . . . 7
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35 | 34 | fveq2i 5540 |
. . . . . 6
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36 | simplr 528 |
. . . . . . . . 9
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37 | simpllr 534 |
. . . . . . . . 9
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38 | xpfi 6962 |
. . . . . . . . 9
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39 | 36, 37, 38 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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40 | vex 2755 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | snfig 6844 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 40, 41 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
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43 | xpfi 6962 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 42, 43 | mpan 424 |
. . . . . . . . 9
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45 | 44 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . 8
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46 | simprr 531 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 46 | eldifbd 3156 |
. . . . . . . . 9
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48 | inxp 4782 |
. . . . . . . . . 10
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49 | disjsn 3672 |
. . . . . . . . . . . . 13
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50 | 49 | biimpri 133 |
. . . . . . . . . . . 12
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51 | 50 | xpeq1d 4670 |
. . . . . . . . . . 11
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52 | 0xp 4727 |
. . . . . . . . . . 11
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53 | 51, 52 | eqtrdi 2238 |
. . . . . . . . . 10
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54 | 48, 53 | eqtrid 2234 |
. . . . . . . . 9
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55 | 47, 54 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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56 | hashun 10827 |
. . . . . . . 8
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57 | 39, 45, 55, 56 | syl3anc 1249 |
. . . . . . 7
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58 | 40 | snex 4206 |
. . . . . . . . . . . 12
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59 | 58 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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60 | xpcomeng 6858 |
. . . . . . . . . . 11
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61 | 59, 37, 60 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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62 | 40 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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63 | xpsneng 6852 |
. . . . . . . . . . 11
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64 | 37, 62, 63 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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65 | entr 6814 |
. . . . . . . . . 10
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67 | hashen 10806 |
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68 | 45, 37, 67 | syl2anc 411 |
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69 | 66, 68 | mpbird 167 |
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70 | 69 | oveq2d 5916 |
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71 | 57, 70 | eqtrd 2222 |
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72 | 35, 71 | eqtrid 2234 |
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75 | 40, 74 | ax-mp 5 |
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76 | 75 | oveq1d 5915 |
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77 | 36, 47, 76 | syl2anc 411 |
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78 | hashcl 10803 |
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79 | 78 | nn0cnd 9267 |
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80 | 36, 79 | syl 14 |
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81 | 37, 27 | syl 14 |
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82 | 80, 81 | adddirp1d 8020 |
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83 | 77, 82 | eqtrd 2222 |
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84 | 83 | adantr 276 |
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85 | 33, 73, 84 | 3eqtr4d 2232 |
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86 | 85 | ex 115 |
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87 | simpl 109 |
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88 | 5, 10, 15, 20, 31, 86, 87 | findcard2sd 6924 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4136 ax-sep 4139 ax-nul 4147 ax-pow 4195 ax-pr 4230 ax-un 4454 ax-setind 4557 ax-iinf 4608 ax-cnex 7937 ax-resscn 7938 ax-1cn 7939 ax-1re 7940 ax-icn 7941 ax-addcl 7942 ax-addrcl 7943 ax-mulcl 7944 ax-addcom 7946 ax-mulcom 7947 ax-addass 7948 ax-mulass 7949 ax-distr 7950 ax-i2m1 7951 ax-0lt1 7952 ax-1rid 7953 ax-0id 7954 ax-rnegex 7955 ax-cnre 7957 ax-pre-ltirr 7958 ax-pre-ltwlin 7959 ax-pre-lttrn 7960 ax-pre-apti 7961 ax-pre-ltadd 7962 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3595 df-sn 3616 df-pr 3617 df-op 3619 df-uni 3828 df-int 3863 df-iun 3906 df-br 4022 df-opab 4083 df-mpt 4084 df-tr 4120 df-id 4314 df-iord 4387 df-on 4389 df-ilim 4390 df-suc 4392 df-iom 4611 df-xp 4653 df-rel 4654 df-cnv 4655 df-co 4656 df-dm 4657 df-rn 4658 df-res 4659 df-ima 4660 df-iota 5199 df-fun 5240 df-fn 5241 df-f 5242 df-f1 5243 df-fo 5244 df-f1o 5245 df-fv 5246 df-riota 5855 df-ov 5903 df-oprab 5904 df-mpo 5905 df-1st 6169 df-2nd 6170 df-recs 6334 df-irdg 6399 df-frec 6420 df-1o 6445 df-oadd 6449 df-er 6563 df-en 6771 df-dom 6772 df-fin 6773 df-pnf 8030 df-mnf 8031 df-xr 8032 df-ltxr 8033 df-le 8034 df-sub 8166 df-neg 8167 df-inn 8956 df-n0 9213 df-z 9290 df-uz 9565 df-fz 10046 df-ihash 10798 |
This theorem is referenced by: crth 12268 phimullem 12269 |
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