Theorem vtxdgfifival 16141

Description: The degree of a vertex for graphs with finite vertex and edge sets. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdgval.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxdgval.i	|- I = (iEdg ` G )
vtxdgval.a	|- A = dom I
vtxdgfifival.a	|- ( ph -> A e. Fin )
vtxdgfifival.v	|- ( ph -> V e. Fin )
vtxdgfifival.u	|- ( ph -> U e. V )
vtxdgfifival.g	|- ( ph -> G e. UPGraph )

Assertion

Ref	Expression
vtxdgfifival	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, G   x, I   x, U   x, V

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem vtxdgfifival

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdgfifival.u	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
2		vtxdgval.v	. . . . . 6 |- V = (Vtx ` G )
3	2	1vgrex 15870	. . . . 5 |- ( U e. V -> G e. _V )
4		vtxdgval.i	. . . . . 6 |- I = (iEdg ` G )
5		vtxdgval.a	. . . . . 6 |- A = dom I
6	2, 4, 5	vtxdgfval 16138	. . . . 5 |- ( G e. _V -> (VtxDeg ` G ) = ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) )
7	3, 6	syl 14	. . . 4 |- ( U e. V -> (VtxDeg ` G ) = ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) )
8	7	fveq1d 5641	. . 3 |- ( U e. V -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) ` U ) )
9	1, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) ` U ) )
10		eqid 2231	. . 3 |- ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) = ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) )
11		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( u e. ( I ` x ) <-> U e. ( I ` x ) ) )
12	11	rabbidv 2791	. . . . 5 |- ( u = U -> { x e. A | u e. ( I ` x ) } = { x e. A | U e. ( I ` x ) } )
13	12	fveq2d 5643	. . . 4 |- ( u = U -> (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )
14		sneq 3680	. . . . . . 7 |- ( u = U -> { u } = { U } )
15	14	eqeq2d 2243	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( ( I ` x ) = { u } <-> ( I ` x ) = { U } ) )
16	15	rabbidv 2791	. . . . 5 |- ( u = U -> { x e. A | ( I ` x ) = { u } } = { x e. A | ( I ` x ) = { U } } )
17	16	fveq2d 5643	. . . 4 |- ( u = U -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) = (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) )
18	13, 17	oveq12d 6035	. . 3 |- ( u = U -> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
19		vtxdgfifival.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. Fin )
20		vtxdgfifival.v	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. Fin )
21		vtxdgfifival.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. UPGraph )
22	2, 4, 5, 19, 20, 1, 21	vtxedgfi 16139	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin )
23		hashcl 11042	. . . . . . 7 |- ( { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
25	24	nn0red 9455	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. RR )
26	25	rexrd 8228	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. RR* )
27	2, 4, 5, 19, 20, 1, 21	vtxlpfi 16140	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. A | ( I ` x ) = { U } } e. Fin )
28		hashcl 11042	. . . . . . 7 |- ( { x e. A | ( I ` x ) = { U } } e. Fin -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) e. NN0 )
29	27, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) e. NN0 )
30	29	nn0red 9455	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) e. RR )
31	30	rexrd 8228	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) e. RR* )
32	26, 31	xaddcld 10118	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) e. RR* )
33	10, 18, 1, 32	fvmptd3 5740	. 2 |- ( ph -> ( ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
34	25, 30	rexaddd 10088	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
35	9, 33, 34	3eqtrd 2268	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   {crab 2514   _Vcvv 2802   {csn 3669   |-> cmpt 4150   dom cdm 4725   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Fincfn 6908   + caddc 8034   RR*cxr 8212   NN0cn0 9401   +ecxad 10004  ♯chash 11036  Vtxcvtx 15862  iEdgciedg 15863  UPGraphcupgr 15941  VtxDegcvtxdg 16136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-xadd 10007  df-ihash 11037  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-edgf 15855  df-vtx 15864  df-iedg 15865  df-upgren 15943  df-vtxdg 16137

This theorem is referenced by:  vtxdgfi0e  16145  vtxdfifiun  16147  vtxdumgrfival  16148  vtxd0nedgbfi  16149  vtxduspgrfvedgfi  16151