Theorem 1vgrex 16141

Description: A graph with at least one vertex is a set. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1vgrex.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
1vgrex	|- ( N e. V -> G e. _V )

Proof of Theorem 1vgrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-vtx 16135	. . . . . 6 |- Vtx = ( g e. _V |-> if ( g e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` g ) , ( Base ` g ) ) )
2	1	funmpt2 5396	. . . . 5 |- Fun Vtx
3		funrel 5374	. . . . 5 |- ( Fun Vtx -> Rel Vtx )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel Vtx
5		relelfvdm 5707	. . . 4 |- ( ( Rel Vtx /\ N e. (Vtx ` G ) ) -> G e. dom Vtx )
6	4, 5	mpan 424	. . 3 |- ( N e. (Vtx ` G ) -> G e. dom Vtx )
7		1vgrex.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
8	6, 7	eleq2s 2329	. 2 |- ( N e. V -> G e. dom Vtx )
9	8	elexd 2829	1 |- ( N e. V -> G e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   ifcif 3624   X. cxp 4752   dom cdm 4754   Rel wrel 4759   Fun wfun 5351   ` cfv 5357   1stc1st 6345   Basecbs 13296  Vtxcvtx 16133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-vtx 16135

This theorem is referenced by:  upgr1edc  16242  uspgr1edc  16361  vtxdgfifival  16412  vtxdfifiun  16418  vdegp1aid  16435  vdegp1bid  16436  isclwwlk  16515  clwwlknon  16550