Theorem 1vgrex 15815

Description: A graph with at least one vertex is a set. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1vgrex.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
1vgrex	|- ( N e. V -> G e. _V )

Proof of Theorem 1vgrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-vtx 15809	. . . . . 6 |- Vtx = ( g e. _V |-> if ( g e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` g ) , ( Base ` g ) ) )
2	1	funmpt2 5356	. . . . 5 |- Fun Vtx
3		funrel 5334	. . . . 5 |- ( Fun Vtx -> Rel Vtx )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel Vtx
5		relelfvdm 5658	. . . 4 |- ( ( Rel Vtx /\ N e. (Vtx ` G ) ) -> G e. dom Vtx )
6	4, 5	mpan 424	. . 3 |- ( N e. (Vtx ` G ) -> G e. dom Vtx )
7		1vgrex.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
8	6, 7	eleq2s 2324	. 2 |- ( N e. V -> G e. dom Vtx )
9	8	elexd 2813	1 |- ( N e. V -> G e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   ifcif 3602   X. cxp 4716   dom cdm 4718   Rel wrel 4723   Fun wfun 5311   ` cfv 5317   1stc1st 6282   Basecbs 13027  Vtxcvtx 15807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-vtx 15809

This theorem is referenced by:  upgr1edc  15915