Theorem uspgr1edc 16698

Description: A simple pseudograph with one edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1e.v	|- V = (Vtx ` G )
uspgr1e.a	|- ( ph -> A e. X )
uspgr1e.b	|- ( ph -> B e. V )
uspgr1e.c	|- ( ph -> C e. V )
uspgr1e.e	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { B , C } >. } )
uspgr1edc.dc	|- ( ph -> DECID B = C )

Assertion

Ref	Expression
uspgr1edc	|- ( ph -> G e. USPGraph )

Proof of Theorem uspgr1edc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgr1e.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. X )
2		uspgr1e.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. V )
3		uspgr1e.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. V )
4		prexg 4351	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ C e. V ) -> { B , C } e. _V )
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ph -> { B , C } e. _V )
6		snidg 3738	. . . . . . 7 |- ( { B , C } e. _V -> { B , C } e. { { B , C } } )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { B , C } e. { { B , C } } )
8		f1sng 5686	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ { B , C } e. { { B , C } } ) -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { { B , C } } )
9	1, 7, 8	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { { B , C } } )
10	2, 3	prssd 3874	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { B , C } C_ V )
11		uspgr1e.v	. . . . . . . 8 |- V = (Vtx ` G )
12	10, 11	sseqtrdi 3296	. . . . . . 7 |- ( ph -> { B , C } C_ (Vtx ` G ) )
13		elpwg 3696	. . . . . . . 8 |- ( { B , C } e. _V -> ( { B , C } e. ~P (Vtx ` G ) <-> { B , C } C_ (Vtx ` G ) ) )
14	5, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { B , C } e. ~P (Vtx ` G ) <-> { B , C } C_ (Vtx ` G ) ) )
15	12, 14	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> { B , C } e. ~P (Vtx ` G ) )
16		uspgr1edc.dc	. . . . . 6 |- ( ph -> DECID B = C )
17	15, 2, 3, 16	upgr1elem1 16578	. . . . 5 |- ( ph -> { { B , C } } C_ { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
18		f1ss 5607	. . . . 5 |- ( ( { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { { B , C } } /\ { { B , C } } C_ { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
19	9, 17, 18	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
20	5, 2, 3, 16	upgr1elem1 16578	. . . . . 6 |- ( ph -> { { B , C } } C_ { x e. _V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
21		f1ss 5607	. . . . . 6 |- ( ( { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { { B , C } } /\ { { B , C } } C_ { x e. _V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. _V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
22	9, 20, 21	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. _V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
23		f1dm 5606	. . . . 5 |- ( { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. _V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } -> dom { <. A , { B , C } >. } = { A } )
24		f1eq2 5597	. . . . 5 |- ( dom { <. A , { B , C } >. } = { A } -> ( { <. A , { B , C } >. } : dom { <. A , { B , C } >. } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } <-> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
25	22, 23, 24	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( { <. A , { B , C } >. } : dom { <. A , { B , C } >. } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } <-> { <. A , { B , C } >. } : { A } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
26	19, 25	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> { <. A , { B , C } >. } : dom { <. A , { B , C } >. } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
27		uspgr1e.e	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { B , C } >. } )
28	27	dmeqd 4985	. . . 4 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , { B , C } >. } )
29		eqidd 2239	. . . 4 |- ( ph -> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } = { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
30	27, 28, 29	f1eq123d 5634	. . 3 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } <-> { <. A , { B , C } >. } : dom { <. A , { B , C } >. } -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
31	26, 30	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
32	11	1vgrex 16478	. . 3 |- ( B e. V -> G e. _V )
33		eqid 2238	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
34		eqid 2238	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
35	33, 34	isuspgren 16615	. . 3 |- ( G e. _V -> ( G e. USPGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
36	2, 32, 35	3syl 17	. 2 |- ( ph -> ( G e. USPGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
37	31, 36	mpbird 167	1 |- ( ph -> G e. USPGraph )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   {csn 3709   {cpr 3710   <.cop 3712   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   -1-1->wf1 5377   ` cfv 5380   1oc1o 6684   2oc2o 6685   ~~ cen 7025  Vtxcvtx 16470  iEdgciedg 16471  USPGraphcuspgr 16611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7028  df-sub 8507  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-dec 9790  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-edgf 16463  df-vtx 16472  df-iedg 16473  df-uspgren 16613

This theorem is used by:  usgr1e  16699  uspgr1eopdc  16701  1loopgruspgr  16761