Theorem uspgr1edc 16120

Description: A simple pseudograph with one edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1e.v	|- V = (Vtx ` G )
uspgr1e.a	|- ( ph -> A e. X )
uspgr1e.b	|- ( ph -> B e. V )
uspgr1e.c	|- ( ph -> C e. V )
uspgr1e.e	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { B , C } >. } )
uspgr1edc.dc	|- ( ph -> DECID B = C )

Assertion

Ref	Expression
uspgr1edc	|- ( ph -> G e. USPGraph )

Proof of Theorem uspgr1edc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgr1e.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. X )
2		uspgr1e.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. V )
3		uspgr1e.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. V )
4		prexg 4303	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ C e. V ) -> { B , C } e. _V )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> { B , C } e. _V )
6		snidg 3699	. . . . . . 7 |- ( { B , C } e. _V -> { B , C } e. { { B , C } } )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { B , C } e. { { B , C } } )
8		f1sng 5630	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ { B , C } e. { { B , C } } ) -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { { B , C } } )
9	1, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { { B , C } } )
10	2, 3	prssd 3833	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { B , C } C_ V )
11		uspgr1e.v	. . . . . . . 8 |- V = (Vtx ` G )
12	10, 11	sseqtrdi 3274	. . . . . . 7 |- ( ph -> { B , C } C_ (Vtx ` G ) )
13		elpwg 3661	. . . . . . . 8 |- ( { B , C } e. _V -> ( { B , C } e. ~P (Vtx ` G ) <-> { B , C } C_ (Vtx ` G ) ) )
14	5, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { B , C } e. ~P (Vtx ` G ) <-> { B , C } C_ (Vtx ` G ) ) )
15	12, 14	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> { B , C } e. ~P (Vtx ` G ) )
16		uspgr1edc.dc	. . . . . 6 |- ( ph -> DECID B = C )
17	15, 2, 3, 16	upgr1elem1 16000	. . . . 5 |- ( ph -> { { B , C } } C_ { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
18		f1ss 5551	. . . . 5 |- ( ( { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { { B , C } } /\ { { B , C } } C_ { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
19	9, 17, 18	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
20	5, 2, 3, 16	upgr1elem1 16000	. . . . . 6 |- ( ph -> { { B , C } } C_ { x e. _V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
21		f1ss 5551	. . . . . 6 |- ( ( { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { { B , C } } /\ { { B , C } } C_ { x e. _V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. _V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
22	9, 20, 21	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. _V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
23		f1dm 5550	. . . . 5 |- ( { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. _V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } -> dom { <. A , { B , C } >. } = { A } )
24		f1eq2 5541	. . . . 5 |- ( dom { <. A , { B , C } >. } = { A } -> ( { <. A , { B , C } >. } : dom { <. A , { B , C } >. } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } <-> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
25	22, 23, 24	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( { <. A , { B , C } >. } : dom { <. A , { B , C } >. } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } <-> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
26	19, 25	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> { <. A , { B , C } >. } : dom { <. A , { B , C } >. } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
27		uspgr1e.e	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { B , C } >. } )
28	27	dmeqd 4935	. . . 4 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , { B , C } >. } )
29		eqidd 2231	. . . 4 |- ( ph -> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } = { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
30	27, 28, 29	f1eq123d 5578	. . 3 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } <-> { <. A , { B , C } >. } : dom { <. A , { B , C } >. } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
31	26, 30	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
32	11	1vgrex 15900	. . 3 |- ( B e. V -> G e. _V )
33		eqid 2230	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
34		eqid 2230	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
35	33, 34	isuspgren 16037	. . 3 |- ( G e. _V -> ( G e. USPGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
36	2, 32, 35	3syl 17	. 2 |- ( ph -> ( G e. USPGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
37	31, 36	mpbird 167	1 |- ( ph -> G e. USPGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2201   {crab 2513   _Vcvv 2801   C_ wss 3199   ~Pcpw 3653   {csn 3670   {cpr 3671   <.cop 3673   class class class wbr 4089   dom cdm 4727   -1-1->wf1 5325   ` cfv 5328   1oc1o 6580   2oc2o 6581   ~~ cen 6912  Vtxcvtx 15892  iEdgciedg 15893  USPGraphcuspgr 16033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-1o 6587  df-2o 6588  df-er 6707  df-en 6915  df-sub 8357  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-dec 9617  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-edgf 15885  df-vtx 15894  df-iedg 15895  df-uspgren 16035

This theorem is referenced by:  usgr1e  16121  uspgr1eopdc  16123  1loopgruspgr  16183