Theorem vtxdgfifival 16286

Description: The degree of a vertex for graphs with finite vertex and edge sets. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdgval.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxdgval.i	|- I = (iEdg ` G )
vtxdgval.a	|- A = dom I
vtxdgfifival.a	|- ( ph -> A e. Fin )
vtxdgfifival.v	|- ( ph -> V e. Fin )
vtxdgfifival.u	|- ( ph -> U e. V )
vtxdgfifival.g	|- ( ph -> G e. UPGraph )

Assertion

Ref	Expression
vtxdgfifival	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, G   x, I   x, U   x, V

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem vtxdgfifival

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdgfifival.u	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
2		vtxdgval.v	. . . . . 6 |- V = (Vtx ` G )
3	2	1vgrex 16015	. . . . 5 |- ( U e. V -> G e. _V )
4		vtxdgval.i	. . . . . 6 |- I = (iEdg ` G )
5		vtxdgval.a	. . . . . 6 |- A = dom I
6	2, 4, 5	vtxdgfval 16283	. . . . 5 |- ( G e. _V -> (VtxDeg ` G ) = ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) )
7	3, 6	syl 14	. . . 4 |- ( U e. V -> (VtxDeg ` G ) = ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) )
8	7	fveq1d 5672	. . 3 |- ( U e. V -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) ` U ) )
9	1, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) ` U ) )
10		eqid 2232	. . 3 |- ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) = ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) )
11		eleq1 2295	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( u e. ( I ` x ) <-> U e. ( I ` x ) ) )
12	11	rabbidv 2802	. . . . 5 |- ( u = U -> { x e. A | u e. ( I ` x ) } = { x e. A | U e. ( I ` x ) } )
13	12	fveq2d 5674	. . . 4 |- ( u = U -> (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )
14		sneq 3700	. . . . . . 7 |- ( u = U -> { u } = { U } )
15	14	eqeq2d 2244	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( ( I ` x ) = { u } <-> ( I ` x ) = { U } ) )
16	15	rabbidv 2802	. . . . 5 |- ( u = U -> { x e. A | ( I ` x ) = { u } } = { x e. A | ( I ` x ) = { U } } )
17	16	fveq2d 5674	. . . 4 |- ( u = U -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) = (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) )
18	13, 17	oveq12d 6068	. . 3 |- ( u = U -> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
19		vtxdgfifival.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. Fin )
20		vtxdgfifival.v	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. Fin )
21		vtxdgfifival.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. UPGraph )
22	2, 4, 5, 19, 20, 1, 21	vtxedgfi 16284	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin )
23		hashcl 11144	. . . . . . 7 |- ( { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
25	24	nn0red 9554	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. RR )
26	25	rexrd 8323	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. RR* )
27	2, 4, 5, 19, 20, 1, 21	vtxlpfi 16285	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. A | ( I ` x ) = { U } } e. Fin )
28		hashcl 11144	. . . . . . 7 |- ( { x e. A | ( I ` x ) = { U } } e. Fin -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) e. NN0 )
29	27, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) e. NN0 )
30	29	nn0red 9554	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) e. RR )
31	30	rexrd 8323	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) e. RR* )
32	26, 31	xaddcld 10217	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) e. RR* )
33	10, 18, 1, 32	fvmptd3 5771	. 2 |- ( ph -> ( ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
34	25, 30	rexaddd 10187	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
35	9, 33, 34	3eqtrd 2269	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   {crab 2524   _Vcvv 2813   {csn 3689   |-> cmpt 4171   dom cdm 4749   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Fincfn 6975   + caddc 8130   RR*cxr 8307   NN0cn0 9496   +ecxad 10103  ♯chash 11138  Vtxcvtx 16007  iEdgciedg 16008  UPGraphcupgr 16086  VtxDegcvtxdg 16281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-xadd 10106  df-ihash 11139  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-upgren 16088  df-vtxdg 16282

This theorem is referenced by:  vtxdgfi0e  16290  vtxdfifiun  16292  vtxdumgrfival  16293  vtxd0nedgbfi  16294  vtxduspgrfvedgfi  16296