Theorem vtxdgfifival 16737

Description: The degree of a vertex for graphs with finite vertex and edge sets. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdgval.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxdgval.i	|- I = (iEdg ` G )
vtxdgval.a	|- A = dom I
vtxdgfifival.a	|- ( ph -> A e. Fin )
vtxdgfifival.v	|- ( ph -> V e. Fin )
vtxdgfifival.u	|- ( ph -> U e. V )
vtxdgfifival.g	|- ( ph -> G e. UPGraph )

Assertion

Ref	Expression
vtxdgfifival	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, G   x, I   x, U   x, V

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem vtxdgfifival

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdgfifival.u	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
2		vtxdgval.v	. . . . . 6 |- V = (Vtx ` G )
3	2	1vgrex 16466	. . . . 5 |- ( U e. V -> G e. _V )
4		vtxdgval.i	. . . . . 6 |- I = (iEdg ` G )
5		vtxdgval.a	. . . . . 6 |- A = dom I
6	2, 4, 5	vtxdgfval 16734	. . . . 5 |- ( G e. _V -> (VtxDeg ` G ) = ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) )
7	3, 6	syl 14	. . . 4 |- ( U e. V -> (VtxDeg ` G ) = ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) )
8	7	fveq1d 5700	. . 3 |- ( U e. V -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) ` U ) )
9	1, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) ` U ) )
10		eqid 2238	. . 3 |- ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) = ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) )
11		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( u e. ( I ` x ) <-> U e. ( I ` x ) ) )
12	11	rabbidv 2810	. . . . 5 |- ( u = U -> { x e. A | u e. ( I ` x ) } = { x e. A | U e. ( I ` x ) } )
13	12	fveq2d 5702	. . . 4 |- ( u = U -> (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )
14		sneq 3720	. . . . . . 7 |- ( u = U -> { u } = { U } )
15	14	eqeq2d 2250	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( ( I ` x ) = { u } <-> ( I ` x ) = { U } ) )
16	15	rabbidv 2810	. . . . 5 |- ( u = U -> { x e. A | ( I ` x ) = { u } } = { x e. A | ( I ` x ) = { U } } )
17	16	fveq2d 5702	. . . 4 |- ( u = U -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) = (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) )
18	13, 17	oveq12d 6106	. . 3 |- ( u = U -> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
19		vtxdgfifival.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. Fin )
20		vtxdgfifival.v	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. Fin )
21		vtxdgfifival.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. UPGraph )
22	2, 4, 5, 19, 20, 1, 21	vtxedgfi 16735	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin )
23		hashcl 11242	. . . . . . 7 |- ( { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
25	24	nn0red 9632	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. RR )
26	25	rexrd 8381	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. RR* )
27	2, 4, 5, 19, 20, 1, 21	vtxlpfi 16736	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. A | ( I ` x ) = { U } } e. Fin )
28		hashcl 11242	. . . . . . 7 |- ( { x e. A | ( I ` x ) = { U } } e. Fin -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) e. NN0 )
29	27, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) e. NN0 )
30	29	nn0red 9632	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) e. RR )
31	30	rexrd 8381	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) e. RR* )
32	26, 31	xaddcld 10303	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) e. RR* )
33	10, 18, 1, 32	fvmptd3 5802	. 2 |- ( ph -> ( ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
34	25, 30	rexaddd 10273	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
35	9, 33, 34	3eqtrd 2275	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   {csn 3709   |-> cmpt 4193   dom cdm 4776   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7026   + caddc 8188   RR*cxr 8365   NN0cn0 9574   +ecxad 10189  ♯chash 11236  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  UPGraphcupgr 16537  VtxDegcvtxdg 16732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-xadd 10192  df-ihash 11237  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-upgren 16539  df-vtxdg 16733

This theorem is used by:  vtxdgfi0e  16741  vtxdfifiun  16743  vtxdumgrfival  16744  vtxd0nedgbfi  16745  vtxduspgrfvedgfi  16747