Theorem vtxdgfifival 16050

Description: The degree of a vertex for graphs with finite vertex and edge sets. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdgval.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxdgval.i	|- I = (iEdg ` G )
vtxdgval.a	|- A = dom I
vtxdgfifival.a	|- ( ph -> A e. Fin )
vtxdgfifival.v	|- ( ph -> V e. Fin )
vtxdgfifival.u	|- ( ph -> U e. V )
vtxdgfifival.g	|- ( ph -> G e. UPGraph )

Assertion

Ref	Expression
vtxdgfifival	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, G   x, I   x, U   x, V

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem vtxdgfifival

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdgfifival.u	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
2		vtxdgval.v	. . . . . 6 |- V = (Vtx ` G )
3	2	1vgrex 15836	. . . . 5 |- ( U e. V -> G e. _V )
4		vtxdgval.i	. . . . . 6 |- I = (iEdg ` G )
5		vtxdgval.a	. . . . . 6 |- A = dom I
6	2, 4, 5	vtxdgfval 16047	. . . . 5 |- ( G e. _V -> (VtxDeg ` G ) = ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) )
7	3, 6	syl 14	. . . 4 |- ( U e. V -> (VtxDeg ` G ) = ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) )
8	7	fveq1d 5631	. . 3 |- ( U e. V -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) ` U ) )
9	1, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) ` U ) )
10		eqid 2229	. . 3 |- ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) = ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) )
11		eleq1 2292	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( u e. ( I ` x ) <-> U e. ( I ` x ) ) )
12	11	rabbidv 2788	. . . . 5 |- ( u = U -> { x e. A | u e. ( I ` x ) } = { x e. A | U e. ( I ` x ) } )
13	12	fveq2d 5633	. . . 4 |- ( u = U -> (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )
14		sneq 3677	. . . . . . 7 |- ( u = U -> { u } = { U } )
15	14	eqeq2d 2241	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( ( I ` x ) = { u } <-> ( I ` x ) = { U } ) )
16	15	rabbidv 2788	. . . . 5 |- ( u = U -> { x e. A | ( I ` x ) = { u } } = { x e. A | ( I ` x ) = { U } } )
17	16	fveq2d 5633	. . . 4 |- ( u = U -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) = (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) )
18	13, 17	oveq12d 6025	. . 3 |- ( u = U -> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
19		vtxdgfifival.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. Fin )
20		vtxdgfifival.v	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. Fin )
21		vtxdgfifival.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. UPGraph )
22	2, 4, 5, 19, 20, 1, 21	vtxedgfi 16048	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin )
23		hashcl 11015	. . . . . . 7 |- ( { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
25	24	nn0red 9434	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. RR )
26	25	rexrd 8207	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. RR* )
27	2, 4, 5, 19, 20, 1, 21	vtxlpfi 16049	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. A | ( I ` x ) = { U } } e. Fin )
28		hashcl 11015	. . . . . . 7 |- ( { x e. A | ( I ` x ) = { U } } e. Fin -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) e. NN0 )
29	27, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) e. NN0 )
30	29	nn0red 9434	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) e. RR )
31	30	rexrd 8207	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) e. RR* )
32	26, 31	xaddcld 10092	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) e. RR* )
33	10, 18, 1, 32	fvmptd3 5730	. 2 |- ( ph -> ( ( u e. V |-> ( (♯ ` { x e. A | u e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { u } } ) ) ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
34	25, 30	rexaddd 10062	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) +e (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
35	9, 33, 34	3eqtrd 2266	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   _Vcvv 2799   {csn 3666   |-> cmpt 4145   dom cdm 4719   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Fincfn 6895   + caddc 8013   RR*cxr 8191   NN0cn0 9380   +ecxad 9978  ♯chash 11009  Vtxcvtx 15828  iEdgciedg 15829  UPGraphcupgr 15906  VtxDegcvtxdg 16045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-dec 9590  df-uz 9734  df-xadd 9981  df-ihash 11010  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-edgf 15821  df-vtx 15830  df-iedg 15831  df-upgren 15908  df-vtxdg 16046

This theorem is referenced by:  vtxdgfi0e  16054  vtxdfifiun  16056  vtxdumgrfival  16057