Theorem uspgr1edc 16094

Description: A simple pseudograph with one edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1e.v	|- V = (Vtx ` G )
uspgr1e.a	|- ( ph -> A e. X )
uspgr1e.b	|- ( ph -> B e. V )
uspgr1e.c	|- ( ph -> C e. V )
uspgr1e.e	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { B , C } >. } )
uspgr1edc.dc	|- ( ph -> DECID B = C )

Assertion

Ref	Expression
uspgr1edc	|- ( ph -> G e. USPGraph )

Proof of Theorem uspgr1edc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgr1e.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. X )
2		uspgr1e.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. V )
3		uspgr1e.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. V )
4		prexg 4301	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ C e. V ) -> { B , C } e. _V )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> { B , C } e. _V )
6		snidg 3698	. . . . . . 7 |- ( { B , C } e. _V -> { B , C } e. { { B , C } } )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { B , C } e. { { B , C } } )
8		f1sng 5627	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ { B , C } e. { { B , C } } ) -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { { B , C } } )
9	1, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { { B , C } } )
10	2, 3	prssd 3832	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { B , C } C_ V )
11		uspgr1e.v	. . . . . . . 8 |- V = (Vtx ` G )
12	10, 11	sseqtrdi 3275	. . . . . . 7 |- ( ph -> { B , C } C_ (Vtx ` G ) )
13		elpwg 3660	. . . . . . . 8 |- ( { B , C } e. _V -> ( { B , C } e. ~P (Vtx ` G ) <-> { B , C } C_ (Vtx ` G ) ) )
14	5, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { B , C } e. ~P (Vtx ` G ) <-> { B , C } C_ (Vtx ` G ) ) )
15	12, 14	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> { B , C } e. ~P (Vtx ` G ) )
16		uspgr1edc.dc	. . . . . 6 |- ( ph -> DECID B = C )
17	15, 2, 3, 16	upgr1elem1 15974	. . . . 5 |- ( ph -> { { B , C } } C_ { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
18		f1ss 5548	. . . . 5 |- ( ( { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { { B , C } } /\ { { B , C } } C_ { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
19	9, 17, 18	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
20	5, 2, 3, 16	upgr1elem1 15974	. . . . . 6 |- ( ph -> { { B , C } } C_ { x e. _V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
21		f1ss 5548	. . . . . 6 |- ( ( { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { { B , C } } /\ { { B , C } } C_ { x e. _V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. _V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
22	9, 20, 21	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. _V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
23		f1dm 5547	. . . . 5 |- ( { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. _V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } -> dom { <. A , { B , C } >. } = { A } )
24		f1eq2 5538	. . . . 5 |- ( dom { <. A , { B , C } >. } = { A } -> ( { <. A , { B , C } >. } : dom { <. A , { B , C } >. } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } <-> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
25	22, 23, 24	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( { <. A , { B , C } >. } : dom { <. A , { B , C } >. } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } <-> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
26	19, 25	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> { <. A , { B , C } >. } : dom { <. A , { B , C } >. } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
27		uspgr1e.e	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { B , C } >. } )
28	27	dmeqd 4933	. . . 4 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , { B , C } >. } )
29		eqidd 2232	. . . 4 |- ( ph -> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } = { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
30	27, 28, 29	f1eq123d 5575	. . 3 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } <-> { <. A , { B , C } >. } : dom { <. A , { B , C } >. } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
31	26, 30	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
32	11	1vgrex 15874	. . 3 |- ( B e. V -> G e. _V )
33		eqid 2231	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
34		eqid 2231	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
35	33, 34	isuspgren 16011	. . 3 |- ( G e. _V -> ( G e. USPGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
36	2, 32, 35	3syl 17	. 2 |- ( ph -> ( G e. USPGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
37	31, 36	mpbird 167	1 |- ( ph -> G e. USPGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   {crab 2514   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   {csn 3669   {cpr 3670   <.cop 3672   class class class wbr 4088   dom cdm 4725   -1-1->wf1 5323   ` cfv 5326   1oc1o 6575   2oc2o 6576   ~~ cen 6907  Vtxcvtx 15866  iEdgciedg 15867  USPGraphcuspgr 16007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-edgf 15859  df-vtx 15868  df-iedg 15869  df-uspgren 16009

This theorem is referenced by:  usgr1e  16095  uspgr1eopdc  16097  1loopgruspgr  16157