Theorem 1vgrex 15870

Description: A graph with at least one vertex is a set. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1vgrex.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
1vgrex	|- ( N e. V -> G e. _V )

Proof of Theorem 1vgrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-vtx 15864	. . . . . 6 |- Vtx = ( g e. _V |-> if ( g e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` g ) , ( Base ` g ) ) )
2	1	funmpt2 5365	. . . . 5 |- Fun Vtx
3		funrel 5343	. . . . 5 |- ( Fun Vtx -> Rel Vtx )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel Vtx
5		relelfvdm 5671	. . . 4 |- ( ( Rel Vtx /\ N e. (Vtx ` G ) ) -> G e. dom Vtx )
6	4, 5	mpan 424	. . 3 |- ( N e. (Vtx ` G ) -> G e. dom Vtx )
7		1vgrex.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
8	6, 7	eleq2s 2326	. 2 |- ( N e. V -> G e. dom Vtx )
9	8	elexd 2816	1 |- ( N e. V -> G e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   ifcif 3605   X. cxp 4723   dom cdm 4725   Rel wrel 4730   Fun wfun 5320   ` cfv 5326   1stc1st 6300   Basecbs 13081  Vtxcvtx 15862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-vtx 15864

This theorem is referenced by:  upgr1edc  15971  uspgr1edc  16090  vtxdgfifival  16141  vtxdfifiun  16147  vdegp1aid  16164  vdegp1bid  16165  isclwwlk  16244  clwwlknon  16279