Theorem 1vgrex 15694

Description: A graph with at least one vertex is a set. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1vgrex.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
1vgrex	|- ( N e. V -> G e. _V )

Proof of Theorem 1vgrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-vtx 15688	. . . . . 6 |- Vtx = ( g e. _V |-> if ( g e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` g ) , ( Base ` g ) ) )
2	1	funmpt2 5319	. . . . 5 |- Fun Vtx
3		funrel 5297	. . . . 5 |- ( Fun Vtx -> Rel Vtx )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel Vtx
5		relelfvdm 5621	. . . 4 |- ( ( Rel Vtx /\ N e. (Vtx ` G ) ) -> G e. dom Vtx )
6	4, 5	mpan 424	. . 3 |- ( N e. (Vtx ` G ) -> G e. dom Vtx )
7		1vgrex.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
8	6, 7	eleq2s 2301	. 2 |- ( N e. V -> G e. dom Vtx )
9	8	elexd 2787	1 |- ( N e. V -> G e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   ifcif 3575   X. cxp 4681   dom cdm 4683   Rel wrel 4688   Fun wfun 5274   ` cfv 5280   1stc1st 6237   Basecbs 12907  Vtxcvtx 15686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-vtx 15688

This theorem is referenced by:  upgr1edc  15789